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Mathematik: 10. Klasse

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Kreis, Kugel und die Kreiszahl π

Kreis

Das Bogenmaß

Bogenlänge am Kreis
Bogenlänge am Kreis

Spannt man in einem Kreis mit dem Radius r einen Mittelpunktwinkel α auf, so erhält man einen Kreissektor mit der Bogenlänge b. Diese Länge ist direkt proportional zum Winkel α:

Formel für die Bogenlänge b = r*pi*alpha/180

Für einen Einheitskreis – also einen Kreis, dessen Radius 1 Längeneinheit (LE) ist – folgt hieraus, dass der vollwinkel (360 °) eine Bogenlänge von 2π aufspannt:

Der Vollwinkel im Bogenmaß beträgt 2π

Dieser Zusammenhang wird beim Bogenmaß genutzt. Durch ihn lassen sich Winkel auch ohne Gradangabe beschreiben. Hierfür wird der Quotient aus der Bogenlänge b und den (beliebigen) Radius r genommen. Ein solcher Winkel x hat also auch keine Einheit:

Ein Winkel im Bogenmaß hat keine Einheit

Teilweise wird zur Verdeutlichung aber auch die Bezeichnung „Radiant“ – abgekürzt „rad“ – verwendet.

Ein bereits in Grad bekannter Winkel α lässt sich durch die Bogenlänge bei einem Radius von 1 Längeneinheit berechnen:

Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß

Ist der Winkel dagegen im Bogenmaß angegeben und möchte man die Gradangabe ermitteln, so rechnet man:

Umrechnung vom Bogenmaß in das Gradmaß

Zu folgenden Winkelgrößen gibt es folgende (wichtige) Bogenmaße:

Winkel im Gradmaß 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 135 ° 180 ° 270 ° 360 °
Winkel im Bogenmaß 0 Pi/6 Pi/4 Pi/3 Pi/2 3 mal Pi durch 4 Pi 3 mal Pi durch 2 2 mal Pi

Der Kreissektor

Flächeninhalt des Kreissektors
Der Kreissektor
Der Kreissektor

Ebenso wie die Bogenlänge ist auch der Flächeninhalt A eines Kreissektors direkt proportional zum Mittelpunktswinkel α:

Der Flächeninhalt eines Kreissektors A = r^2*pi*alpha/360
Die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Kreissektor

Die Bogenlänge b und der Kreissektor A stehen in folgendem Zusammenhang:

Die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Kreissektor

Dies ergibt sich aus folgenden Schritten:

  1. Den Flächeninhalt des Kreissektors kann man auch wie folgt darstellen:
    Der Flächeninhalt eines Kreissektors A = r/2*r*pi*alpha/180
  2. Der zweite Faktor ist gleich der Bogenlänge b (vergleiche nochmals die Formel oben):
    Zwischenschritt der Herleitung der Beziehung zwischen Bogenlänge und Kreissektor A = r/2*b
  3. Durch Umformung des Terms ergibt sich die bereits genannte Beziehung:
    Die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Kreissektor

Kugel

Eine Kugel zeichnet sich dadurch aus, dass jeder Punkt ihrer Oberfläche den gleichen Abstand – den Radius r – von ihrem Mittelpunkt M hat.

Volumen der Kugel

Eine Kugel mit dem Radius r hat folgendes Volumen V:

Volumen einer Kugel V = 4/3*r^3*pi

Oberflächeninhalt einer Kugel

Eine Kugel mit dem Radius r hat eine gekrümmte Oberfläche. Diese kann nicht in eine Ebene gebracht werden. Aus diesem Grund ist auch jede ebene Karte der annähernd kugelförmigen Erde eine verzerrende Projektion. Der Oberflächeninhalt A einer Kugel beträgt:

Oberflächeninhalt einer Kugel A = 4*r^2*pi


Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Spannt man auf einen Einheitskreis einen Winkel α an der x-Achse auf, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Hypotenuse entspricht dabei dem Radius r des Kreises und hat somit eine Länge von 1 LE. Die Ankathete hat dazu die Länge cos α und die Gegenkathete die Länge sin α:

Die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Ein Punkt P, der durch den Winkel α bestimmt wird und auf dem Einheitskreis liegt, hat somit auch die x- und y-Koordinaten, die durch den Kosinus und Sinus des Winkels α entstehen:

Die Definition eines Punktes auf dem Einheitskreis durch Sinus und Kosinus

Für jeden spitzen Winkel α gilt, dass bei α, (180 °–α), (180 °+α) und (360 °–α) der Sinus und Kosinus betragsmäßig den gleichen Wert haben. Damit ist man auch nicht mehr an die Definition des Sinus und Kosinus im rechtswinkligen Dreieck gebunden, die lediglich für spitze Winkel galt. Für den Winkel α gilt somit:

Die allgemeine Definition von Sinus und Kosinus

Für folgende Winkel ergeben sich die entsprechenden Sinus- bzw. Kosinsus-Werte:

Sinus Kosinus
Der Sinuswert bei 0 Grad Der Kosinuswert bei 0 Grad
Der Sinuswert bei 30 Grad Der Kosinuswert bei 30 Grad
Der Sinuswert bei 45 Grad Der Kosinuswert bei 45 Grad
Der Sinuswert bei 60 Grad Der Kosinuswert bei 60 Grad
Der Sinuswert bei 90 Grad Der Kosinuswert bei 90 Grad
Der Sinuswert bei 180 Grad Der Kosinuswert bei 180 Grad
Der Sinuswert bei 270 Grad Der Kosinuswert bei 270 Grad
Der Sinuswert bei 360 Grad Der Kosinuswert bei 360 Grad

Da der Winkel α mit der x-Achse ein rechtwinkliges Dreieck bildet, gilt der Satz des Pythagoras. Die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus ergibt also 1:

Die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus ergibt den Wert 1

Sinus- und Kosinussatz im Dreieck

Der Sinussatz im allgemeinen Dreieck

Es wird folgendes (spitzes) Dreieck betrachtet:

Der Sinussatz im allgemeinen Dreieck
Der Sinussatz im allgemeinen Dreieck

Wie bereits aus der neunten Klasse bekannt, ist der Sinus der Quotient aus Hypotenuse (hier hc) und Gegenkathete (hier b). Im Dreieck ΔADC gilt also für den Winkel α:

1. Schritt für die Herleitung des Sinussatzes

Entsprechendes gilt für das Dreieck ΔDBC hinsichtlich des Winkels β:

2. Schritt für die Herleitung des Sinussatzes

Da beide Terme als Ergebnis hc haben, lassen sie sich gleichsetzen:

Der Sinussatz

Diesen Zusammenhang nennt man Sinussatz: Die Längen zweier Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie die Sinuswerte des gegenüberliegenden Winkels. Der Sinussatz ist anwendbar, wenn von einem Dreieck die Länge einer Seite und zwei Innenwinkel bekannt sind.

Der Kosinussatz

Grundsatz
Bezeichnungen im Dreieck

Ist der Sinussatz nicht anwendbar, kann der Kosinussatz helfen. Er lautet je nach den gegegebenen Angaben für ein Dreieck ΔABC:

Der Kosinussatz

Der Kosinussatz mag zwar auf den ersten Blick kompliziert wirken. Betrachtet man aber den Sonderfall, dass ein Winkel im Dreieck 90° groß ist, fällt der Subtrahend weg, da dieser wegen des Kosinus 0 ist. Dadurch ergibt sich für diesen Fall wieder der Satz des Pythagoras.

Herleitung des Kosinussatzes

Der Kosinussatz lässt sich herleiten, indem wir das Dreieck ΔABC nehmen und die Höhe ha eintragen. Der Schnittpunkt zwischen dieser Höhe und der Seite a sei D:

Dreieck zur Herleitung des Kosinussatzes
Dreieck zur Herleitung des Kosinussatzes mit dem Punkt D

In diesem Fall gilt wieder das aus der neunten Klasse Bekannte:

1. Schritt zur Herleitung des Kosinussatzes

Da das Dreieck ΔABD ein rechtwinkliges Dreieck ist, gilt auch hier der Satz des Pythagoras. Davon ausgehend kann man durch Kombination der Gleichungen (1) und (2) den Kosinussatz ermitteln. Im Folgenden soll dies für die Seite c gezeigt werden:

2. Schritt zur Herleitung des Kosinussatzes

Diese Herleitung lässt sich natürlich entsprechend auch auf die anderen Seiten bzw. Winkel anwenden.

Die Sinus- und Kosinusfunktion

Einführung

Die Sinusfunktion ist eine Funktion, deren y-Wert durch den Sinus von x bestimmt wird:

Die Sinusfunktion: f(x) = sin x

Der dazu gehörende Graph wird als Sinuskurve bezeichnet. Man erhält sie, indem man für die x-Koordinate den Winkel α im Bogenmaß und für die y-Koordinate den entsprechenden Sinuswert verwendet.

Entsprechend wird auch die Kosinusfunktion definiert. Deren Kosinuskurve erhält man also durch die Verwendung des Winkels α im Bogenmaß und des Kosinuswerts:

Die Kosinusfunktion: f(x) = cos x

In einem Koordinatensystem sehen Sinus- und Kosinuskurve also so aus:

Die Sinus- und Kosinuskurve im Koordinatensystem
Die Sinus- und Kosinuskurve im Koordinatensystem

Die beiden Kurven wiederholen sich in einem bestimmten Abstand stetig. Mit einem Abstand von 2π nehmen sie den gleichen y-Wert ein. Solche Funktionen, deren Funktionswerte sich in einem festen Abstand wiederholen, nennt man periodische Funktionen und den kleinsten möglichen Abstand Periode.

Beide Funktionen haben die Wertemenge [–1;1]. Während die Sinuskurve zum Ursprung eines Koordinatensystems punktsymmetrisch ist, ist die Kosinuskurve achsensymmetrisch zur y-Achse.

Beispielsweise bei Fragen der Landvermessung erkennen die Schüler, dass die bisherige Definition trigonometrischer Funktionen verallgemeinert werden muss. Mit Sinus- und Kosinussatz erwerben sie Hilfsmittel, die ihnen Berechnungen an beliebigen ebenen Dreiecken erlauben. Die Schüler ergänzen die Menge der ihnen bereits bekannten Funktionen durch die Sinus- und Kosinusfunktion. Sie lernen Periodizität als ein neues, charakteristisches Merkmal von Funktionen kennen und untersuchen den Einfluss von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion. Dabei nutzen sie die Möglichkeit zur Veranschaulichung mithilfe von Funktionsplottern.

Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion: Form- und Lageveränderungen der Sinus- und Kosinuskurve

Wird die Sinusfunktion wie folgt mit den Koeffizienten a, b, c und d ergänzt, spricht man von der allgemeinen Sinusfunktion:

Allgemeine Sinusfunktion f(x)=a*sin(b(x+c))+d

Entsprechendes gilt für die allgemeine Kosinusfunktion:

Allgemeine Kosinusfunktion f(x)=a*cos(b(x+c))+d

Die einzelnen Parameter haben folgende Auswirkungen, die anhand der Sinuskurve dargestellt werden sollen (für eine größere Ansicht des Graphen einfach auf das Bild klicken):

Funktion Auswirkungen Beispiel an der Sinuskurve
Die Sinusfunktion mit dem Koeffizienten a: f(x)=a*sin(x) Durch den Koeffizenten a hat die Sinuskurve die Amplitude |a|. Sie wird also bei |a| > 1 in y-Richtung gestreckt und bei |a| < 1 entsprechend gestaucht. Ist a < 0 wird die Sinuskurve gespiegelt (bei d = 0 an der x-Achse). Die Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten a
Die Sinusfunktion mit dem Koeffizienten b: f(x)=sin(x*b) Bei |a| > 1 wird die Kurve in y-Richtung gestreckt, bei |a| < 1 gestaucht. Sie hat dann die Periode 2pi/b. Ist b < 0, wird die Sinuskurve an der y-Achse gespiegelt. Die Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten b
Die Sinusfunktion mit dem Koeffizienten c: f(x)=sin(x+c) Durch c wird die Sinuskurve in x-Richtung bei c > 0 nach links und bei c < nach rechts verschoben. Die Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten c
Die Sinusfunktion mit dem Koeffizienten d: f(x)=sin(x)+d Der Graph wird in y-Richtung bei d 0 > nach oben und bei d < 0 nach unten verschoben. Die Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten d


Exponentielles Wachstum und Logarithmen

Wird nachgetragen.


Stochastik: Zusammengesetzte Zufallsexperimente

Wird nachgetragen.


Ausbau der Funktionenlehre

Wird nachgetragen.

Inhaltsübersicht

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