Mathematik: 9. Klasse

Die reellen Zahlen

Quadratwurzeln

Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl a (a ≥ 0) ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist. Man schreibt für die Quadratwurzel $\sqrt{a}$. Die Zahl oder der Term innerhalb der Wurzel bezeichnet man als Radikand. Dieser kann nicht negativ sein.

Die Umkehrfunktion für das Radizieren (Wurzelnehmen) ist das Quadrieren. Somit gilt:

Irrationale Zahlen

Wie bereits bekannt lassen sich rationale Zahlen mittels eines Bruchs darstellen:

Beim Radizieren können aber Zahlen auftreten, die nicht durch einen Bruch darstellbar sind. Sie werden als irrationale Zahlen bezeichnet. Im Gegensatz zu den rationalen Zahlen brechen sie weder ab noch sind sie periodisch; sie haben unendlich Dezimalstellen. So hat die Quadratwurzel aus 2 etwa folgenden Wert:

Die Intervallschachtelung

Durch die Verwendung von Intervallen (Zahlenabschnitten) lassen sich irrationale Zahlen mithilfe von rationalen Zahlen beliebig genau festlegen. Hierzu verwendet man stetig kleiner werdende Intervalle, die jeweils im vorherigen Intervall liegen. Möchte man etwa die uns bereits bekannte Quadratwurzel aus 2 auf drei Dezimalstellen gerundet ermitteln, geht man folgendermaßen vor:

Damit wissen wir, dass die Wurzel aus 2 etwa 1,414 ist.

Die Menge ℝ der reellen Zahlen

Zusammen bilden die rationalen und irrationalen Zahlen die Menge ℝ der reellen Zahlen. Auf einer Zahlengeraden bilden sie eine lückenlose Linie, während beide Teilmengen allein für sich betrachtet, Lücken hinterlassen würden.

Rechnen mit reellen Zahlen

Beim Rechnen mit reellen Zahlen ergeben sich im Vergleich zu den rationalen Zahlen keine Unterschiede: Es gelten auch hier bei der Addition und Multiplikation das Assoziativ- und Kommutativgesetz.

Rechnen mit Quadratwurzeln

Besonderheiten ergeben sich indes beim Rechnen mit Quadratwurzeln.

Addieren und Subtrahieren

Beim Addieren und Subtrahieren ist darauf zu achten, ob der Radikand derselbe ist. Ist dies der Fall, kann man die Wurzeln wie gewohnt – also wie reelle Zahlen – miteinander verrechnen:

Sind die Radikanden dagegen ungleich, kann man die Wurzeln nicht ohne Weiteres verrechnen. Man muss vielmehr zuvor auflösen, sofern dies möglich ist. Beispiele:

Multiplizieren und Dividieren

Beim Multiplizieren und Dividieren gestaltet sich die Aufgabe dagegen einfacher: Hier kann man die Radikale in einer Wurzel mit der entsprechenden Rechnung zusammenfassen. Allgemein gilt:

Beispiele:

Quadratische Funktionen und Gleichungen

Binomische Formeln

Ein Binom ist die Summe oder Differenz zweier Variablen oder Zahlen:

Davon leiten sich die sogenannten binomischen Formeln ab. Hier wird in der Regel zwischen folgenden Formeln unterschieden:

• Plus-Formel: $(a + b)^2 \;=\; a^2 + 2ab + b^2$
• Minus-Formel: $(a - b)^2 \;=\; a^2 - 2ab + b^2$
• Plus-Minus-Formel: $(a + b)(a - b) \;=\; a^2 - b^2$

Die binomischen Formeln werden häufig zum einfacheren Ausmultiplizieren und Faktorisieren verwendet.

Die Normalparabel

Die Funktion $f:f(x) \;=\; ax^2 + bx + c;\; a \in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$ heißt quadratische Funktion. Der Term heißt Funktionsterm, die Gleichung $y \;=\; ax^2 + bx + c$ Funktionsgleichung. Der Graph dieser Funktion wird als Parabel bezeichnet.

Sonderfall 1

Setzen wir a = 1 sowie b und c = 0, erhalten wir die quadratische Funktion $f: f(x) = x^2$. Der dazu gehörende Graph heißt Normalparabel. Sie ist zur y-Achse achsensymmetrisch und hat ihren Scheitelpunkt S im Ursprung O (0/0). Im zweiten Quadranten fällt sie, im ersten steigt sie. Die Wertemenge ist $\mathbb{R}_0^+$.

Sonderfall 2

Nehmen wir nun an: a = 1, b = 0 und c ≠ 0. Dann haben wir eine Parabel, die zwar wie eine Normalparabel aussieht, aber bei c > 0 nach oben und bei c < 0 nach unten verschoben ist. Der Scheitel befindet sich dabei im Punkt (0/c). Damit gilt Folgendes:

• Für c < 0 hat die Parabel zwei Nullstellen.
• Für c = 0 hat die Parabel eine Nullstelle.
• Für c > 0 hat die Parabel keine Nullstellen.

Verschieben der Normalparabel

Möchte man nun die Normalparabel nach links oder rechts verschieben, nutzt man folgende Formel:

Zusammen mit der Verschiebung parallel der y-Achse ergibt sich die Scheitelform:

Deren Graphen hat den Scheitelpunkt S(d/e). Die Scheitelform kann in den Term der Form $x^2 + bx + c$ umgewandelt werden. Hierfür eignet sich die quadratische Ergänzung. Dabei nutzt man auch die binomischen Formeln und geht wie folgt vor:

Auf den ersten Blick erscheint die Umformung ziemlich kompliziert. An einem Beispiel wird aber deutlicher, wie vorgegangen wird. Dafür soll der Term $x^2 + 6x + 10$ in die Scheitelform überführt werden:

Daraus folgt, dass der Graph seinen Scheitel S bei (−3/1) hat.

Die Parabel P: y = ax²

Die Graphen der Quadratfunktion $f:f(x) = ax^2;\; D_f = \mathbb{R}, a \ne 0$ sind Parabeln. Je nachdem welcher Wert a annimmt, ändert sich die Normalparabel: Bei Werten a > 0 ist sie nach oben und bei a < 0 nach unten geöffnet. Ist 0 < |a| < 1, wird die Normalparabel weiter, während sie bei 1 < |a| enger wird. Ist a = 1, liegt natürlich eine kongruente Normalparabel vor.

Die allgemeine quadratische Funktion

Jede Funktion der Form $f:f(x) = ax^2 + bx + c;\; D_f = \mathbb{R};\, a \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\, b, c \in \mathbb{R}$ heißt quadratische Funktion. Deren Graph ist eine Parabel, die zur y-Achse parallel ist und zwei, einen oder keine Nullstellen hat. Der Funktionsterm lässt sich mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelform bringen:

Rechnerisches Lösen quadratischer Gleichungen

Faktorisieren

Sind x₁ und x₂ die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2 + bx + c = 0$, dann lässt sich der entsprechende Term $x^2 + bx + c$ durch das Produkt $(x - x_1)(x - x_2)$ darstellen. Dies nennt man Faktorisieren. Die zwei Faktoren werden als Linearfaktoren bezeichnet. Multipliziert man den Term aus, erhält man folgendes Ergebnis:

Die Summe aus x₁ und x₂ ergibt also in der quadratischen Gleichung −b und deren Produkt c:

Dieser Zusammenhang wird im Satz von Vieta erfasst. Diese Methode eignet sich insbesondere dann, wenn eine quadratische Gleichung ganzzahlige Lösungen hat.

Mitternachtsformel

Für quadratische Gleichungen der Form $ax^2 + bx + c = 0;\; a \in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\};\: b, c \in \mathbb{R}$ bietet sich dagegen die Anwendung der Mitternachtsformel an:

Ist der Wert des Terms unter der Wurzel (Diskriminante D) positiv, hat die Gleichung zwei Lösungen. Ist die Diskriminante dagegen gleich Null, besitzt sie eine Lösungen, bei einem negativen wert gibt es keine (reelle) Lösung.

Anwendung quadratischer Funktionen und Gleichungssysteme

Interessante Parabeleigenschaften

Strahlen, die parallel zur Symmetrieachse einer Parabel verlaufen, werden an dieser zu einem Punkt reflektiert: dem Brennpunkt. Eine Parabel mit der Gleichung $y \;=\; ax^2$ hat den Brennpunkt bei $(0/(4a)^{-1})$.

Lässt man einen Parabelbogen um seine Symmetrieachse kreisen, erhält man einen Paraboloid. Man findet solche etwa in Autoscheinwerfern und Spielteleskopen.

Anwendungen quadratischer Funktionen: Extremwertaufgaben

Wie bereits bekannt, kann man (oft) den Zusammenhang zwischen zwei Variablen x und y durch einen Funktionsterm wiedergeben. In verschiedenen Bereichen will man häufig für diesen Term den größten bzw. kleinsten möglichen Wert (Extremwert) ermitteln.

Hat man eine quadratische Funktion, betrachtet man dafür den Scheitelpunkt des Graphen. Dessen Koordinaten geben diesen Extremwert wieder. Der x-Wert zeigt dabei, an welcher Stelle der Extremwert vorkommt, der y-Wert, welcher Wert er hat.

Beispiel: Zwei positive reelle Zahlen a und b ergeben die Summe 12. Es soll das Zahlenpaar ermittelt werden, dessen Produkt am größten ist.

Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten

In einigen Fällen muss man ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten lösen. Dabei geht man immer auf die gleiche Art und Weise vor:

1. Eine der drei Gleichungen wird nach einer Unbekannten aufgelöst.
2. Aus den anderen Gleichungen wird die Unbekannte durch Einsetzen des entsprechenden Terms eliminiert.
3. Das entstandene Gleichungssystem wird aufgelöst.
4. Die eliminierte Unbekannte wird durch Einsetzen der Lösung in die im ersten Schritt aufgelöste Gleichung ermittelt.

Beispiel:

Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen

Möchte man den Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen ermitteln, setzt man beide Funktionen miteinander gleich. Ergibt sich daraus eine quadratische Gleichung, löst man sie wie gewohnt. Die Lösung ist dann die x-Koordinate; die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von x in eine der Funktionsterme. Die Anzahl der Schnittpunkte wird durch die Diskriminante D der Gleichung bestimmt:

• D > 0: zwei Schnittpunkte
• D = 0: ein gemeinsamer Punkt; die Graphen berühren sich
• D < 0: keine Schnittpunkte

Beispiel:

Erweiterung des Potenzbegriffs

Die allgemeine Wurzel

Für eine nichtnegative Zahl a ist die n-te Wurzel aus a diejenige nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz den Wert a hat:

Der Term unter dem Wurzelzeichen heitß Radikand, n heißt Wurzelexponent. Die Gleichung $x^n = a$ hat eine unterschiedliche Anzahl an Lösungen, abhängig davon welchen Wert a annimmt und ob n gerade oder ungerade ist:

Potenzen mit rationalen Exponenten

Die allgemeine Wurzel kann man auch als Potenzen darstellen:

Der Wurzelexponent n wird also zum Nenner des Exponenten, während m zum Zähler wird. Beim Rechnen mit rationalen Exponenten verwendet man die gleichen Regeln wie bei ganzzahligen Exponenten:

Stochastik: Zusammengesetzte Zufallsexperimente

Mehrstufige Zufallsexperimente

Führt man ein Zufallsexperiment wiederholt durch, spricht man von zusammengesetzten oder mehrstufigen Zufallsexperimenten. Sie lassen sich mithilfe eines Baumdiagramms veranschaulichen, bei dem an den Teilpfaden (Ästen) die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten angegeben werden.

Beispiel: Man wirft dreimal einen Würfel und teilt die Ergebnisse in die Ereignisse „maximal 4“ und „mindestens 5“ ein. Daraus ergibt sich folgendes Baumdiagramm:

Dabei sind folgende Pfadregeln zu beachten:

• Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Äste eines Knoten (Verzweigungspunkts) ergibt 1.
• Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfads. Für die Wahrscheinlichkeit von dreimal „mindestens 5“ ist etwa:
  $$ \text{P("dreimal 'mind. 5'")} = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{27} $$
• Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zum dem Ereignis gehören. Ist das Ereignis zum Beispiel zweimal „mind. 5“ und einmal „mind. 4“, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit
  $$ \text{P("zweimal 'mind. 5'") + P("einmal 'max. 4'")} \\ =\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}+\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{6}+\frac{2}{6} \cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{6} \\ =3(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) = \frac{2}{9} $$

Das Urnenmodell

Mit dem Urnenmodell lassen sich viele Zufallsexperimente simulieren. Dabei werden bis auf die Farbe verschiedene Kugeln blin n-mal aus einer Urne gezogen. Es lassen sich zwei Varianten unterscheiden: Legt man die Kugel nach dem Ziehen wieder zurück (Ziehen mit Zurücklegen), ändert sich die Zusammensetzung nicht. Dagegen verringert sich beim Ziehen ohne Zurücklegen der Inhalt.

Beispiel: In einer Urne befinden sich sechs rote und vier blaue Kugeln. Es wird dreimal blind je eine Kugel gezogen, ohne sie danach zurückzulegen. Das dazu gehörende Baumdiagramm sieht folgendermaßen aus:

Das rechtwinklige Dreieck

Die Satzgruppe des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pytagoras bezeichnet eine besondere Beziehung zwischen den Kathetenlängen und der Hypotenusenlänge: Nach ihm ist in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten:

Bildlich kann man diesen Zusammenhang so darstellen:

Diesen zusammenhang nutzt man auch in umgekehrter Richtung: Nach dem Kehrsatz ist ein Dreieck rechtwinklig, wenn für dieses der Satz des Pythagoras gilt.

Der Katheten- und Höhensatz

Daneben gibt es auch den Kathetensatz (des Euklid) sowie den Höhensatz (des Euklid). Bei beiden wird das Dreieck in zwei Hypotenusenabschnitte durch die Höhe der Hypotenuse zerlegt:

Die Dreiecke ABC, ADC und CDB sind aufgrund ihrer übereinstimmenden Winkel zueinander ähnlich. Von diesem Zusammenhang ausgehend lassen sich der Katheten- und Höhensatz ableiten.

Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat jeder Kathete gleich dem Produkt aus Hypotense und anliegendem Hypotenusenabschnitt:

Höhensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenusenhöhe gleich dem Produkt aus den Hypotenusenabschnitten:

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Seitenverhältnisse und Winkel im rechtwinkligen Dreieck

Der Wert der Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck kennzeichnet die Größen eines Winkels. Ebenso kann man umgekehrt von den Winkelgrößen auf die Seitenverhältnisse schließen. Dabei nutzt man die Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Sie sind wie folgt definiert:

Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens

Zwischen den Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens bestehen eine Reihe von Beziehungen. So folgt aus α + β = 90° und damit aus β = 90° − α, dass

Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich zudem ableiten, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus 1 ergibt:

Zuletzt gilt, dass der Tangens der Quotient von Sinus und Kosinus ist:

Zum einfacheren und schnelleren Anwenden von Sinus, Kosinus und Tangens ist es hilfreich, sich folgende Grenzwerte zu merken:

Fortführung der Raumgeometrie

Schrägbilder

In einem Schräbild kann man einen Körper in eine Ebene projizieren. Dabei erscheinen Strecken, die zur Zeichenebene parallel sind, in ihrer wahren Richtung und Länge. Anders ist es dagegen bei zur Zeichenebene senkrechten Linien: Sie werden unter demselben Winkel, dem Verzerrungswinkel ω, gegen die Horizontale geneigt und unter dem gleichen (Verkürzungs-)Faktor q verkürzt (oder verlängert).

Am häufigsten wählt man für Schrägbilder einen Verzerrungswinkel ω = 45° und den Faktor q = 0,5. Eine andere häufige Projektion ist ω = 30°, q = ²⁄₃. Ein Würfel erscheint in den unterschiedlichen Varianten so:

Das gerade Prisma

Ein (n-seitiges) gerades Prisma ist ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche zwei zueinandner parallel und kongruente n-Ecken sowie dessen Seitenflächen Rechtecke sind. Die verbindenden Rechtecke bilden den Mantel des Prismas. Der Abstand von Grund- und Deckfläche ist die Höhe h.

Der Oberflächeninhalt des Prismas ist gleich dem Flächeninhal des Prismanetzes:

Das Volumen eines geraden Prismas ist der Flächeninhalt der Grundfläche G multipliziert mit der Höhe h:

Der gerade Kreiszylinder

Ein Kreiszylinder hat als Grund- und Deckfläche zueinander parallele Kreise mit dem gleichen Radius r. Auch hier ist der Abstand dieser Flächen die Höhe h. Der Mantel ist ein Rechteck, wenn man die Seitenfläche an einer Mantellinie „aufschneidet“.

Der Oberflächeninhalt ist die Summe aus der zweifachen Grundfläche und der Mantelfläche; das Volumen des Zylinders ist das Produkt aus dem Flächeninhalt der Grundfläche und der Höhe:

Die Pyramide

Die Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Vieleck ist, dessen Seitenflächen Dreiecke sind, die in einer Spitze S zusammentreffen. Diese Seitenflächen bilden den Mantel der Pyramide. Der Abstand zwischen der Grundfläche und der Spitze ist die Höhe h.

Die Kanten der Grundfläche werden Grundkanten, die übrigen Kanten Seitenkanten genannt. Sind diese gleich lang, spricht man von einer geraden Pyramide. Hat die Pyramide dazu noch ein reguläres Vieleck als Grundfläche, liegt eine reguläre Pyramide vor.

Der gerade Kreiskegel

Ein Kreiskegel hat als Grundfläche einen Kreis mit dem Radius r und eine Spitze S, deren Abstand voneinander die Höhe h ist. Trifft die Höhe den Mittelpunkt der Grundfläche, spricht man von einem geraden Kreiskegel. Die Mantelfläche M ist, wenn man sie längs aufschneidet, ein Kreissektor mit dem Radius s und der Bogenlänge 2rπ.

Damit ergeben sich folgende Formeln für den Oberflächeninhalt und das Volumen eines geraden Kreiskegels:

Literatur und Quellen

Literatur

1. delta 9 – neu, Mathematik für Gymnasien, C.C. Buchner Verlag, 1. Auflage 2013, 978-3-7661-8259-3

Quellen

1. Die Graphen wurden mit GeoGebra erstellt.