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Das rechtwinklige Dreieck
Die Satzgruppe des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras
Der Satz des Pytagoras bezeichnet eine besondere Beziehung zwischen den Kathetenlängen und der Hypotenusenlänge: Nach ihm ist in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten:
$$ a^2+b^2=c^2 $$
![Satz des Pythagoras [a^2+b^2=c^2]](../../formel/satz-des-pythagoras.svg "Satz des Pythagoras [a^2+b^2=c^2]")
Bildlich kann man diesen Zusammenhang so darstellen:
Diesen zusammenhang nutzt man auch in umgekehrter Richtung: Nach dem Kehrsatz ist ein Dreieck rechtwinklig, wenn für dieses der Satz des Pythagoras gilt.
Der Katheten- und Höhensatz
Daneben gibt es auch den Kathetensatz (des Euklid) sowie den Höhensatz (des Euklid). Bei beiden wird das Dreieck in zwei Hypotenusenabschnitte durch die Höhe der Hypotenuse zerlegt:
Die Dreiecke ABC, ADC und CDB sind aufgrund ihrer übereinstimmenden Winkel zueinander ähnlich. Von diesem Zusammenhang ausgehend lassen sich der Katheten- und Höhensatz ableiten.
Kathetensatz
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat jeder Kathete gleich dem Produkt aus Hypotense und anliegendem Hypotenusenabschnitt:
$$ a^2 = c \cdot p \\
b^2 = c \cdot q $$
![Kathetensatz [a^2=cp, b^2=cq]](../../formel/kathetensatz.svg "Kathetensatz [a^2=cp, b^2=cq]")
Höhensatz
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenusenhöhe gleich dem Produkt aus den Hypotenusenabschnitten:
$$ h^2 = p \cdot q $$
![Höhensatz [h^2=pq]](../../formel/hoehensatz.svg "Höhensatz [h^2=pq]")
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Seitenverhältnisse und Winkel im rechtwinkligen Dreieck
Der Wert der Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck kennzeichnet die Größen eines Winkels. Ebenso kann man umgekehrt von den Winkelgrößen auf die Seitenverhältnisse schließen. Dabei nutzt man die Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Sie sind wie folgt definiert:
$$ \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete von}\;\alpha}{\text{Hypotenuse}} $$
$$ \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete von}\;\alpha}{\text{Hypotenuse}} $$
$$ \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete von}\;\alpha}{\text{Ankathete von}\;\alpha} $$
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens
Zwischen den Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens bestehen eine Reihe von Beziehungen. So folgt aus α + β = 90° und damit aus β = 90° − α, dass
$$ \cos \alpha = \sin(90^{\circ}-\alpha) \quad;\quad \sin \alpha = \cos(90^{\circ}-\alpha) $$
Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich zudem ableiten, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus 1 ergibt:
$$ \left(\sin\alpha\right)^2+\left(\cos\alpha\right)^2 = 1 $$
Zuletzt gilt, dass der Tangens der Quotient von Sinus und Kosinus ist:
$$ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $$
Zum einfacheren und schnelleren Anwenden von Sinus, Kosinus und Tangens ist es hilfreich, sich folgende Grenzwerte zu merken:
$$ \sin 0^\circ = \cos 90^\circ = 0;\\
\sin 90^\circ = \cos 0^\circ = 1;\\
\tan 0^\circ = 0 $$
