Inhaltsverzeichnis
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Quadratische Funktionen und Gleichungen
Binomische Formeln
Ein Binom ist die Summe oder Differenz zweier Variablen oder Zahlen:
$$ a + b \quad;\quad a - b $$
Davon leiten sich die sogenannten binomischen Formeln ab. Hier wird in der Regel zwischen folgenden Formeln unterschieden:
- Plus-Formel: $(a + b)^2 \;=\; a^2 + 2ab + b^2$
- Minus-Formel: $(a - b)^2 \;=\; a^2 - 2ab + b^2$
- Plus-Minus-Formel: $(a + b)(a - b) \;=\; a^2 - b^2$
Die binomischen Formeln werden häufig zum einfacheren Ausmultiplizieren und Faktorisieren verwendet.
Die Normalparabel
Die Funktion $f:f(x) \;=\; ax^2 + bx + c;\; a \in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$ heißt quadratische Funktion. Der Term heißt Funktionsterm, die Gleichung $y \;=\; ax^2 + bx + c$ Funktionsgleichung. Der Graph dieser Funktion wird als Parabel bezeichnet.
Sonderfall 1
Setzen wir a = 1 sowie b und c = 0, erhalten wir die quadratische Funktion $f: f(x) = x^2$. Der dazu gehörende Graph heißt Normalparabel. Sie ist zur y-Achse achsensymmetrisch und hat ihren Scheitelpunkt S im Ursprung O (0/0). Im zweiten Quadranten fällt sie, im ersten steigt sie. Die Wertemenge ist $\mathbb{R}_0^+$.
Sonderfall 2
Nehmen wir nun an: a = 1, b = 0 und c ≠ 0. Dann haben wir eine Parabel, die zwar wie eine Normalparabel aussieht, aber bei c > 0 nach oben und bei c < 0 nach unten verschoben ist. Der Scheitel befindet sich dabei im Punkt (0/c). Damit gilt Folgendes:
- Für c < 0 hat die Parabel zwei Nullstellen.
- Für c = 0 hat die Parabel eine Nullstelle.
- Für c > 0 hat die Parabel keine Nullstellen.
Verschieben der Normalparabel
Möchte man nun die Normalparabel nach links oder rechts verschieben, nutzt man folgende Formel:
$$ f: f(x) \;=\; (x-d)^2;\; D_f = \mathbb{R} $$
![Normalparabel verschieben [f:f(x)=(x-d)^2]](../../formel/normalparabel-verschieben-d.svg "Normalparabel verschieben [f:f(x)=(x-d)^2]")
Für positive Werte von d verschiebt sich die Parabel nach rechts, für negative Werte entsprechend nach links.
Der Scheitelpunkt liegt dann im Punkt (d/0).
Zusammen mit der Verschiebung parallel der y-Achse ergibt sich die Scheitelform:
$$ f: f(x) \;=\; (x-d)^2 + e $$
![Scheitelform [f:f(x)=(x-d)^2+e]](../../formel/scheitelform.svg "Scheitelform [f:f(x)=(x-d)^2+e]")
Deren Graphen hat den Scheitelpunkt S(d/e). Die Scheitelform kann in den Term der Form $x^2 + bx + c$ umgewandelt werden. Hierfür eignet sich die quadratische Ergänzung. Dabei nutzt man auch die binomischen Formeln und geht wie folgt vor:
$$ \begin{array}{rl}
& x^2 + bx + c \\
= & x^2 + bx + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 + c \\
= & \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4} + c \\
= & \left[x - (-\dfrac{b}{2})\right]^2 - \dfrac{b^2}{4} + c
\end{array} $$
Auf den ersten Blick erscheint die Umformung ziemlich kompliziert. An einem Beispiel wird aber deutlicher, wie vorgegangen wird. Dafür soll der Term $x^2 + 6x + 10$ in die Scheitelform überführt werden:
$$ \begin{array}{rl}
& x^2 + 6x + 10 \\
= & x^2 + 6x + 3^2 - 3^2 + 10 \\
= & (x + 3)^2 + 1 \\
= & [x - (-3)]^2 + 1
\end{array} $$
Daraus folgt, dass der Graph seinen Scheitel S bei (−3/1) hat.
Die Parabel P: y = ax2
Die Graphen der Quadratfunktion $f:f(x) = ax^2;\; D_f = \mathbb{R}, a \ne 0$ sind Parabeln. Je nachdem welcher Wert a annimmt, ändert sich die Normalparabel: Bei Werten a > 0 ist sie nach oben und bei a < 0 nach unten geöffnet. Ist 0 < |a| < 1, wird die Normalparabel weiter, während sie bei 1 < |a| enger wird. Ist a = 1, liegt natürlich eine kongruente Normalparabel vor.
Die allgemeine quadratische Funktion
Jede Funktion der Form $f:f(x) = ax^2 + bx + c;\; D_f = \mathbb{R};\, a \in \mathbb{R}\setminus\{0\};\, b, c \in \mathbb{R}$ heißt quadratische Funktion. Deren Graph ist eine Parabel, die zur y-Achse parallel ist und zwei, einen oder keine Nullstellen hat. Der Funktionsterm lässt sich mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelform bringen:
$$ f(x) = ax^2 + bx + c \;\Rightarrow\; f(x) = a(x-d)^2 + e $$
Rechnerisches Lösen quadratischer Gleichungen
Faktorisieren
Sind x1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2 + bx + c = 0$, dann lässt sich der entsprechende Term $x^2 + bx + c$ durch das Produkt $(x - x_1)(x - x_2)$ darstellen. Dies nennt man Faktorisieren. Die zwei Faktoren werden als Linearfaktoren bezeichnet. Multipliziert man den Term aus, erhält man folgendes Ergebnis:
$$ (x - x_1)(x - x_2) \;=\; x^2-xx_2 - xx_1 + x_1x_2 \;=\; x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 $$
Die Summe aus x1 und x2 ergibt also in der quadratischen Gleichung −b und deren Produkt c:
$$ x_1 + x_2 = -b \;;\; x_1x_2 = c $$
Dieser Zusammenhang wird im Satz von Vieta erfasst. Diese Methode eignet sich insbesondere dann, wenn eine quadratische Gleichung ganzzahlige Lösungen hat.
Mitternachtsformel
Für quadratische Gleichungen der Form $ax^2 + bx + c = 0;\; a \in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\};\: b, c \in \mathbb{R}$ bietet sich dagegen die Anwendung der Mitternachtsformel an:
$$ x_{1/2} \;=\; \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Ist der Wert des Terms unter der Wurzel (Diskriminante D) positiv, hat die Gleichung zwei Lösungen. Ist die Diskriminante dagegen gleich Null, besitzt sie eine Lösungen, bei einem negativen wert gibt es keine (reelle) Lösung.