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Stochastik: Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Mehrstufige Zufallsexperimente
Führt man ein Zufallsexperiment wiederholt durch, spricht man von zusammengesetzten oder mehrstufigen Zufallsexperimenten. Sie lassen sich mithilfe eines Baumdiagramms veranschaulichen, bei dem an den Teilpfaden (Ästen) die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten angegeben werden.
Beispiel: Man wirft dreimal einen Würfel und teilt die Ergebnisse in die Ereignisse „maximal 4“ und „mindestens 5“ ein. Daraus ergibt sich folgendes Baumdiagramm:
Dabei sind folgende Pfadregeln zu beachten:
- Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Äste eines Knoten (Verzweigungspunkts) ergibt 1.
- Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des
zugehörigen Pfads. Für die Wahrscheinlichkeit von dreimal „mindestens 5“ ist etwa:
$$ \text{P("dreimal 'mind. 5'")} = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{27} $$
- Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zum
dem Ereignis gehören. Ist das Ereignis zum Beispiel zweimal „mind. 5“ und einmal „mind.
4“, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit
$$ \text{P("zweimal 'mind. 5'") + P("einmal 'max. 4'")} \\ =\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}+\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{6}+\frac{2}{6} \cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{6} \\ =3(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) = \frac{2}{9} $$
Das Urnenmodell
Mit dem Urnenmodell lassen sich viele Zufallsexperimente simulieren. Dabei werden bis auf die Farbe verschiedene Kugeln blin n-mal aus einer Urne gezogen. Es lassen sich zwei Varianten unterscheiden: Legt man die Kugel nach dem Ziehen wieder zurück (Ziehen mit Zurücklegen), ändert sich die Zusammensetzung nicht. Dagegen verringert sich beim Ziehen ohne Zurücklegen der Inhalt.
Beispiel: In einer Urne befinden sich sechs rote und vier blaue Kugeln. Es wird dreimal blind je eine Kugel gezogen, ohne sie danach zurückzulegen. Das dazu gehörende Baumdiagramm sieht folgendermaßen aus:
