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Kreis, Kugel und die Kreiszahl π

Kreis

Das Bogenmaß

Bogenlänge am KreisBogenlänge am Kreis
Bogenlänge am Kreis

Spannt man in einem Kreis mit dem Radius r einen Mittelpunktwinkel α auf, so erhält man einen Kreissektor mit der Bogenlänge b. Diese Länge ist direkt proportional zum Winkel α:

$$ b \:=\: 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360\,^\circ} \:=\: \frac{r \cdot \pi \cdot \alpha}{180\,^\circ} $$

Für einen Einheitskreis – also einen Kreis, dessen Radius 1 Längeneinheit (LE) ist – folgt hieraus, dass der vollwinkel (360 °) eine Bogenlänge von 2π aufspannt:

$$ b_{\text{Vollwinkel}} \:=\: \frac{1\,[m] \cdot \pi \cdot 360\,^\circ}{180\,^\circ} \:=\: 2\pi $$

Dieser Zusammenhang wird beim Bogenmaß genutzt. Durch ihn lassen sich Winkel auch ohne Gradangabe beschreiben. Hierfür wird der Quotient aus der Bogenlänge b und den (beliebigen) Radius r genommen. Ein solcher Winkel x hat also auch keine Einheit:

$$ x \:=\: \frac{b\,\left[\text{m}\right]}{r\,\left[\text{m}\right]} $$

Teilweise wird zur Verdeutlichung aber auch die Bezeichnung „Radiant“ – abgekürzt „rad“ – verwendet.

Ein bereits in Grad bekannter Winkel α lässt sich durch die Bogenlänge bei einem Radius von 1 Längeneinheit berechnen:

$$ \alpha\,\left[\text{Bogenmaß} \right ] \:=\: \frac{\pi \cdot \alpha}{180\,^\circ} $$

Ist der Winkel dagegen im Bogenmaß angegeben und möchte man die Gradangabe ermitteln, so rechnet man:

$$ \alpha\,\left[\text{Gradmaß} \right ] \:=\: \frac{180\,^\circ \cdot \alpha}{\pi} $$

Zu folgenden Winkelgrößen gibt es folgende (wichtige) Bogenmaße:

Winkel im Gradmaß 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 135 ° 180 ° 270 ° 360 °
Winkel im Bogenmaß 0 $$ \frac{\pi}{6} $$ $$ \frac{\pi}{4} $$ $$ \frac{\pi}{3} $$ $$ \frac{\pi}{2} $$ $$ \frac{3\pi}{4} $$ $$ \pi $$ $$ \frac{3\pi}{2} $$ $$ 2\pi $$

Der Kreissektor

Flächeninhalt des Kreissektors
Der KreissektorDer Kreissektor
Der Kreissektor

Ebenso wie die Bogenlänge ist auch der Flächeninhalt A eines Kreissektors direkt proportional zum Mittelpunktswinkel α:

$$ A \:=\: \frac{r^2 \cdot \pi \cdot \alpha}{360\,^\circ} $$
Die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Kreissektor

Die Bogenlänge b und der Kreissektor A stehen in folgendem Zusammenhang:

$$ \frac{A}{b} \:=\: \frac{r}{2} $$

Dies ergibt sich aus folgenden Schritten:

  1. Den Flächeninhalt des Kreissektors kann man auch wie folgt darstellen:
    $$ A \:=\: \frac{r}{2} \cdot \frac{r \cdot \pi \cdot \alpha}{180\,^\circ} $$
  2. Der zweite Faktor ist gleich der Bogenlänge b (vergleiche nochmals die Formel oben):
    $$ A \:=\: \frac{r}{2} \cdot b $$
  3. Durch Umformung des Terms ergibt sich die bereits genannte Beziehung:
    $$ \frac{A}{b} \:=\: \frac{r}{2} $$

Kugel

Eine Kugel zeichnet sich dadurch aus, dass jeder Punkt ihrer Oberfläche den gleichen Abstand – den Radius r – von ihrem Mittelpunkt M hat.

Volumen der Kugel

Eine Kugel mit dem Radius r hat folgendes Volumen V:

$$ V_{\text{Kugel}} \:=\: \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi $$

Oberflächeninhalt einer Kugel

Eine Kugel mit dem Radius r hat eine gekrümmte Oberfläche. Diese kann nicht in eine Ebene gebracht werden. Aus diesem Grund ist auch jede ebene Karte der annähernd kugelförmigen Erde eine verzerrende Projektion. Der Oberflächeninhalt A einer Kugel beträgt:

$$ A_{\text{Kugel}} \:=\: 4 \cdot r^2 \cdot \pi $$

Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Sinus und Kosinus am EinheitskreisSinus und Kosinus am Einheitskreis
Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Spannt man auf einen Einheitskreis einen Winkel α an der x-Achse auf, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Hypotenuse entspricht dabei dem Radius r des Kreises und hat somit eine Länge von 1 LE. Die Ankathete hat dazu die Länge cos α und die Gegenkathete die Länge sin α:

$$ \begin{matrix} \text{Ankathete} & =\: \cos \alpha \\ \text{Gegenkathete} & =\: \sin \alpha \end{matrix} $$

Ein Punkt P, der durch den Winkel α bestimmt wird und auf dem Einheitskreis liegt, hat somit auch die x- und y-Koordinaten, die durch den Kosinus und Sinus des Winkels α entstehen:

$$ \begin{matrix} x & =\: \cos \alpha \\ y & =\: \sin \alpha \end{matrix} $$

Für jeden spitzen Winkel α gilt, dass bei α, (180 °–α), (180 °+α) und (360 °–α) der Sinus und Kosinus betragsmäßig den gleichen Wert haben. Damit ist man auch nicht mehr an die Definition des Sinus und Kosinus im rechtswinkligen Dreieck gebunden, die lediglich für spitze Winkel galt. Für den Winkel α gilt somit:

$$ \begin{matrix} \sin \left(\alpha + k \cdot 360^\circ \right ) \:=\: \sin\:\alpha;\:k \in \mathbb{N} \;&;\;\;\; \sin\left(-\alpha \right )\:=\:- \sin\:\alpha \\ \cos \left(\alpha + k \cdot 360^\circ \right ) \:=\: \cos\:\alpha;\:k \in \mathbb{N} \;&;\;\;\; \cos\left(-\alpha \right )\:=\:- \cos\:\alpha \end{matrix} $$

Für folgende Winkel ergeben sich die entsprechenden Sinus- bzw. Kosinsus-Werte:

Sinus Kosinus
$$ \sin 0^\circ = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0 $$ $$ \cos 0^\circ = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1 $$
$$ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2} $$ $$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1 $$
$$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2} $$
$$ \sin 90^\circ = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1 $$ $$ \cos 90^\circ = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0 $$
$$ \sin 180^\circ = 0 $$ $$ \cos 180^\circ = -1 $$
$$ \sin 270^\circ = -1 $$ $$ \cos 270^\circ = 0 $$
$$ \sin 360^\circ = 0 $$ $$ \cos 360^\circ = 1 $$

Da der Winkel α mit der x-Achse ein rechtwinkliges Dreieck bildet, gilt der Satz des Pythagoras. Die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus ergibt also 1:

$$ \left(\sin \alpha \right )^2 + \left(\cos \alpha \right )^2 \:=\: 1 $$

Sinus- und Kosinussatz im Dreieck

Der Sinussatz im allgemeinen Dreieck

Es wird folgendes (spitzes) Dreieck betrachtet:

Der Sinussatz im allgemeinen DreieckDer Sinussatz im allgemeinen Dreieck
Der Sinussatz im allgemeinen Dreieck

Wie bereits aus der neunten Klasse bekannt, ist der Sinus der Quotient aus Hypotenuse (hier hc) und Gegenkathete (hier b). Im Dreieck ΔADC gilt also für den Winkel α:

$$ \Delta\text{ADC: } \sin\,\alpha = \frac{h_c}{b} \;\;\Rightarrow\;\; h_c = b \cdot \sin\,\alpha $$

Entsprechendes gilt für das Dreieck ΔDBC hinsichtlich des Winkels β:

$$ \Delta\text{DBC: } \sin\,\beta = \frac{h_c}{a} \;\;\Rightarrow\;\; h_c = a \cdot \sin\,\beta $$

Da beide Terme als Ergebnis hc haben, lassen sie sich gleichsetzen:

$$ \begin{align*} a \cdot \sin\,\beta &= b \cdot \sin\,\alpha \\ \frac{a}{b} &= \frac{\sin\,\alpha}{\sin\,\beta} \end{align*} $$

Diesen Zusammenhang nennt man Sinussatz: Die Längen zweier Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie die Sinuswerte des gegenüberliegenden Winkels. Der Sinussatz ist anwendbar, wenn von einem Dreieck die Länge einer Seite und zwei Innenwinkel bekannt sind.

Der Kosinussatz

Grundsatz
Bezeichnungen im DreieckBezeichnungen im Dreieck
Bezeichnungen im Dreieck

Ist der Sinussatz nicht anwendbar, kann der Kosinussatz helfen. Er lautet je nach den gegegebenen Angaben für ein Dreieck ΔABC:

$$ \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\,\alpha \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\,\beta \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\,\gamma \end{align*} $$

Der Kosinussatz mag zwar auf den ersten Blick kompliziert wirken. Betrachtet man aber den Sonderfall, dass ein Winkel im Dreieck 90° groß ist, fällt der Subtrahend weg, da dieser wegen des Kosinus 0 ist. Dadurch ergibt sich für diesen Fall wieder der Satz des Pythagoras.

Herleitung des Kosinussatzes

Der Kosinussatz lässt sich herleiten, indem wir das Dreieck ΔABC nehmen und die Höhe ha eintragen. Der Schnittpunkt zwischen dieser Höhe und der Seite a sei D:

Dreieck zur Herleitung des KosinussatzesDreieck zur Herleitung des Kosinussatzes
Dreieck zur Herleitung des Kosinussatzes mit dem Punkt D

In diesem Fall gilt wieder das aus der neunten Klasse Bekannte:

$$ \begin{align*} \cos\,\gamma = \frac{x}{b} & \;\;\Rightarrow & x = b \cdot \cos\,\gamma & \;\;(1) \\ \sin\,\gamma = \frac{h_a}{b} & \;\;\Rightarrow & h_a = b \cdot \sin\,\gamma & \;\;(2) \end{align*} $$

Da das Dreieck ΔABD ein rechtwinkliges Dreieck ist, gilt auch hier der Satz des Pythagoras. Davon ausgehend kann man durch Kombination der Gleichungen (1) und (2) den Kosinussatz ermitteln. Im Folgenden soll dies für die Seite c gezeigt werden:

$$ \begin{align*} c^2 &= (h_a)^2 + (a-x)^2 \\ &= (h_a)^2 + a^2 - 2ax + x^2 & \;\;\mid \text{Einsetzen von (1) und (2)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ \;\;\; \\ &= (b \cdot \sin\,\gamma)^2 + a^2 - 2a(b \cdot \gamma) + (b \cdot \cos\,\gamma)^2 \\ &= a^2 + b^2 \cdot (\sin\,\gamma)^2 - 2a \cdot b \cdot \cos\,\gamma + b^2 \cdot (\cos\,\gamma)^2 \\ &= a^2 + b^2[(\sin\,\gamma)^2 + (\cos\,\gamma)^2] - 2ab \cdot \cos\,\gamma & \;\; \mid \text{Erinnerung:} (\sin\,\gamma)^2 + (\cos\,\gamma)^2 = 1 \\ &= a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\,\gamma \end{align*} $$

Diese Herleitung lässt sich natürlich entsprechend auch auf die anderen Seiten bzw. Winkel anwenden.

Die Sinus- und Kosinusfunktion

Einführung

Die Sinusfunktion ist eine Funktion, deren y-Wert durch den Sinus von x bestimmt wird:

$$ f\colon f(x) = \sin\,x;\;D_f = \mathbb{R} $$

Der dazu gehörende Graph wird als Sinuskurve bezeichnet. Man erhält sie, indem man für die x-Koordinate den Winkel α im Bogenmaß und für die y-Koordinate den entsprechenden Sinuswert verwendet.

Entsprechend wird auch die Kosinusfunktion definiert. Deren Kosinuskurve erhält man also durch die Verwendung des Winkels α im Bogenmaß und des Kosinuswerts:

$$ f\colon f(x) = \cos\,x;\;D_f = \mathbb{R} $$

In einem Koordinatensystem sehen Sinus- und Kosinuskurve also so aus:

Die Sinus- und Kosinuskurve im KoordinatensystemDie Sinus- und Kosinuskurve im Koordinatensystem
Die Sinus- und Kosinuskurve im Koordinatensystem

Die beiden Kurven wiederholen sich in einem bestimmten Abstand stetig. Mit einem Abstand von 2π nehmen sie den gleichen y-Wert ein. Solche Funktionen, deren Funktionswerte sich in einem festen Abstand wiederholen, nennt man periodische Funktionen und den kleinsten möglichen Abstand Periode.

Beide Funktionen haben die Wertemenge [–1;1]. Während die Sinuskurve zum Ursprung eines Koordinatensystems punktsymmetrisch ist, ist die Kosinuskurve achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion: Form- und Lageveränderungen der Sinus- und Kosinuskurve

Wird die Sinusfunktion wie folgt mit den Koeffizienten a, b, c und d ergänzt, spricht man von der allgemeinen Sinusfunktion:

$$ f\colon\,f(x) = a \cdot \sin\left [ b \cdot \left(x + c \right ) \right ] + d;\;\; D_f = \mathbb{R};\: a, b \in \mathbb{R}\backslash{0};\: c, d \in \mathbb{R} $$

Entsprechendes gilt für die allgemeine Kosinusfunktion:

$$ f\colon\,f(x) = a \cdot \cos\left [ b \cdot \left(x + c \right ) \right ] + d;\;\; D_f = \mathbb{R};\: a, b \in \mathbb{R}\backslash{0};\: c, d \in \mathbb{R} $$

Die einzelnen Parameter haben folgende Auswirkungen, die anhand der Sinuskurve dargestellt werden sollen (für eine größere Ansicht des Graphen einfach auf das Bild klicken):

Funktion Auswirkungen Beispiel an der Sinuskurve
$$ f_a(x) = a \cdot \sin\,x $$ Durch den Koeffizenten a hat die Sinuskurve die Amplitude |a|. Sie wird also bei |a| > 1 in y-Richtung gestreckt und bei |a| < 1 entsprechend gestaucht. Ist a < 0 wird die Sinuskurve gespiegelt (bei d = 0 an der x-Achse). Die Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten aDie Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten a
$$ f_b(x) = \sin\left(b \cdot x \right ) $$ Bei |a| > 1 wird die Kurve in y-Richtung gestreckt, bei |a| < 1 gestaucht. Sie hat dann die Periode $\frac{2\pi}{\left| b \right|}$. Ist b < 0, wird die Sinuskurve an der y-Achse gespiegelt. Die Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten bDie Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten b
$$ f_c(x) = \sin\left(x + c \right ) $$ Durch c wird die Sinuskurve in x-Richtung bei c > 0 nach links und bei c < nach rechts verschoben. Die Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten cDie Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten c
$$ f_d(x) = \sin\left(x\right ) + d $$ Der Graph wird in y-Richtung bei d 0 > nach oben und bei d < 0 nach unten verschoben. Die Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten dDie Sinuskurve unter dem Einfluss des Koeffizenten d

Exponentielles Wachstum und Logarithmen

Wachstums- und Zerfallsprozesse

Viele Veränderungen in der Natur lassen sich als lineares oder exponentielles Wachstum beschreiben.

Linears Wachstum

Bei einem linearen Wachstum nimmt die betrachtete Größe konstant zu bzw. ab. Der Zuwachs bzw. die Abnahme werden mit $d = f(t+1) - f(t)$ oder mit dem Summanden a beschrieben.

$$ y = b + a \cdot x;\;\;a \neq 1 $$

Hierbei ist b der Ausgangspunkt der Betrachtung bei x = 0. Ist a < 0, spricht man von einer linearen Abnahme, bei a > 0 von einer linearen Zunahme. Der Graph zum Term ist eine Gerade.

Beispiel: Um Mitternacht hat ein Fluss einen Pegelstand von 3,50 m. Jede Stunde steigt dieser um 20 cm. Wenn x die vergangene Zeit in Stunden ist, sehen Term und Graph wie folgt aus:

Beispiel für ein lineares WachstumBeispiel für ein lineares Wachstum
Beispiel für ein lineares Wachstum

Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum erfolgt die Zunahme bzw. Abnahme dagegen mit einem konstanten Wachstumsfaktor q. Dieser ist definiert als:

$$ q = \frac{f(t+1)}{f(t)} $$

Unter Verwendung des Wachstumsfaktors q ergibt sich als Term:

$$ y = b \cdot a^x;\;\; a, b \in \mathbb{R}^+; a \neq 1 $$

Die Exponentialfunktion

Die allgemeine Exponentialfunktion

Beispiel des Verlaufs einer ExponentialfunktionBeispiel des Verlaufs einer Exponentialfunktion
Beispiel des Verlaufs einer Exponentialfunktion

Eine Funktion der Form

$$ f(x) = a^x;\;a \in \mathbb{R}\backslash \left \{ 1 \right \} $$

wird als Exponentialfunktion bezeichnet. Hier steht die Variable x also nicht in der Basis, sondern ist der Exponent einer Potenz. Bei der dargestellten Formel handelt es sich um die sogenannte allgemeine Exponentialfunktion. Sie weist einige Charakteristika auf:

Erweiterung der Exponentialfunktion

Beispiel des Verlaufs einer erweiterten ExponentialfunktionBeispiel des Verlaufs einer erweiterten Exponentialfunktion
Beispiel des Verlaufs einer erweiterten Exponentialfunktion

Die allgemeine Exponentialfunktion lässt sich auch modifizieren:

$$ f(x) = b \cdot a^x + c $$

Betrachtet man den Term ohne den Summanden c, so hat die Exponentialfunktion folgende Eigenschaften, die von denen der allgemeinen Exponentialfunktion abweichen:

Beispiel des Verlaufs einer erweiterten ExponentialfunktionBeispiel des Verlaufs einer erweiterten Exponentialfunktion
Beispiel des Verlaufs einer erweiterten Exponentialfunktion unter Beachtung des Summanden c

Betrachtet man dagegen den Term zusammen mit dem Summanden c, so ergeben sich folgende abweichenden Eigenschaften:

Logarithmen

Allgemeines

Hat man eine Gleichung

$$ b^x = y;\; b \in \mathbb{R}^+ $$

so kann man x durch den Logarithmus ermitteln:

$$ x = \log_b\,y $$

Man sagt: „x ist gleich der Logarithmus von y zur Basis b“. Der Logarithmus ist also die Umkehrung der Potenz. Wird als Basis die Zahl 10 verwendet, wird häufig auch lediglich log x oder lg x geschrieben.

Folgende besondere Logarithmen sollte man verinnerlichen:

$$ \log_b b = 1\;\;\;;\;\;\; \log_b 1 = 0 $$

Rechenregeln für Logarithmen

Rechnet man mit Logarithmen, so sind folgende Regeln zu beachten:

$$ \begin{align*} \log_a \left( x \cdot y \right) & = \log_a x + \log_a y \\ \log_a \left( \frac{x}{y} \right ) & = \log_a x - \log_a y \\ \log_a \left( x^y \right ) & = y \cdot \log_a x \\\log_a b &= \frac{\log_c b}{\log_c a} \end{align*} $$

Lösen von Exponentialgleichungen

Bei Exponentialgleichungen steht die Variable mindestens einmal im Exponenten. Sie lassen sich auf verschiedenen Wegen lösen.

Beide Seiten logarithmieren

Zunächst kann man beide Seiten logarithmieren, um so die Potenz zu entfernen. Beispiel:

$$ \begin{align*} 3^x &= 4 \cdot 5^{x+1} \\ \log 3^x &= \log(4 \cdot 5^{x+1}) \\ x \cdot \log 3 &= \log 4 + (x+1) \cdot \log 5 \\ x \cdot \log 3 &= \log 4 + x \cdot \log 5 + \log 5 \\ x \cdot \log 3 - x \cdot \log 5 &= \log 4 + \log 5 \\ x \left( \log 3 - \log 5 \right ) &= \log 20 \\ x &= \log 20 : \left(\log 3 - \log 5 \right ) &\approx -5{,}86 \end{align*} $$

Beide Seiten als Potenz zur gleichen Basis schreiben

In einem solchen Fall kürzen sich die Potenzen weg. Beispiel:

$$ \begin{align*} 5^{2x-3} &= 25 \\ 5^{2x-3} &= 5^2 \\ 2x-3 &= 2 \\ x &= 2,5 \end{align*} $$

Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen

Hier werden die bekannten Regeln zum Rechnen mit Potenzen verwendet, um die Gleichung zu vereinfachen:

$$ \begin{align*} 2^{x+2} - 2^x &= 12 \\ 2^2 \cdot 2^x - 2^x &= 12 \\ 4 \cdot 2^x - 2^x &= 12 \\ 3 \cdot 2^x &= 12 \\ 2^x &= 4 \\ x &= 2 \end{align*} $$

Substitution und quadratische Gleichung

Hier wird zunächst ein Teil der Gleichung durch eine Variable ersetzt (Substitution). Anschließend können im Falle einer quadratischen Gleichung Lösungen gefunden werden. Deren Ergebnisse sind schließlich wieder zu resubstituieren.

\begin{array}{rcl} 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 &= 0 \\ (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 &= 0 &\mid \small{\text{Substitution: } 3^x = y} \\ y^2 - 4y + 3 &= 0 \\ y_{1/2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3}}{2} &\Rightarrow & y_1 = 1; y_2 = 3 \\ \small{\text{Resubstitution:}} & y_1{:} & 3^x = 1 \rightarrow x_1 = 0 \\ & y_2{:} & 3^x = 3 \rightarrow x_2 = 1 \end{array}

Stochastik: Zusammengesetzte Zufallsexperimente

Wiederholung der Pfadregeln

Die Grundzüge der Stochastik und der zusammengesetzten Zufallsexperimente sind bereits aus der neunten Klasse bekannt. An dieser Stelle sollen diese Grundzüge aber nochmals wiederholt werden.

Wird ein Zufallsexperiment n-mal wiederholt, spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Die möglichen Ereignisse lassen sich in einem Baumdiagramm darstellen.

Beispiel: In einer Urne befinden sich vier Kugeln. Jede Kugel ist mit „L“, „A“, „U“ bzw. „S“ beschriftet. Es werden nacheinander drei Kugeln herausgezogen, ohne die gezogenen Kugeln zurückzulegen. Das dazu gehörende Baumdiagramm sieht folgendermaßen aus:

Beispiel für ein Baumdiagramm beim Ziehen von Kugeln ohne ZurücklegenBeispiel für ein Baumdiagramm beim Ziehen von Kugeln ohne Zurücklegen
Beispiel für ein Baumdiagramm beim Ziehen von Kugeln ohne Zurücklegen

Möchte man herausfinden, wie groß etwa die Wahrscheinlichkeit ist, das Wort „ALS“ zu ziehen, muss man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Das ist die Pfadregel 1 (oder Produktregel):

$$ P(\text{"ALS"}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{24} $$

Besteht das Ergebnis aus mehreren Ereignissen, so sind deren einzelne Wahrscheinlichkeiten zu addieren. Das wird als Pfadregel 2 oder Summenregel bezeichnet.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man den Fall, dass bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ein Ereignis A von einem Ereignis B abhängig ist. Man schreibt:

$$ \text{"Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B"} = P_B(A) $$

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ergbit sich aus folgender Rechnung:

$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Mit $P(A \cap B)$ wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das A und B umfasst, ausgedrückt.

Nehmen wir etwa das Beispiel aus der Wiederholung (siehe oben). Will man nun herausfinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, beim zweiten Ziehen ein „L“ zu ziehen, nachdem beim ersten Ziehen ein „A“ gezogen worden ist, so ergibt sich:

$$ P_\text{"erstes Ziehen A"}(\text{"zweites Ziehen L"}) = \frac{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{4}} = \frac{1}{3} $$

Ausbau der Funktionenlehre: Ganzrationale Funktionen

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Funktionen der Form $f: f(x) = a \cdot x^n;\;n \in \mathbb{N}$ heißen Potenzfunktionen (n-ten Grads). Ihre Graphen werden bei n > 1 als Parabeln bezeichnet.

Beispiele für Graphen verschiedener PotenzfunktionenBeispiele für Graphen verschiedener Potenzfunktionen
Beispiele für Graphen verschiedener Potenzfunktionen

Sie haben bei einem geraden bzw. ungeraden Exponenten folgende Eigenschaften:

Eigenschaften n gerade n ungerade
Symmetrieachse Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung
Gemeinsame Punkte (0/0), (1/a), (–1/a)
Steigung Je größer n ist, desto
  • steiler ist der Graph für x < –1 und für x > 1
  • flacher ist der Graph für –1 < x < 1
Auswirkungen von a a > 0 a < 0 a > 0 a < 0
$$W = \mathbb{R}_0^+$$ $$ W = \mathbb{R}_0^- $$ $$ W = \mathbb{R} $$
I./II. Quadrant III./IV. Quadrant I./III. Quadrant II./IV. Quadrant
x < 0: Graph fällt
x > 0: Graph steigt
x > 0: Graph steigt
x < 0: Graph fällt
Graph steigt immer Graph fällt immer
Graph überall linksgekrümmt Graph überall rechtsgekrümmt x < 0: rechtsgekrümmt
x > 0: linksgekrümmt
x < 0: linksgekrümmt
x > 0: rechtsgekrümmt

Lösungsverfahren für Potenzgleichungen

Je nachdem, um welche Potenzgleichung es sich handelt, gibt es verschiedene Lösungsverfahren.

Lineare und quadratische Gleichungen

Für lineare und quadratische Gleichungen sind die Lösungsverfahren bereits bekannt: Bei linearen Gleichungen können Äquivalenzumformungen und bei quadratischen Gleichungen die Mitternachtsformel angewandt werden.

Gleichungen höheren Grads

Bei Gleichungen höheren Grads gibt es keine solchen einfachen Lösungsverfahren. Je nach Grad lassen sich aber verschiedene Wege zur Lösungsermittlung versuchen.

Ausklammern

Zunächst kommt ein „Ausklammern“ in Betracht. Dies bietet sich an, wenn ein Zahlenterm fehlt.

Als Beispiel soll folgende Gleichung dienen:

$$ x^3 - 2x^2 - 8x = 0 $$

In der Gleichung hat jeder Summand die Variable x. Diese kann daher ausgeklammert werden. Der Term innerhalb der Klammer ist eine quadratische Gleichung, die ihrerseits wieder mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden kann:

$$ \\ x(x^2 - 2x - 8) = 0 \\\\ x_1 = 0 \\\\ x_{2/3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - \cdot 4 \cdot (-8)}}{2} \\\\ \Rightarrow x_2 = 4 \;;\; x_3 = -2 $$
„Erraten“ einer Lösung und Polynomdivision

Diese Vorgehensweise bietet sich bei Gleichungen dritten Grads an und man durch Erraten oder gezieltes Probieren bereits eine Lösung hat. Diese Lösung wird anschließend für eine Polynomdivision genutzt.

Nehmen wir etwa folgende Gleichung:

$$ x^3 + 10x^2 + 7x - 18 = 0 $$

Durch Probieren kann man bereits das Ergebnis x1 = 1 erhalten. Dieses Ergebnis kann in eine Polynomdivision eingesetzt werden, indem es als Divisor eingesetzt wird. Die Polynomdivision funktioniert dabei so wie die Division natürlicher Zahlen: Man dividiert also jeden Summanden des Dividenden nacheinander durch den Summanden höchsten Grads des Divisors (hier: x). Dieses Ergebnis wird mit dem gesamten Divisor multipliziert. Dieses Produkt Wird dann vom betrachteten Summanden des Dividenden subtrahiert:

( x3 + 10 x2 + 7 x 18 ) : ( x 1 ) = x2 + 11 x + 18
( x3 x2 )
11 x2 + 7 x
( 11 x2 11 x )
18 x 18
( 18 x 18 )

Bei der in diesem Fall entstehende quadratische Gleichung kann wieder die Mitternachtsformel zur Ermittlung der weiteren Lösungen verwendet werden:

$$ \\ x_{2/3} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot (18)}}{2} \\\\ \Rightarrow x_2 = -2 \;;\; x_3 = -9 $$
Substitution

Schließlich kann auch eine Substitution eingesetzt werden. Sie eignet sich insbesondere dann, wenn der Exponent ein Vielfaches einer anderen Zahl ist.

Als Beispiel sei folgende Gleichung genommen:

$$ 0{,}125x^4 - x^2 + 2 = 0 $$

Hier bietet es sich an, x2 durch die Variable u zu ersetzen. Hierdurch erhält man eine quadratische Gleichung, die mittels der Mitternachtsformel aufgelöst werden kann. Durch die anschließende Resubstitution erhält man die Lösung für die ursprüngliche Gleichung.

$$ \\ 0{,}125u^2 - z + 2 = 0 \\\\ z_{1/2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 0{,}125 \cdot 2}}{0{,}25} = 4 \\\\ x^2 = 4 \;\Rightarrow\; x_{1/2} = \pm 2 $$

Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen

Polynomfunktionen

Ganzrationale Funktionen haben folgende Form:[1]delta 10, S. 118.

$$ \begin{array}{rcl} f(x) & = & a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0; \\\\ & & \small{n \in \mathbb{N}; a \in \mathbb{R}\backslash\{0\}; a_{n-1}, a_{n-2}, a_{n-3}, ..., a_3, a_2, a_1, a_0 \in \mathbb{R} } \end{array} $$

Sie werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet. Der Funktionsterm heißt entsprechend Polynom n-ten Grads. Die Werte an, an–1, an–3, ... werden als Koeffizienten bezeichnet.

Nullstellen von Potenzialfunktionen

Eine Funktion f(x) n-ten Grads hat höchstens n Nullstellen. Diese Nullstellen erhält man, indem die Funktion gleich Null gesetzt wird:

$$ f(x) = 0 $$
Faktorisierung
Grundlagen

Die Nullstellen lassen sich auch durch die Faktorisierung der Funktion ermitteln. Hat eine Funktion die Nullstellen x1, x2, x3, ... so hat sie folgende Form:

$$ f(x) = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_3) \:... \cdot g(x) $$

Dabei hat g(x) keine Nullstelle und keinen Faktor a. Dieser ist ein Polynom vom Grad n–1 und wird durch eine Polynomdivision ermittelt.[2]delta 10, S. 118.

Beispiel

Als Beispiel sei folgende Gleichung gegeben:

$$ f(x) = 4x^3 - 8x^2 - 4x + 8 $$

Diese Gleichung hat folgende Nullstellen: x1 = –1, x2 = 1, x3 = 2. Die faktorisierte Form der Potenzfunktion sieht daher so aus:

$$ f(x) = 4(x+1)(x-1)(x-2) $$
Vielfachheit von Nullstellen

Eine Nullstelle kann einfach oder mehrfach in einer Funktion vorkommen (allgemein: k-fach). So hat die Funktion $f(x) = x^2$ an x = 0 eine doppelte Nullstelle, da die Funktion auch als $f(x) = (x+0)(x+0)$ geschrieben werden kann, die Nullstelle also an dieser Stelle zweimal vorkommt.

Diese Vielfachheit hat auf den Kurvenverlauf eine entstcheidende Rolle:

Verhalten von Potenzgleichungen im Unendlichen

Das Verhalten eines Graphen einer ganzrationalen Funktion wird für sehr große und auch für sehr kleine Werte von x durch den Summanden mit dem höchsten Summanden – also durch anxn – bestimmt.

Betrachtet man den Fall, dass x immer größer wird, so sagt man „x strebt gegen unendlich“. Man schreibt:

$$ x \rightarrow \infty $$

Entsprechend sagt man beim Betrachten immer kleinerer x-Werte: „x strebt gegen minus unendlich“ und schreibt:

$$ x \rightarrow -\infty $$

Bei kleineren x-Werten können die übrigen Summanden einen („entscheidenden“) Einfluss auf den Kurvenverlauf nehmen, bevor die Potenzfunktionen gegen plus oder minus unendlich streben. So können sich zum Beispiel folgende Verläufe ergeben:

Beispiele für Kurvenverläufe von PotenzgleichungenBeispiele für Kurvenverläufe von Potenzgleichungen
Beispiele für Kurvenverläufe von Potenzgleichungen

Symmetrie eines Graphen

Punktsymmetrie zum Urpsrung

Ein Funktionsgraph kann zum Ursprung des Koordinatensystems punktsymmetrisch sein. Neben der graphischen Überprüfung, lässt sich auch rechnerisch ermitteln, ob ein Graph punktsymmetrisch ist. Hierfür muss folgende Gleichung erfüllt sein:

$$ f(-x) = -f(x) $$

Gegeben sei etwa folgende Funktion:

$$ f(x) = -0{,}5x^3 + 6x $$

Aus folgender Rechnung ergibt sich, dass der Funktionsgraph punksymmetrisch ist:

$$ \begin{align*} f(-x) & = -0{,}5 \cdot (-x)^3 + 6 \cdot (-x) \\ & = 0{,}5x^3 - 6x \\ & = -(-0{,}5x^3 + 6) \\ & = -f(x) \end{align*} $$

Achsensymmetrie zur y-Achse

Will man dagegen überprüfen, ob ein Funktionsgraph zur y-Achse achsensymmetrisch ist, so ist folgende Gleichung heranzuziehen:

$$ f(-x) = f(x) $$

Es soll folgende Funktion untersucht werden:

$$ f(x) = x^4 - 6x^2 + 1 $$

Diese ist zur y-Achse achsensymmetrisch:

$$ \begin{align*} f(-x) &= (-x)^4 - 6(-x)^2 + 1 \\ &= x^4 - 6x^2 + 1 \\ &= f(x) \end{align*} $$

Vertiefen der Funktionenlehre

Überblick über die bisher bekannten Funktionstypen

Bisher wurden sowohl rationale als auch nichtrationale Funktionen behandelt.[1]Vgl. hierzu delta 10, S. 134 f.

Rationale Funktionen

Zu den rationalen Funktionen zählen solche Funktionen, die ausschließlich rationale Rechenoperationen verwenden. Das sind die Grundrechenarten. Die rationalen Funktionen lassen sich wiederum in ganzrationale Funktionen und gebrochenrationale Funktionen unterteilen.

Die ganzrationalen Funktionen sind bereits im vorherigen Kapitel behandelt worden; es wird insoweit darauf verwiesen.

Die gebrochenrationalen Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie als Term einen Bruch haben. Sie kommen in zwei Formen vor. Sie können entweder im Zähler und im Nenner eine Variable haben. Oder sie haben ausschließlich im Nenner eine Variable. Die Definitionsmenge der gebrochenrationalen Funktionen wird daher durch die Nullstellen des Nenners eingegrenzt.

Nichtrationale Funktionen

Zu den nichtrationalen Funktionen zählen etwa die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunktionen.

Der Einfluss der Änderung von Parametern: Verschieben, Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen

Eine Funktion f(x) lässt sich mithilfe von Parametern beeinflussen. Durch sie kann ein Funktionsgraph verschoben, gestreckt oder gespiegelt werden.

Verschieben

Parameter Auswirkung Funktionsgraph
$g(x) = f(x) + a$ Der Graph wird um a in y-Richtung verschoben. Verschieben einer FunktionVerschieben einer Funktion
$g(x) = f(x + a)$ Der Graph wird in x-Richtung um |b| nach links bei b > 0 bzw. nach rechts bei b < 0 verschoben.

Strecken und Stauchen

Parameter Auswirkung Funktionsgraph
$$g(x) = c \cdot f(x);\\ c \in \mathbb{R^+}\setminus\{1\}$$ Der Graph wird mit dem Faktor a in y-Richtung bei c > 1 gestreckt und bei c < 1 gestaucht. Strecken und Stauchen einer FunktionStrecken und Stauchen einer Funktion
$g(x) = f(x \cdot d);\\d \in \mathbb{R^+}\setminus\{1\}$ Der Graph wird in x-Richtung mit dem Faktor $\frac{1}{d}$ gestreckt (d < 1) oder gestaucht (d > 1).

Spiegeln

Parameter Auswirkung Funktionsgraph
$g(x) = -f(x)$ Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt. Spiegeln einer FunktionSpiegeln einer Funktion
$g(x) = f(-x)$ Der Graph wird an der y-Achse gespiegelt.
$g(x) = -f(-x)$ Der Graph wird am Ursprung gespiegelt.

Verhalten von Funktionen im Unendlichen

Allgemeines

Je nachdem, welche Art von Funktionen vorliegt, verhält sich der Graph unterschiedlich, wenn die x-Werte immer größer oder kleiner werden. Dabei kann sich der Funktionswert einer Zahl a beliebig weit annähern. Diese Zahl wird als Grenzwert bezeichnet. Die Gerade y = a ist dabei die waagrechte Asymptote des Funktionsgraphen.

Tendiert etwa eine Funktion f(x) bei immer größer werdendem x-Wert zum Wert a, so schreibt man:

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = a $$

Man sagt: „Der Limes von f(x) ist gleich a.“

Besteht eine Funktion selbst aus mehreren Funktionen, so kann für jede Teilfunktion der Grenzwert ermittelt werden und mithilfe von Grenzwertregeln der Grenzwert der Funktion ermittelt werden. Dabei gilt (hier strebt der Limes gegen z):

$$ \\ \lim_{x \rightarrow z}\: c \;=\; c \\\\ \lim_{x \rightarrow z}\: \left[ f(x) \pm g(x) \right] \;=\; \lim_{x \rightarrow z} f(x) \pm \lim_{x \rightarrow z} \;=\; a_1 \pm a_2 \\\\ \lim_{x \rightarrow z}\: \left[ f(x) \cdot g(x) \right] \;=\; \lim_{x \rightarrow z} f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow z} g(x) \;=\; a_1 \cdot a_2 \\\\ \lim_{x \rightarrow z}\: f(x) : g(x) \;=\; \lim_{x \rightarrow z} f(x) : \lim_{x \rightarrow z} g(x)\;=\; a_1 : a_2; \small{\text{ ausgenommen: } a_2 = 0} \\\\ \lim_{x \rightarrow z}\: [f(x)]^n \;=\; \left[ \lim_{x \rightarrow z} f(x) \right ]^n = a^n $$

Verhalten von Funktionen im Unendlichen anhand bestimmter Funktionsarten

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen streben im Unendlichen immer gegen plus oder minus unendlich:

$$ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} $$
Hyperbeln

Bei nicht verschobenen Hyperbeln ist der Limes 0. Ist die Hyperbel um c Einheiten nach oben oder unten verschoben, nimmt der Limes den Wert c an:

$$ \\f(x) = \frac{a}{(x + b)^n} + c \Rightarrow \lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = c $$
Gebrochenrationale Funktionen

Gegeben sei folgende gebrochenrationale Funktion:

$$ f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0} {b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} $$

Wie sich die Funktion verhält, hängt entscheidend davon ab, ob der Zählergrad oder der Nennergrad größer ist:

Verhalten an einer Definitionslücke

Um das Verhalten von Funktionen an Definitionslücken kennenzulernen, betrachten wir folgenden Graphen der Funktion f(x):

Beispiel für das Verhalten eines Funktionsgraphen an einer DefinitionslückeBeispiel für das Verhalten eines Funktionsgraphen an einer Definitionslücke
Beispiel für das Verhalten eines Funktionsgraphen an einer Definitionslücke

Der dazu gehörende Funktionsterm lautet:

$$ \begin{align*} f(x) &= \frac{x^3 - 6x^2 + 8x}{3x^2 - 9x - 12} \\ &= \frac{x(x-4)(x-2)}{3(x-4)(x+1)}; \;\;\small{D_f = \mathbb{R}\backslash\{-1;4\}} \end{align*} $$

Man kann erkennen, dass die Funktion zwei Definitionslücken hat, da der Term bei x1 = –1 und x2 = 4 jeweils eine 0 als Divisor hat.

Es ist zudem erkennbar, dass sowohl im Dividenden als auch im Divisor der Faktor (x–4) steht. Würde man ihn aus dem Term herauskürzen, würde hierdurch die Funktion geändert werden, da auch die Definitionsmenge geändert werden würde. In einem solchen Fall ist der Graph an der Stelle nicht definiert. Man spricht von einer hebbaren Definitionslücke. Sie wird im Graphen als ein Kreis dargestellt. Der Grenzwert ergibt sich aus der Funktion unter Weglassen des hier betrachteten Faktors:

$$ \lim_{x \rightarrow 4} f(x) = \lim_{x \rightarrow 4} \frac{x(x-2)}{3(x+1)} = \frac{4(4-2)}{3(4+1)} = \frac{8}{15} $$

Ist eine Definitionslücke hingegen nicht „wegkürzbar“ – wie hier x1 = –1 – so liegt eine Polstelle vor. Der Graph hat an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote. Dabei ist zu beachten, dass man sich sowohl von der linken als auch von der rechten Seite der Definitionslücke annähern kann. Dies kann z. B. mit einem „–“ bzw. einem „+“ symbolisiert werden:

$$ \\ \lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = \frac{(-1) \cdot (-1-2)}{3 \cdot (-1 + 1)} = \frac{3}{3 \cdot 0^-} = -\infty \\\\\\ \lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = \frac{(-1) \cdot (-1-2)}{3 \cdot (-1 + 1)} = \frac{3}{3 \cdot 0^+} = +\infty $$

Literatur und Quellen

Literatur

  1. delta 10, Mathematik für Gymnasien, C.C. Buchner Verlag, 1. Auflage 2008, 978-3-7661-8260-9

Quellen

  1. Ausbau der Funktionenlehre: Ganzrationale Funktionen
  2. delta 10, S. 118.
  3. delta 10, S. 118.
  4. Vertiefen der Funktionenlehre
  5. Vgl. hierzu delta 10, S. 134 f.
  6. Literatur und Quellen
  7. Die Graphen wurden mit GeoGebra erstellt.