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Erweiterung des Potenzbegriffs
Die allgemeine Wurzel
Für eine nichtnegative Zahl a ist die n-te Wurzel aus a diejenige nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz den Wert a hat:
$$ \sqrt[n]{a};\;n \in \mathbb{N}\setminus\left\{1\right\} $$
Der Term unter dem Wurzelzeichen heitß Radikand, n heißt Wurzelexponent. Die Gleichung $x^n = a$ hat eine unterschiedliche Anzahl an Lösungen, abhängig davon welchen Wert a annimmt und ob n gerade oder ungerade ist:
| n gerade | n ungerade | |
| a > 0 | $\mathbb{L}=\left\{-\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}};\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}\right\}$ | $\mathbb{L}=\left\{\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}\right\}$ |
| a = 0 | $\mathbb{L}=\left\{0\right\}$ | |
| a < 0 | $\mathbb{L}=\left\{\right\}$ | $\mathbb{L}=\left\{-\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}\right\}$ |
Potenzen mit rationalen Exponenten
Die allgemeine Wurzel kann man auch als Potenzen darstellen:
$$ \\\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}};\; a \in \mathbb{R}_0^+; n \in \mathbb{N}\backslash\left\{1\right\} \\\\
\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}^m\right);\; a \in \mathbb{R}_0^+; n \in \mathbb{N}\setminus\left\{1\right\}; m \in \mathbb{Z} $$
Der Wurzelexponent n wird also zum Nenner des Exponenten, während m zum Zähler wird. Beim Rechnen mit rationalen Exponenten verwendet man die gleichen Regeln wie bei ganzzahligen Exponenten:
$$ \left.\begin{matrix}
\text{I} & a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}} \\\\
\text{II} & a^{\frac{m}{n}} : a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} - \frac{p}{q}} \\\\
\text{III} & \left(a^{\frac{m}{n}}\right)^{\frac{p}{q}} = a^\frac{mp}{nq} \\\\
\text{IV} & a^{\frac{m}{n}} \cdot b^{\frac{m}{n}} = (ab)^{\frac{m}{n}} \\\\
\text{V} & a^{\frac{m}{n}} : b^{\frac{m}{n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}}
\end{matrix}\right\}
a,b \in \mathbb{R}_0^+;\; m, p \in \mathbb{Z};\; q \in \mathbb{N} $$
