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Achsen- und punktsymmetrische Figuren

Achsensymmetrische Figuren

Beispiel einer achsensymmetrischen FigurBeispiel einer achsensymmetrischen Figur
Beispiel einer achsensymmetrischen Figur

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie sich in zwei gleich große Teile zerlegen lässt, die durch Falten an der Symmetrieachse zur Deckung kommen.

Sie haben besondere Eigenschaften:

Konstruktion von Spiegelpunkt und Achse

Achsensymmetrische Figuren lassen sich aus ihren Hälften herstellen, indem man sie spiegelt. Werden dabei nur ein Zirkel und ein Lineal verwendet, ohne Abstände mit dem Lineal zu messen, spricht man von Konstruieren bzw. einer Konstruktion.

Konstruktion eines Spiegelpunkts mit einer Achse

Gegeben sind die Spiegelachse $a$ und der Punkt $P$. Gesucht ist der Spiegelpunkt $Q$.

In diesem Fall nimmt man zunächst einen beliebigen Punkt $A$ auf der Achse und zeichnet einen Kreis mit dem Radius $[AP]$ um ihn herum. Das gleiche macht man mit einem anderen Punkt $B$. Die beiden Kreise schneiden einander im Punkt $P$ und im Punkt $Q$.

Die Vorgehensweise kann etwa wie folgt aussehen:

Konstruktion des Spiegelpunkts an einer AchseKonstruktion des Spiegelpunkts an einer Achse

Konstruktion der Symmetrieachse zweier Punkte

Gegeben sind die zwei Punkte $P$ und $Q$. Gesucht wird die Symmetrieachse $a$ dieser beiden Punkte.

Zunächst zieht man um beide Punkte denselben Kreis, dessen Radius größer ist als die Hälfte der Strecke $[PQ]$. Die Gerade zwischen den beiden Schnittpunkten $S_1$ und $S_2$ ist die Spiegelachse. Da sie die Strecke $[PQ]$ rechtwinklig halbiert, wird die Symmetrieachse auch Mittelsenkrechte oder Mittellot genannt.

Konstruktion der Spiegelachse zweier PunkteKonstruktion der Spiegelachse zweier Punkte

Weitere Grundkonstruktionen

Folgende Konstruktionen werden regelmäßig benötigt. Sie werden daher als Grundkonstruktionen bezeichnet.

Errichten und Fällen eines Lotes

Möchte man von einem Punkt $P$, der auf der Geraden $g$ liegt ($P \in g$), aus ein Lot auf $g$ errichten, zeichnet man die Schnittpunkte eines Kreises (um $P$). Mithilfe dieser weiteren Punkte wird die Mittelsenkrechte konstruiert. Hierbei genügt es, nur eine Schnittstelle zu ermitteln:

Errichten eines LotesErrichten eines Lotes
Errichten eines Lotes

Liegt der Punkt $P$ nicht auf der Geraden $g$ ($P \notin g$), so fällt man das Lot, indem man von $P$ aus einen Kreis zeichnet, der zwei Schnittpunkte mit $g$ hat. Mithilfe dieser Schnittpunkte wird eine Mittelsenkrechte gebildet. Der Punkt, in dem sich die zwei Geraden schneiden, heißt Lotfußpunkt $F$.

Fällen eines LotesFällen eines Lotes
Fällen eines Lotes

Winkelhalbierende

Möchte man die Winkelhalbierende $w_\alpha$ eines Winkels $\alpha$ konstruieren, schneidet man zunächst den Schenkel und den Scheitel. Sodann konstruiert man von diesen Punkten aus die Mittelsenkrechte.

Konstruieren einer WinkelhalbierendenKonstruieren einer Winkelhalbierenden

Mittelparallele

Gegeben sind zwei parallele Geraden $g$ und $h$. Auf $g$ liegt der Punkt $P$ ($P \in g$). Gesucht ist die Mittelparallele $m$.

Hierfür fällt man zunächst von $P$ das Lot auf $h$. Dieses Lot schneidet $h$ im Punkt $F$. Danach konstruiert man die Mittelsenkrechte der Strecke $[PF]$.

Konstruktion einer MittelparalleleKonstruktion einer Mittelparallele

Punktsymmetrie

Allgemeines

Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch Halbdrehung, d.h. bei einer Drehung um 180° um das Symmetriezentrum (auch: Spiegelzentrum) $Z$, mit sich zur Deckung kommt:

Beispiel einer punktsymmetrischen FigurBeispiel einer punktsymmetrischen Figur

Bei einer Punktsymmetrie sind folgende Eigenschaften zu beobachten:

Konstruktionen bei punktsymmetrischen Figuren

Um einen punktsymmetrischen Punkt $P*$ des Punkts $P$ zu erhalten, zeichnet man als erstes die Gerade $PZ$. Der Spiegelpunkt liegt auf dieser Gerade. Sodann zeichnet man um $Z$ einen Kreis mit dem Radius der Strecke $[PZ]$:

Konstruktion des Spiegelpunkts am ZentrumKonstruktion des Spiegelpunkts am Zentrum
Konstruktion des Spiegelpunkts am Zentrum

Will man dagegen das Spiegelzentrum $Z$ zweier Punkte erhalten, muss man den Mittelpunkt der Strecke $[PP*]$ ermitteln. Denn $Z$ liegt auf dem Schnittpunkt der Strecke $[PP*]$ und der dazu gehörenden Mittelsenkrechte:

Konstruktion des SpiegelzentrumsKonstruktion des Spiegelzentrums
Konstruktion des Spiegelzentrums

Symmetrische Vierecke

Es gibt insgesamt sechs Vierecke, die eine Symmetrie aufweisen:

Quadrat

Symmetrieachsen beim QuadratSymmetrieachsen beim Quadrat

Raute

Symmetrieachsen bei der RauteSymmetrieachsen bei der Raute

Rechteck

Symmetrieachsen beim RechteckSymmetrieachsen beim Rechteck

Drachenviereck

Symmetrieachsen beim DrachenviereckSymmetrieachsen beim Drachenviereck

Gleichschenkliges Trapez

Symmetrieachsen beim gleichschenkligen TrapezSymmetrieachsen beim gleichschenkligen Trapez

Parallelogramm

Punktsymmetrie beiim ParallelogrammPunktsymmetrie beiim Parallelogramm

Winkelbetrachtungen an Figuren

Winkel an einer Geradenkreuzung

Schneiden sich zwei Geraden, bilden sie eine Geradenkreuzung. Diese hat die vier Winkel $\alpha, \beta, \gamma$ und $\delta$:

Winkel an einer GeradenkreuzungWinkel an einer Geradenkreuzung

Da die Winkel $\alpha$ und $\beta$, $\beta$ und $\gamma$, $\gamma$ und $\delta$ sowie $\delta$ und $\alpha$ jeweils nebeneinander liegen, werden sie als Nebenwinkel bezeichnet. Deren Summe beträgt jeweils 180°.

Dagegen sind die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ sowie $\beta$ und $\delta$ zueinander Scheitelwinkel. Sie besitzen die gleiche Größe.

Winkel an Parallelen

Hat man zwei parallele Geraden $g_1$ und $g_2$ und schneidet diese mit einer dritten Geraden $s$, so erhält man eine so genannte Doppelkreuzung. An ihr bestehen folgende Winkel:

Winkel an einer DoppelkreuzungWinkel an einer Doppelkreuzung

Stufenwinkel

Als Stufenwinkel (oder F-Winkel) werden diejenigen Winkel bezeichnet, die auf derselben Seite der Gerade $s$ und auf einander entsprechenden Seiten der Geraden $g_1$ und $g_2$ liegen.

StufenwinkelStufenwinkel

Stufenwinkel sind jeweils gleich groß. Es gilt also z. B.:

$$ \alpha_1 = \alpha_2 \\ \delta_1 = \delta_2 $$

Wechselwinkel

Winkel, die in Bezug auf $g_1$, $g_2$ und $s$ auf verschiedene Seiten liegen, heßen Wechselwinkel (oder auch Z-Winkel).

WechselwinkelWechselwinkel

Auch Wechselwinkel sind jeweils gleich groß, z. B.:

$$ \gamma_1 = \beta_2 \\ \delta_1 = \alpha_2 $$

Nachbarwinkel

Winkel, die auf der gleichen Seite von $s$, aber auf verschiedenen Seiten von $g_1$ und $g_2$ liegen, heißen Nachbarwinkel (oder auch E-Winkel). Diese Winkel ergeben zusammen 180°

NachbarwinkelNachbarwinkel

Ihre Winkel ergeben zusammen 180°:

$$ \alpha_1 + \gamma_2 = 180^\circ \\ \delta_1 + \beta_2 = 180^\circ $$

Winkelsumme im Dreieck und anderen Vielecken

In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ immer 180°. Die entsprechenden Außenwinkel $\alpha^*$, $\beta^*$ und $\gamma^*$ ergeben mit ihnen ebenfalls 180°:

Winkelsummen im DreieckWinkelsummen im Dreieck

In einem Viereck ergibt die Summe der Innenwinkel 360°. Allgemein lässt sich die Winkelsumme in einem Vieleck mit $n$ Ecken mit folgender Formel beschreiben:

$$ \text{Winkelsumme} = \frac{n - 1}{2} \cdot 180^\circ $$

Terme und Gleichungen

Term und Zahl

Terme können außer Zahlen, Rechenzeichen und Klammern auch Variabeln beinhalten. Mit Variabeln kennzeichnet man, dass in einer Rechnung ein Bestandteil veränderlich ist. Man schreibt, wenn man $x$ als Variable verwenden will, z. B.:

$$ T(x) = 3x^2 $$

Ausgesprochen wird dies so: „T von x ist gleich drei mal das Quadrat von x.“

Die Zahlen, die in den Term für die Variable eingesetzt werden können, heißen zusammen Grundmenge $G$. Beim Einsetzen einer Zahl erhält man den Termwert. So hat der angesprochene Term bei $x = 2$ einen Termwert von:

$$ T(2) = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 $$

Umformen von Termen

Terme lassen sich umformen. Hierbei werden häufig die bereits bekannten Rechengesetze – Kommutativgesetz sowie das Assoziativgesetz verwendet.

Haben zwei Terme jeweils Variabeln und haben sie für jeden Wert der Variable den gleichen Termwert, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Addieren und Subtrahieren

Hat ein Term mehrere gleichartige Termglieder („Variantenkombinationen“), so kann man diese Termglieder addieren oder subtrahieren, indem man ihre Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert:

$$ m \cdot x + n \cdot x = (m + n) \cdot x \\ m \cdot x - n \cdot x = (m - n) \cdot x$$

Beispiele:

$$ 5x + 7x = 12x \\ 3x^2 - 2x^2 = 1x^2 = x^2 $$

Multiplizieren und Dividieren

Auch bei der Multiplikation können das Kommutativ- und Assoziativgesetz angewandt werden. Bei der Multiplikation und bei der Division wird der Koffezient mit einer Zahl multipliziert bzw. dividiert:

$$ m \cdot x \cdot n = (m \cdot n) \cdot x\\ m \cdot x : n = \frac{m}{n} \cdot x $$

Beispiele:

$$ 5x \cdot 3 = 5 \cdot 3 \cdot x = 15 \cdot x = 15x \\ 12x : 3 = 12 : 3 \cdot x = 4 \cdot x = 4x $$

Haben beide Faktoren bzw. der Dividend und Divisor eine Variable, wird diese mit verrechnet:

$$ 5x \cdot 3x = 5 \cdot 3 \cdot x \cdot x = 15 \cdot x^2 = 15x^2\\ 12x^2 : 4x = 12 : 4 \cdot x^2 : x = 3 \cdot x = 3x $$

Auflösen von Klammern

Bei Termen mit Klammern ist auf das Vorzeichen vor der Klammer zu achten. Handelt es sich um ein Plus, wird also der Klammerterm addiert, so können die Klammern einfach weggelassen werden:

$$ a + (b + c) = a + b + c $$

Steht vor der Klammer hingegen ein Minus, handelt es sich also um eine Subtraktion, werden die Vorzeichen innerhalb der Klammern beim Auflösen vertauscht: Jedes Minus wird zu einem Plus, jedes Plus wird zu einem Minus:

$$ a - (b + c -d) = a - b - c + d $$

Beispiele:

$$ 4x + (3x - 5x + 8x) = 4x + 3x - 5x + 8x = 10x \\ 4x - (3x - 5x + 8x) = 4x - 3x + 5x - 8x = -2x $$

Multiplikation und Division von Summen und Differenzen

Eine Summe oder Differenz wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jedes Glied der Summe bzw. der Differenz mit dem Faktor multipliziert. Diese Produkte werden sodann addiert bzw. subtrahiert:

$$ (a + b) \cdot c = ac + bc \\ (a - b) \cdot c = ac - bc $$

Bei der Division wird entsprechend vorgegangen:

$$ (a + b) : c = a : c + b : c;\quad c \in \mathbb{Q}\backslash\{0\} \\ (a - b) : c = a : c - b : c;\quad c \in \mathbb{Q}\backslash\{0\} $$

Wird dagegen eine Summe oder Differenz mit einer anderen Summe oder Differnz multipliziert bzw. dividiert, so wird jedes Glied mit den anderen verrechnet. Dabei ist auf die Vorzeichen zu achten:

$$ (a + b) \cdot (c - d) = a \cdot c + a \cdot (-d) + b \cdot c + b \cdot (-d) = ac - ad + bc - bd \\ (a - b) : (c + d) = \frac{a}{c} + \frac{a}{d} + \frac{-b}{c} + \frac{-b}{d} = \frac{a}{c} + \frac{a}{d} - \frac{b}{c} - \frac{b}{d} $$

Beispiele:

$$ (3x + 5) \cdot (-3) = 3x \cdot (-3) + 5 \cdot (-3) = -9x - 15 \\ (6x - 9) : 3 = 6x : 3 - 9 : 3 = 2x - 3 $$

Gleichungen und Äquivalenzumformungen

Eine Gleichung erhält man, indem man zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen gleichsetzt, z. B.

$$ 3x + 5 = 7x - 2 $$

In der Gleichung kann man anstelle der Variable auch Zahlen einsetzen. Die Gesamtheit dieser Zahlen wird als Grundmenge $G$ bezeichnet. Ergibt das Einsetzen einer Zahl eine wahre Aussage, so ist diese Zahl eine oder die Lösung der Gleichung. Die Gesamtheit aller Lösung heißt Lösungsmenge $L$. Gibt es keine Lösung, ist sie eine leere Menge:

$$ L = \{\} $$

Eine Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen gelöst oder zumindest vereinfacht werden. Hierbei werden auf beiden Seiten die gleichen Rechenschritte vorgenommen, da sich dabei nicht die Lösungsmenge ändert. Es sind folgende Umformungen erlaubt:

Nehmen wir die oben genannte Gleichung, so erhalten wir als Lösung:

$$ \begin{array}{rll} 3x + 5 & = & 7x - 2 & \mid -7x \\ 3x - 7x + 5 & = & -2 \\ -4x + 5 & = & -2 & \mid -5 \\ -4x & = & -2 - 5 \\ -4x & = & -7 & \mid :(-4) \\ x & = & 1{,}75 & \Rightarrow L = \{1{,}75\} \end{array} $$

Das Dreieck als Grundfigur

Kongruente Figuren

Beispiel für zwei kongruente DreieckeBeispiel für zwei kongruente Dreiecke
Beispiel für zwei kongruente Dreiecke

Unter kongruenten oder deckungsgleichen Figuren versteht man solche Figuren, die sich durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung vollständig zur Deckung bringen lassen. Sie stimmen also in ihrer Form und in ihrer Größe überein. Betrachtet man etwa die kongruenten Figuren $A$ und $B$, so schreibt man

$$ A \cong B $$

Kongruenzsätze für Dreiecke

Ein Dreieck kann durch drei geeignete Eigenschaften eindeutig festgelegt werden. Erfüllt ein anderes Dreieck ebenfalls diese Eigenschaften, ist es zum anderen Dreieck kongruent. Diese Eigenschaften werden als Kongruenzsätze des Dreiecks bezeichnet:

Kongruenzsatz Erläuterung Darstellung
SSS-Satz Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seitenlängen übereinstimmen. SSS-SatzSSS-Satz
SWS-Satz Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und dem Zwischenwinkel übereinstimmen. SWS-SatzSWS-Satz
WSW-Satz Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. WSW-SatzWSW-Satz
SSW-Satz Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen SSW-SatzSSW-Satz

Besondere Dreiecke

Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck

Gleichschenkliges Dreieck mit BezeichnungenGleichschenkliges Dreieck mit Bezeichnungen

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang; diese Seiten werden als Schenkel bezeichnet, die dritte Seite heißt Basis. Der Basis gegenüber liegt die Spitze. Die Winkel an der Basis heißen Basiswinkel und sind gleich groß. Das gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse, die die Basis rechtwinklig schneidet und durch die Spitze verläuft.

Gleichseitiges DreieckGleichseitiges Dreieck

Eine Sonderform des gleichschenkligen Dreiecks ist das gleichseitige Dreieck. Bei diesem sind alle drei Seiten gleich lang und alle Winkel haben eine Größe von 60°. Daneben besitzt das gleichseitige Dreieck drei Symmetrieachsen, die durch jedes Eck verlaufen und die Seiten halbieren.

Rechtwinkliges Dreieck und Thaleskreis

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen rechten Winkel. Die zwei Seiten, die an diesem rechten Winkel liegen, nennt man Kathete, die gegenüberliegende (längste) Seite ist die Hypotenuse:

Rechtwinkliges Dreieck mit BezeichnungenRechtwinkliges Dreieck mit Bezeichnungen

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Scheitel $C$ des rechten Winkels auf dem so genannten Thaleskreis. Das ist der Kreis, den man erhält, wenn man von der Strecke $[AB]$ den Mittelpunkt $M$ nimmt und um ihn den Kreis mit dem Radius $MA$ zieht. Häufig wird auch nur ein Halbkreis gezeichnet:

Rechtwinkliges Dreieck mit ThaleskreisRechtwinkliges Dreieck mit Thaleskreis

Kreis und Gerade

Tangente, Passante, Sekante

Gerade und Kreis: Tangente, Passante, SekanteGerade und Kreis: Tangente, Passante, Sekante

Eine Gerade kann in Bezug auf einen Kreis verschiedentlich im Raum liegen. Sie wird entsprechend auch unterschiedlich bezeichnet:

Tangentenkonstruktionen

Tangente durch B auf dem Kreis

Will man die Tangente $t$ konstruieren und hat neben dem Kreismittelpunkt $M$ auch den Berührungspunkt $B$ gegeben, so errichtet man wie bereits bekannt das Lot:

Tangente bei gegebenem Punkt B auf dem KreisTangente bei gegebenem Punkt B auf dem Kreis
Tangente durch P an einen Kreis

Ist dagegen ein außerhalb des Kreises liegender Punkt $P$ gegeben, muss man zunächst den Mittelpunkt der Strecke $[MP]$ finden. Um diesen wird dann ein Kreis mit dem Durchmesser $MP$ gezeichnet. Damit ergeben sich zwei Berührungspunkte ($B_1$ und $B_2$). Verbindet man diese mit dem Punkt $P$, ergeben sich die zwei Tangenten $t_1$ und $t_2$.

Ist der Punkt P gegeben, der außerhalb des Kreises liegt, muss man zunächst den Mittelpunkt der Strecke [MP] finden. Um diesen wird dann ein Kreis mit dem Durchmesser MP gezeichnet. Dort, wo sich die beiden Kreise schneiden, liegen zwei Berührpunkte, die - verbunden mit dem Punkt P - zwei Tangenten bilden.

Tangente bei gegebenem Punkt B an einem KreisTangente bei gegebenem Punkt B an einem Kreis

Konstruktionen an Drei- und Vierecken

Mittelsenkrechte und Umkreis eines Dreiecks

In einem Dreieck schneiden sich alle Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt. Dieser Mittelpunkt $M$ muss dabei aber nicht zwingend im Dreieck selbst liegen. Der Mittelpunkt $M$ ist dabei wiederum der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. Hat das Dreieck die Ecken $A$, $B$ und $C$, hat der Umkreis den Radius $\overline{MA} = \overline{MB} = \overline{MC}$:

Mittelsenkrechten und Umkreis eines DreiecksMittelsenkrechten und Umkreis eines Dreiecks

Höhen eines Dreiecks

Ein Dreieck $ABC$ hat die drei Höhen $h_a$, $h_b$ und $h_c$. Diese erhält man, indem man von den einzelnen Ecken auf die gegenüberliegende Seite oder deren Verlängerung ein Lot fällt und die Ecke mit diesem Schnittpunkt verbindet. Eine Höhe muss also nicht unbedingt im Dreieck selbst liegen. Die drei Höhen schneiden sich in einem Höhenschnittpunkt oder Orthozentrum $H$.

Höhen in einem Dreieck und HöhenschnittpunktHöhen in einem Dreieck und Höhenschnittpunkt

Winkelhalbierende eines Dreiecks

Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Er hat zu den drei Seiten den gleichen Abstand und bildet daher den Mittpunkt des Inkreises des Dreiecks. Dieser Inkreis hat einen Radius $\rho$:

Winkelhalbierende und Inkreis im DreieckWinkelhalbierende und Inkreis im Dreieck

Seitenhalbierende eines Dreiecks

Die Seitenhalbierenden sind diejenigen Strecken, die eine Ecke des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbinden. Sie schneiden sich im so genannten Schwerpunkt $S$ in einem Verhältnis 2:1.

Seitenhalbierende und Schwerpunkt im DreieckSeitenhalbierende und Schwerpunkt im Dreieck