- Kreis, Kugel und die Kreiszahl π
- Kreis
- Das Bogenmaß
- Der Kreissektor
- Flächeninhalt des Kreissektors
- Die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Kreissektor
- Kugel
- Volumen der Kugel
- Oberflächeninhalt einer Kugel
- Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis
- Sinus- und Kosinussatz im Dreieck
- Der Sinussatz im allgemeinen Dreieck
- Der Kosinussatz
- Grundsatz
- Herleitung des Kosinussatzes
- Die Sinus- und Kosinusfunktion
- Einführung
- Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion: Form- und Lageveränderungen der Sinus- und Kosinuskurve
- Exponentielles Wachstum und Logarithmen
- Wachstums- und Zerfallsprozesse
- Linears Wachstum
- Exponentielles Wachstum
- Die Exponentialfunktion
- Die allgemeine Exponentialfunktion
- Erweiterung der Exponentialfunktion
- Logarithmen
- Allgemeines
- Rechenregeln für Logarithmen
- Lösen von Exponentialgleichungen
- Beide Seiten logarithmieren
- Beide Seiten als Potenz zur gleichen Basis schreiben
- Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen
- Substitution und quadratische Gleichung
- Stochastik: Zusammengesetzte Zufallsexperimente
- Wiederholung der Pfadregeln
- Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Ausbau der Funktionenlehre: Ganzrationale Funktionen
- Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
- Lösungsverfahren für Potenzgleichungen
- Lineare und quadratische Gleichungen
- Gleichungen höheren Grads
- Ausklammern
- „Erraten“ einer Lösung und Polynomdivision
- Substitution
- Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen
- Polynomfunktionen
- Nullstellen von Potenzialfunktionen
- Faktorisierung
- Grundlagen
- Beispiel
- Vielfachheit von Nullstellen
- Verhalten von Potenzgleichungen im Unendlichen
- Symmetrie eines Graphen
- Punktsymmetrie zum Urpsrung
- Achsensymmetrie zur y-Achse
- Vertiefen der Funktionenlehre
- Überblick über die bisher bekannten Funktionstypen
- Rationale Funktionen
- Nichtrationale Funktionen
- Der Einfluss der Änderung von Parametern: Verschieben, Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen
- Verschieben
- Strecken und Stauchen
- Spiegeln
- Verhalten von Funktionen im Unendlichen
- Allgemeines
- Verhalten von Funktionen im Unendlichen anhand bestimmter Funktionsarten
- Ganzrationale Funktionen
- Hyperbeln
- Gebrochenrationale Funktionen
- Verhalten an einer Definitionslücke
- Literatur und Quellen
- Literatur
- Quellen
Kreis, Kugel und die Kreiszahl π
Kreis
Das Bogenmaß
Spannt man in einem Kreis mit dem Radius r einen Mittelpunktwinkel α auf, so erhält man einen Kreissektor mit der Bogenlänge b. Diese Länge ist direkt proportional zum Winkel α:
Für einen Einheitskreis – also einen Kreis, dessen Radius 1 Längeneinheit (LE) ist – folgt hieraus, dass der vollwinkel (360 °) eine Bogenlänge von 2π aufspannt:
Dieser Zusammenhang wird beim Bogenmaß genutzt. Durch ihn lassen sich Winkel auch ohne Gradangabe beschreiben. Hierfür wird der Quotient aus der Bogenlänge b und den (beliebigen) Radius r genommen. Ein solcher Winkel x hat also auch keine Einheit:
Teilweise wird zur Verdeutlichung aber auch die Bezeichnung „Radiant“ – abgekürzt „rad“ – verwendet.
Ein bereits in Grad bekannter Winkel α lässt sich durch die Bogenlänge bei einem Radius von 1 Längeneinheit berechnen:
Ist der Winkel dagegen im Bogenmaß angegeben und möchte man die Gradangabe ermitteln, so rechnet man:
Zu folgenden Winkelgrößen gibt es folgende (wichtige) Bogenmaße:
Winkel im Gradmaß | 0 ° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | 90 ° | 135 ° | 180 ° | 270 ° | 360 ° |
Winkel im Bogenmaß | 0 | $$ \frac{\pi}{6} $$ | $$ \frac{\pi}{4} $$ | $$ \frac{\pi}{3} $$ | $$ \frac{\pi}{2} $$ | $$ \frac{3\pi}{4} $$ | $$ \pi $$ | $$ \frac{3\pi}{2} $$ | $$ 2\pi $$ |
Der Kreissektor
Flächeninhalt des Kreissektors
Ebenso wie die Bogenlänge ist auch der Flächeninhalt A eines Kreissektors direkt proportional zum Mittelpunktswinkel α:
Die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Kreissektor
Die Bogenlänge b und der Kreissektor A stehen in folgendem Zusammenhang:
Dies ergibt sich aus folgenden Schritten:
- Den Flächeninhalt des Kreissektors kann man auch wie folgt darstellen:
$$ A \:=\: \frac{r}{2} \cdot \frac{r \cdot \pi \cdot \alpha}{180\,^\circ} $$
- Der zweite Faktor ist gleich der Bogenlänge b (vergleiche nochmals die Formel oben):
$$ A \:=\: \frac{r}{2} \cdot b $$
- Durch Umformung des Terms ergibt sich die bereits genannte Beziehung:
$$ \frac{A}{b} \:=\: \frac{r}{2} $$
Kugel
Eine Kugel zeichnet sich dadurch aus, dass jeder Punkt ihrer Oberfläche den gleichen Abstand – den Radius r – von ihrem Mittelpunkt M hat.
Volumen der Kugel
Eine Kugel mit dem Radius r hat folgendes Volumen V:
Oberflächeninhalt einer Kugel
Eine Kugel mit dem Radius r hat eine gekrümmte Oberfläche. Diese kann nicht in eine Ebene gebracht werden. Aus diesem Grund ist auch jede ebene Karte der annähernd kugelförmigen Erde eine verzerrende Projektion. Der Oberflächeninhalt A einer Kugel beträgt:
Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Spannt man auf einen Einheitskreis einen Winkel α an der x-Achse auf, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Hypotenuse entspricht dabei dem Radius r des Kreises und hat somit eine Länge von 1 LE. Die Ankathete hat dazu die Länge cos α und die Gegenkathete die Länge sin α:
Ein Punkt P, der durch den Winkel α bestimmt wird und auf dem Einheitskreis liegt, hat somit auch die x- und y-Koordinaten, die durch den Kosinus und Sinus des Winkels α entstehen:
Für jeden spitzen Winkel α gilt, dass bei α, (180 °–α), (180 °+α) und (360 °–α) der Sinus und Kosinus betragsmäßig den gleichen Wert haben. Damit ist man auch nicht mehr an die Definition des Sinus und Kosinus im rechtswinkligen Dreieck gebunden, die lediglich für spitze Winkel galt. Für den Winkel α gilt somit:
Für folgende Winkel ergeben sich die entsprechenden Sinus- bzw. Kosinsus-Werte:
Sinus | Kosinus |
$$ \sin 0^\circ = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0 $$ | $$ \cos 0^\circ = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1 $$ |
$$ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2} $$ | $$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1 $$ |
$$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ | $$ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ |
$$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ | $$ \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2} $$ |
$$ \sin 90^\circ = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1 $$ | $$ \cos 90^\circ = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0 $$ |
$$ \sin 180^\circ = 0 $$ | $$ \cos 180^\circ = -1 $$ |
$$ \sin 270^\circ = -1 $$ | $$ \cos 270^\circ = 0 $$ |
$$ \sin 360^\circ = 0 $$ | $$ \cos 360^\circ = 1 $$ |
Da der Winkel α mit der x-Achse ein rechtwinkliges Dreieck bildet, gilt der Satz des Pythagoras. Die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus ergibt also 1:
Sinus- und Kosinussatz im Dreieck
Der Sinussatz im allgemeinen Dreieck
Es wird folgendes (spitzes) Dreieck betrachtet:
Wie bereits aus der neunten Klasse bekannt, ist der Sinus der Quotient aus Hypotenuse (hier hc) und Gegenkathete (hier b). Im Dreieck ΔADC gilt also für den Winkel α:
Entsprechendes gilt für das Dreieck ΔDBC hinsichtlich des Winkels β:
Da beide Terme als Ergebnis hc haben, lassen sie sich gleichsetzen:
Diesen Zusammenhang nennt man Sinussatz: Die Längen zweier Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie die Sinuswerte des gegenüberliegenden Winkels. Der Sinussatz ist anwendbar, wenn von einem Dreieck die Länge einer Seite und zwei Innenwinkel bekannt sind.
Der Kosinussatz
Grundsatz
Ist der Sinussatz nicht anwendbar, kann der Kosinussatz helfen. Er lautet je nach den gegegebenen Angaben für ein Dreieck ΔABC:
Der Kosinussatz mag zwar auf den ersten Blick kompliziert wirken. Betrachtet man aber den Sonderfall, dass ein Winkel im Dreieck 90° groß ist, fällt der Subtrahend weg, da dieser wegen des Kosinus 0 ist. Dadurch ergibt sich für diesen Fall wieder der Satz des Pythagoras.
Herleitung des Kosinussatzes
Der Kosinussatz lässt sich herleiten, indem wir das Dreieck ΔABC nehmen und die Höhe ha eintragen. Der Schnittpunkt zwischen dieser Höhe und der Seite a sei D:
In diesem Fall gilt wieder das aus der neunten Klasse Bekannte:
Da das Dreieck ΔABD ein rechtwinkliges Dreieck ist, gilt auch hier der Satz des Pythagoras. Davon ausgehend kann man durch Kombination der Gleichungen (1) und (2) den Kosinussatz ermitteln. Im Folgenden soll dies für die Seite c gezeigt werden:
Diese Herleitung lässt sich natürlich entsprechend auch auf die anderen Seiten bzw. Winkel anwenden.
Die Sinus- und Kosinusfunktion
Einführung
Die Sinusfunktion ist eine Funktion, deren y-Wert durch den Sinus von x bestimmt wird:
Der dazu gehörende Graph wird als Sinuskurve bezeichnet. Man erhält sie, indem man für die x-Koordinate den Winkel α im Bogenmaß und für die y-Koordinate den entsprechenden Sinuswert verwendet.
Entsprechend wird auch die Kosinusfunktion definiert. Deren Kosinuskurve erhält man also durch die Verwendung des Winkels α im Bogenmaß und des Kosinuswerts:
In einem Koordinatensystem sehen Sinus- und Kosinuskurve also so aus:
Die beiden Kurven wiederholen sich in einem bestimmten Abstand stetig. Mit einem Abstand von 2π nehmen sie den gleichen y-Wert ein. Solche Funktionen, deren Funktionswerte sich in einem festen Abstand wiederholen, nennt man periodische Funktionen und den kleinsten möglichen Abstand Periode.
Beide Funktionen haben die Wertemenge [–1;1]. Während die Sinuskurve zum Ursprung eines Koordinatensystems punktsymmetrisch ist, ist die Kosinuskurve achsensymmetrisch zur y-Achse.
Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion: Form- und Lageveränderungen der Sinus- und Kosinuskurve
Wird die Sinusfunktion wie folgt mit den Koeffizienten a, b, c und d ergänzt, spricht man von der allgemeinen Sinusfunktion:
Entsprechendes gilt für die allgemeine Kosinusfunktion:
Die einzelnen Parameter haben folgende Auswirkungen, die anhand der Sinuskurve dargestellt werden sollen (für eine größere Ansicht des Graphen einfach auf das Bild klicken):
Exponentielles Wachstum und Logarithmen
Wachstums- und Zerfallsprozesse
Viele Veränderungen in der Natur lassen sich als lineares oder exponentielles Wachstum beschreiben.
Linears Wachstum
Bei einem linearen Wachstum nimmt die betrachtete Größe konstant zu bzw. ab. Der Zuwachs bzw. die Abnahme werden mit $d = f(t+1) - f(t)$ oder mit dem Summanden a beschrieben.
Hierbei ist b der Ausgangspunkt der Betrachtung bei x = 0. Ist a < 0, spricht man von einer linearen Abnahme, bei a > 0 von einer linearen Zunahme. Der Graph zum Term ist eine Gerade.
Beispiel: Um Mitternacht hat ein Fluss einen Pegelstand von 3,50 m. Jede Stunde steigt dieser um 20 cm. Wenn x die vergangene Zeit in Stunden ist, sehen Term und Graph wie folgt aus:
Exponentielles Wachstum
Beim exponentiellen Wachstum erfolgt die Zunahme bzw. Abnahme dagegen mit einem konstanten Wachstumsfaktor q. Dieser ist definiert als:
Unter Verwendung des Wachstumsfaktors q ergibt sich als Term:
Die Exponentialfunktion
Die allgemeine Exponentialfunktion
Eine Funktion der Form
wird als Exponentialfunktion bezeichnet. Hier steht die Variable x also nicht in der Basis, sondern ist der Exponent einer Potenz. Bei der dargestellten Formel handelt es sich um die sogenannte allgemeine Exponentialfunktion. Sie weist einige Charakteristika auf:
- Der Graph verläuft durch den Punkt (0/1).
- Ist a > 1, steigt der Graph mit zunehmendem x-Wert an; je größer a ist, desto steiler verläuft der Graph.
- Ist 0 < a < 1, fällt der Graph dagegen ab; hier gilt, dass der Graph umso steiler ist, je kleiner a ist.
- Die y-Achse bildet zu den Graphen der allgemeinen Exponentialfunktion und $g(x) = a^{-x}$ eine Symmetrieachse.
- Die allgemeine Exponentialfunktion nimmt nur positive Werte an: $W_f = \mathbb{R}^+$.
- Für die allgemeine Exponentialfunktion ist die x-Achse somit eine Asymptote.
Erweiterung der Exponentialfunktion
Die allgemeine Exponentialfunktion lässt sich auch modifizieren:
Betrachtet man den Term ohne den Summanden c, so hat die Exponentialfunktion folgende Eigenschaften, die von denen der allgemeinen Exponentialfunktion abweichen:
- Der Graph verläuft durch den Punkt (0/b).
- Ist b < 0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt.
- Je größer b ist, desto steiler ist der Graph an einem bestimmten x-Wert.
Betrachtet man dagegen den Term zusammen mit dem Summanden c, so ergeben sich folgende abweichenden Eigenschaften:
- Der Graph verläuft durch den Punkt (0/a+c).
- Der Graph wird in y-Richtung um c verschoben.
- y = c ist die Asymptote.
Logarithmen
Allgemeines
Hat man eine Gleichung
so kann man x durch den Logarithmus ermitteln:
Man sagt: „x ist gleich der Logarithmus von y zur Basis b“. Der Logarithmus ist also die Umkehrung der Potenz. Wird als Basis die Zahl 10 verwendet, wird häufig auch lediglich log x oder lg x geschrieben.
Folgende besondere Logarithmen sollte man verinnerlichen:
Rechenregeln für Logarithmen
Rechnet man mit Logarithmen, so sind folgende Regeln zu beachten:
Lösen von Exponentialgleichungen
Bei Exponentialgleichungen steht die Variable mindestens einmal im Exponenten. Sie lassen sich auf verschiedenen Wegen lösen.
Beide Seiten logarithmieren
Zunächst kann man beide Seiten logarithmieren, um so die Potenz zu entfernen. Beispiel:
Beide Seiten als Potenz zur gleichen Basis schreiben
In einem solchen Fall kürzen sich die Potenzen weg. Beispiel:
Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen
Hier werden die bekannten Regeln zum Rechnen mit Potenzen verwendet, um die Gleichung zu vereinfachen:
Substitution und quadratische Gleichung
Hier wird zunächst ein Teil der Gleichung durch eine Variable ersetzt (Substitution). Anschließend können im Falle einer quadratischen Gleichung Lösungen gefunden werden. Deren Ergebnisse sind schließlich wieder zu resubstituieren.
Stochastik: Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Wiederholung der Pfadregeln
Die Grundzüge der Stochastik und der zusammengesetzten Zufallsexperimente sind bereits aus der neunten Klasse bekannt. An dieser Stelle sollen diese Grundzüge aber nochmals wiederholt werden.
Wird ein Zufallsexperiment n-mal wiederholt, spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Die möglichen Ereignisse lassen sich in einem Baumdiagramm darstellen.
Beispiel: In einer Urne befinden sich vier Kugeln. Jede Kugel ist mit „L“, „A“, „U“ bzw. „S“ beschriftet. Es werden nacheinander drei Kugeln herausgezogen, ohne die gezogenen Kugeln zurückzulegen. Das dazu gehörende Baumdiagramm sieht folgendermaßen aus:
Möchte man herausfinden, wie groß etwa die Wahrscheinlichkeit ist, das Wort „ALS“ zu ziehen, muss man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Das ist die Pfadregel 1 (oder Produktregel):
Besteht das Ergebnis aus mehreren Ereignissen, so sind deren einzelne Wahrscheinlichkeiten zu addieren. Das wird als Pfadregel 2 oder Summenregel bezeichnet.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man den Fall, dass bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ein Ereignis A von einem Ereignis B abhängig ist. Man schreibt:
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ergbit sich aus folgender Rechnung:
Mit $P(A \cap B)$ wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das A und B umfasst, ausgedrückt.
Nehmen wir etwa das Beispiel aus der Wiederholung (siehe oben). Will man nun herausfinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, beim zweiten Ziehen ein „L“ zu ziehen, nachdem beim ersten Ziehen ein „A“ gezogen worden ist, so ergibt sich:
Ausbau der Funktionenlehre: Ganzrationale Funktionen
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
Funktionen der Form $f: f(x) = a \cdot x^n;\;n \in \mathbb{N}$ heißen Potenzfunktionen (n-ten Grads). Ihre Graphen werden bei n > 1 als Parabeln bezeichnet.
Sie haben bei einem geraden bzw. ungeraden Exponenten folgende Eigenschaften:
Eigenschaften | n gerade | n ungerade | ||
Symmetrieachse | Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse | Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung | ||
Gemeinsame Punkte | (0/0), (1/a), (–1/a) | |||
Steigung | Je größer n ist, desto
|
|||
Auswirkungen von a | a > 0 | a < 0 | a > 0 | a < 0 |
$$W = \mathbb{R}_0^+$$ | $$ W = \mathbb{R}_0^- $$ | $$ W = \mathbb{R} $$ | ||
I./II. Quadrant | III./IV. Quadrant | I./III. Quadrant | II./IV. Quadrant | |
x < 0: Graph fällt x > 0: Graph steigt |
x > 0: Graph steigt x < 0: Graph fällt |
Graph steigt immer | Graph fällt immer | |
Graph überall linksgekrümmt | Graph überall rechtsgekrümmt | x < 0: rechtsgekrümmt x > 0: linksgekrümmt |
x < 0: linksgekrümmt x > 0: rechtsgekrümmt |
Lösungsverfahren für Potenzgleichungen
Je nachdem, um welche Potenzgleichung es sich handelt, gibt es verschiedene Lösungsverfahren.
Lineare und quadratische Gleichungen
Für lineare und quadratische Gleichungen sind die Lösungsverfahren bereits bekannt: Bei linearen Gleichungen können Äquivalenzumformungen und bei quadratischen Gleichungen die Mitternachtsformel angewandt werden.
Gleichungen höheren Grads
Bei Gleichungen höheren Grads gibt es keine solchen einfachen Lösungsverfahren. Je nach Grad lassen sich aber verschiedene Wege zur Lösungsermittlung versuchen.
Ausklammern
Zunächst kommt ein „Ausklammern“ in Betracht. Dies bietet sich an, wenn ein Zahlenterm fehlt.
Als Beispiel soll folgende Gleichung dienen:
In der Gleichung hat jeder Summand die Variable x. Diese kann daher ausgeklammert werden. Der Term innerhalb der Klammer ist eine quadratische Gleichung, die ihrerseits wieder mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden kann:
„Erraten“ einer Lösung und Polynomdivision
Diese Vorgehensweise bietet sich bei Gleichungen dritten Grads an und man durch Erraten oder gezieltes Probieren bereits eine Lösung hat. Diese Lösung wird anschließend für eine Polynomdivision genutzt.
Nehmen wir etwa folgende Gleichung:
Durch Probieren kann man bereits das Ergebnis x1 = 1 erhalten. Dieses Ergebnis kann in eine Polynomdivision eingesetzt werden, indem es als Divisor eingesetzt wird. Die Polynomdivision funktioniert dabei so wie die Division natürlicher Zahlen: Man dividiert also jeden Summanden des Dividenden nacheinander durch den Summanden höchsten Grads des Divisors (hier: x). Dieses Ergebnis wird mit dem gesamten Divisor multipliziert. Dieses Produkt Wird dann vom betrachteten Summanden des Dividenden subtrahiert:
( | x3 | + | 10 | x2 | + | 7 | x | – | 18 | ) | : | ( | x | – | 1 | ) | = | x2 | + | 11 | x | + | 18 | |
– | ( | x3 | – | x2 | ) | |||||||||||||||||||
11 | x2 | + | 7 | x | ||||||||||||||||||||
– | ( | 11 | x2 | – | 11 | x | ) | |||||||||||||||||
18 | x | – | 18 | |||||||||||||||||||||
– | ( | 18 | x | – | 18 | ) | ||||||||||||||||||
– |
Bei der in diesem Fall entstehende quadratische Gleichung kann wieder die Mitternachtsformel zur Ermittlung der weiteren Lösungen verwendet werden:
Substitution
Schließlich kann auch eine Substitution eingesetzt werden. Sie eignet sich insbesondere dann, wenn der Exponent ein Vielfaches einer anderen Zahl ist.
Als Beispiel sei folgende Gleichung genommen:
Hier bietet es sich an, x2 durch die Variable u zu ersetzen. Hierdurch erhält man eine quadratische Gleichung, die mittels der Mitternachtsformel aufgelöst werden kann. Durch die anschließende Resubstitution erhält man die Lösung für die ursprüngliche Gleichung.
Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen
Polynomfunktionen
Ganzrationale Funktionen haben folgende Form:[1]delta 10, S. 118.
Sie werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet. Der Funktionsterm heißt entsprechend Polynom n-ten Grads. Die Werte an, an–1, an–3, ... werden als Koeffizienten bezeichnet.
Nullstellen von Potenzialfunktionen
Eine Funktion f(x) n-ten Grads hat höchstens n Nullstellen. Diese Nullstellen erhält man, indem die Funktion gleich Null gesetzt wird:
Faktorisierung
Grundlagen
Die Nullstellen lassen sich auch durch die Faktorisierung der Funktion ermitteln. Hat eine Funktion die Nullstellen x1, x2, x3, ... so hat sie folgende Form:
Dabei hat g(x) keine Nullstelle und keinen Faktor a. Dieser ist ein Polynom vom Grad n–1 und wird durch eine Polynomdivision ermittelt.[2]delta 10, S. 118.
Beispiel
Als Beispiel sei folgende Gleichung gegeben:
Diese Gleichung hat folgende Nullstellen: x1 = –1, x2 = 1, x3 = 2. Die faktorisierte Form der Potenzfunktion sieht daher so aus:
Vielfachheit von Nullstellen
Eine Nullstelle kann einfach oder mehrfach in einer Funktion vorkommen (allgemein: k-fach). So hat die Funktion $f(x) = x^2$ an x = 0 eine doppelte Nullstelle, da die Funktion auch als $f(x) = (x+0)(x+0)$ geschrieben werden kann, die Nullstelle also an dieser Stelle zweimal vorkommt.
Diese Vielfachheit hat auf den Kurvenverlauf eine entstcheidende Rolle:
- Bei einem geraden Grad der Nullstelle berührt diese die x-Achse nur; es findet also kein Vorzeichenwechsel statt.
- Bei einem ungeraden Grad schneidet der Graph dagegen die x-Achse; mithin kommt es zu einem Vorzeichenwechsel.
- Je größer die Vielfachheit der Nullstelle ist, desto flacher verläuft an dieser Stelle der Graph.
Verhalten von Potenzgleichungen im Unendlichen
Das Verhalten eines Graphen einer ganzrationalen Funktion wird für sehr große und auch für sehr kleine Werte von x durch den Summanden mit dem höchsten Summanden – also durch anxn – bestimmt.
Betrachtet man den Fall, dass x immer größer wird, so sagt man „x strebt gegen unendlich“. Man schreibt:
Entsprechend sagt man beim Betrachten immer kleinerer x-Werte: „x strebt gegen minus unendlich“ und schreibt:
Bei kleineren x-Werten können die übrigen Summanden einen („entscheidenden“) Einfluss auf den Kurvenverlauf nehmen, bevor die Potenzfunktionen gegen plus oder minus unendlich streben. So können sich zum Beispiel folgende Verläufe ergeben:
Symmetrie eines Graphen
Punktsymmetrie zum Urpsrung
Ein Funktionsgraph kann zum Ursprung des Koordinatensystems punktsymmetrisch sein. Neben der graphischen Überprüfung, lässt sich auch rechnerisch ermitteln, ob ein Graph punktsymmetrisch ist. Hierfür muss folgende Gleichung erfüllt sein:
Gegeben sei etwa folgende Funktion:
Aus folgender Rechnung ergibt sich, dass der Funktionsgraph punksymmetrisch ist:
Achsensymmetrie zur y-Achse
Will man dagegen überprüfen, ob ein Funktionsgraph zur y-Achse achsensymmetrisch ist, so ist folgende Gleichung heranzuziehen:
Es soll folgende Funktion untersucht werden:
Diese ist zur y-Achse achsensymmetrisch:
Vertiefen der Funktionenlehre
Überblick über die bisher bekannten Funktionstypen
Bisher wurden sowohl rationale als auch nichtrationale Funktionen behandelt.[1]Vgl. hierzu delta 10, S. 134 f.
Rationale Funktionen
Zu den rationalen Funktionen zählen solche Funktionen, die ausschließlich rationale Rechenoperationen verwenden. Das sind die Grundrechenarten. Die rationalen Funktionen lassen sich wiederum in ganzrationale Funktionen und gebrochenrationale Funktionen unterteilen.
Die ganzrationalen Funktionen sind bereits im vorherigen Kapitel behandelt worden; es wird insoweit darauf verwiesen.
Die gebrochenrationalen Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie als Term einen Bruch haben. Sie kommen in zwei Formen vor. Sie können entweder im Zähler und im Nenner eine Variable haben. Oder sie haben ausschließlich im Nenner eine Variable. Die Definitionsmenge der gebrochenrationalen Funktionen wird daher durch die Nullstellen des Nenners eingegrenzt.
Nichtrationale Funktionen
Zu den nichtrationalen Funktionen zählen etwa die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunktionen.
Der Einfluss der Änderung von Parametern: Verschieben, Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen
Eine Funktion f(x) lässt sich mithilfe von Parametern beeinflussen. Durch sie kann ein Funktionsgraph verschoben, gestreckt oder gespiegelt werden.
Verschieben
Strecken und Stauchen
Spiegeln
Verhalten von Funktionen im Unendlichen
Allgemeines
Je nachdem, welche Art von Funktionen vorliegt, verhält sich der Graph unterschiedlich, wenn die x-Werte immer größer oder kleiner werden. Dabei kann sich der Funktionswert einer Zahl a beliebig weit annähern. Diese Zahl wird als Grenzwert bezeichnet. Die Gerade y = a ist dabei die waagrechte Asymptote des Funktionsgraphen.
Tendiert etwa eine Funktion f(x) bei immer größer werdendem x-Wert zum Wert a, so schreibt man:
Man sagt: „Der Limes von f(x) ist gleich a.“
Besteht eine Funktion selbst aus mehreren Funktionen, so kann für jede Teilfunktion der Grenzwert ermittelt werden und mithilfe von Grenzwertregeln der Grenzwert der Funktion ermittelt werden. Dabei gilt (hier strebt der Limes gegen z):
Verhalten von Funktionen im Unendlichen anhand bestimmter Funktionsarten
Ganzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen streben im Unendlichen immer gegen plus oder minus unendlich:
Hyperbeln
Bei nicht verschobenen Hyperbeln ist der Limes 0. Ist die Hyperbel um c Einheiten nach oben oder unten verschoben, nimmt der Limes den Wert c an:
Gebrochenrationale Funktionen
Gegeben sei folgende gebrochenrationale Funktion:
Wie sich die Funktion verhält, hängt entscheidend davon ab, ob der Zählergrad oder der Nennergrad größer ist:
- Zählergrad > Nennergrad: Hier ist der Limes plus oder minus unendlich und es gibt keine waagrechte Asymptote:
$$ \lim_{x \rightarrow \pm\infty} f(x) = \pm \infty $$
- Zählergrad = Nennergrad: In diesem Fall ist der Grenzwert der Quotient aus an und bm;
Dies ist auch die waagrechte Asymptote:
$$ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} $$
- Zählergrad < Nennergrad: Hier ist die x-Achse die Asymptote, der Grenzwert also 0:
$$ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = 0 $$
Verhalten an einer Definitionslücke
Um das Verhalten von Funktionen an Definitionslücken kennenzulernen, betrachten wir folgenden Graphen der Funktion f(x):
Der dazu gehörende Funktionsterm lautet:
Man kann erkennen, dass die Funktion zwei Definitionslücken hat, da der Term bei x1 = –1 und x2 = 4 jeweils eine 0 als Divisor hat.
Es ist zudem erkennbar, dass sowohl im Dividenden als auch im Divisor der Faktor (x–4) steht. Würde man ihn aus dem Term herauskürzen, würde hierdurch die Funktion geändert werden, da auch die Definitionsmenge geändert werden würde. In einem solchen Fall ist der Graph an der Stelle nicht definiert. Man spricht von einer hebbaren Definitionslücke. Sie wird im Graphen als ein Kreis dargestellt. Der Grenzwert ergibt sich aus der Funktion unter Weglassen des hier betrachteten Faktors:
Ist eine Definitionslücke hingegen nicht „wegkürzbar“ – wie hier x1 = –1 – so liegt eine Polstelle vor. Der Graph hat an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote. Dabei ist zu beachten, dass man sich sowohl von der linken als auch von der rechten Seite der Definitionslücke annähern kann. Dies kann z. B. mit einem „–“ bzw. einem „+“ symbolisiert werden:
Literatur und Quellen
Literatur
- delta 10, Mathematik für Gymnasien, C.C. Buchner Verlag, 1. Auflage 2008, 978-3-7661-8260-9