Inhaltsverzeichnis
[Anzeigen]
[Verbergen]
Fortführung der Raumgeometrie
Schrägbilder
In einem Schräbild kann man einen Körper in eine Ebene projizieren. Dabei erscheinen Strecken, die zur Zeichenebene parallel sind, in ihrer wahren Richtung und Länge. Anders ist es dagegen bei zur Zeichenebene senkrechten Linien: Sie werden unter demselben Winkel, dem Verzerrungswinkel ω, gegen die Horizontale geneigt und unter dem gleichen (Verkürzungs-)Faktor q verkürzt (oder verlängert).
Am häufigsten wählt man für Schrägbilder einen Verzerrungswinkel ω = 45° und den Faktor q = 0,5. Eine andere häufige Projektion ist ω = 30°, q = 2⁄3. Ein Würfel erscheint in den unterschiedlichen Varianten so:
Das gerade Prisma
Ein (n-seitiges) gerades Prisma ist ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche zwei zueinandner parallel und kongruente n-Ecken sowie dessen Seitenflächen Rechtecke sind. Die verbindenden Rechtecke bilden den Mantel des Prismas. Der Abstand von Grund- und Deckfläche ist die Höhe h.
Der Oberflächeninhalt des Prismas ist gleich dem Flächeninhal des Prismanetzes:
$$ \begin{array}{rll}
A_\text{Prisma} & = 2 \cdot G+M & \small{\text{(G: Grundfläche, M: Mantelfläche)}} \\
& = 2 \cdot G+U \cdot h & \small{\text{(U: Umfangslänge der Grundfläche)}}
\end{array} $$
![Oberflächeninhalt eines geraden Prismas [A=2G+Uh]](../../formel/oberflaecheninhalt-gerades-prisma.svg "Oberflächeninhalt eines geraden Prismas [A=2G+Uh]")
Das Volumen eines geraden Prismas ist der Flächeninhalt der Grundfläche G multipliziert mit der Höhe h:
$$ V_\text{Prisma}=G\cdot h $$
![Volumen eines geraden Prismas [V=Gh]](../../formel/volumen-gerades-prisma.svg "Volumen eines geraden Prismas [V=Gh]")
Der gerade Kreiszylinder
Ein Kreiszylinder hat als Grund- und Deckfläche zueinander parallele Kreise mit dem gleichen Radius r. Auch hier ist der Abstand dieser Flächen die Höhe h. Der Mantel ist ein Rechteck, wenn man die Seitenfläche an einer Mantellinie „aufschneidet“.
Der Oberflächeninhalt ist die Summe aus der zweifachen Grundfläche und der Mantelfläche; das Volumen des Zylinders ist das Produkt aus dem Flächeninhalt der Grundfläche und der Höhe:
$$ \begin{align*}
A_\text{Zylinder} & = 2 \cdot G + M \\
& = 2 \cdot r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h
\end{align*} $$
![Oberflächeninhalt eines Kreiszylinders [A=2r^2pi+2rpih]](../../formel/oberflaecheninhalt-kreiszylinder.svg "Oberflächeninhalt eines Kreiszylinders [A=2r^2pi+2rpih]")
$$ \begin{align*}
V_\text{Zylinder} & = G \cdot h \\
& = r^2 \cdot \pi \cdot h
\end{align*} $$
![Volumen eines Kreiszylinders [V=r^2pih]](../../formel/volumen-kreiszylinder.svg "Volumen eines Kreiszylinders [V=r^2pih]")
Die Pyramide
Die Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Vieleck ist, dessen Seitenflächen Dreiecke sind, die in einer Spitze S zusammentreffen. Diese Seitenflächen bilden den Mantel der Pyramide. Der Abstand zwischen der Grundfläche und der Spitze ist die Höhe h.
Die Kanten der Grundfläche werden Grundkanten, die übrigen Kanten Seitenkanten genannt. Sind diese gleich lang, spricht man von einer geraden Pyramide. Hat die Pyramide dazu noch ein reguläres Vieleck als Grundfläche, liegt eine reguläre Pyramide vor.
$$ A_\text{Pyramide} = G + A_\text{Seitenflächen} $$
$$ V_\text{Pyramide} = \frac{1}{3}\cdot G\cdot h $$
Der gerade Kreiskegel
Ein Kreiskegel hat als Grundfläche einen Kreis mit dem Radius r und eine Spitze S, deren Abstand voneinander die Höhe h ist. Trifft die Höhe den Mittelpunkt der Grundfläche, spricht man von einem geraden Kreiskegel. Die Mantelfläche M ist, wenn man sie längs aufschneidet, ein Kreissektor mit dem Radius s und der Bogenlänge 2rπ.
Damit ergeben sich folgende Formeln für den Oberflächeninhalt und das Volumen eines geraden Kreiskegels:
$$ \begin{align*}
A_\text{Kreiskegel} & = G + M \\
& = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s
\end{align*} $$
$$ \begin{align*}
V_\text{Kreiskegel} & = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\
& = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h
\end{align*} $$
