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Anwendung quadratischer Funktionen und Gleichungssysteme
Interessante Parabeleigenschaften
Strahlen, die parallel zur Symmetrieachse einer Parabel verlaufen, werden an dieser zu einem Punkt reflektiert: dem Brennpunkt. Eine Parabel mit der Gleichung $y \;=\; ax^2$ hat den Brennpunkt bei $(0/(4a)^{-1})$.
Lässt man einen Parabelbogen um seine Symmetrieachse kreisen, erhält man einen Paraboloid. Man findet solche etwa in Autoscheinwerfern und Spielteleskopen.
Anwendungen quadratischer Funktionen: Extremwertaufgaben
Wie bereits bekannt, kann man (oft) den Zusammenhang zwischen zwei Variablen x und y durch einen Funktionsterm wiedergeben. In verschiedenen Bereichen will man häufig für diesen Term den größten bzw. kleinsten möglichen Wert (Extremwert) ermitteln.
Hat man eine quadratische Funktion, betrachtet man dafür den Scheitelpunkt des Graphen. Dessen Koordinaten geben diesen Extremwert wieder. Der x-Wert zeigt dabei, an welcher Stelle der Extremwert vorkommt, der y-Wert, welcher Wert er hat.
Beispiel: Zwei positive reelle Zahlen a und b ergeben die Summe 12. Es soll das Zahlenpaar ermittelt werden, dessen Produkt am größten ist.
$$ \begin{align*}
f(x) & = x(12-x) \\
& = -x^2 + 12x \\
& = -x^2 + 12x - 6^2 + 6^2 \\
& = -[x^2-12x+6^2+36 \\
& = -(x-6)^2+36 \\
& \Rightarrow a = b = 6
\end{align*} $$
Erklärung: Zunächst bilden wir eine Funktion, die das Produkt der zwei ist. Diese quadratische Funktion lässt sich in die Scheitelform bringen. In dieser erkennen wir, dass das Produkt für x = 6 am größten ist (nämlich 36). Da wir wissen, dass eine Zahl den Wert 6 annehmen muss, hat die andere ebenfalls einen Wert von 6.
Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten
In einigen Fällen muss man ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten lösen. Dabei geht man immer auf die gleiche Art und Weise vor:
- Eine der drei Gleichungen wird nach einer Unbekannten aufgelöst.
- Aus den anderen Gleichungen wird die Unbekannte durch Einsetzen des entsprechenden Terms eliminiert.
- Das entstandene Gleichungssystem wird aufgelöst.
- Die eliminierte Unbekannte wird durch Einsetzen der Lösung in die im ersten Schritt aufgelöste Gleichung ermittelt.
Beispiel:
$$ \begin{array}{rlll}
\text{I} & : a+b+c=5 \\
\text{II} & : 16a+4b+c=2 & \Rightarrow \text{II'} : & c=2-16a-4b \\
\text{III} & : 4a-2b+c=-10 \\ \\
\text{II' in I} & : a+b+2-16a-4b=5 & \Rightarrow \text{I'} : & -5a-b=1\\
\text{II' in III} & : 4a-2b+2-16a-4b=-10 & \Rightarrow \text{III'} : & -2a-b=-2\\
\text{III' in I'} & : -2a-b-(-5a-b)=-2-1 & & \Rightarrow a=-1 \\
\text{I'} & : (-5)(-1)-b=1 & & \Rightarrow b=4 \\
\text{II'} & : c=2-16\cdot(-1)-4\cdot4=2 & & \Rightarrow c=2 \\
& \Rightarrow a=-1\;,\;b=4\;,\;c=2
\end{array} $$
Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen
Möchte man den Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen ermitteln, setzt man beide Funktionen miteinander gleich. Ergibt sich daraus eine quadratische Gleichung, löst man sie wie gewohnt. Die Lösung ist dann die x-Koordinate; die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von x in eine der Funktionsterme. Die Anzahl der Schnittpunkte wird durch die Diskriminante D der Gleichung bestimmt:
- D > 0: zwei Schnittpunkte
- D = 0: ein gemeinsamer Punkt; die Graphen berühren sich
- D < 0: keine Schnittpunkte
Beispiel:
$$ f: y = (x-3)^2+5 \;,\; g: y = 0{,}5x+3,5 \\\\
(x-3)^2+5 = 0{,}5x + 3{,}5 \\
x^2-6x+9+5-0{,}5x = 0 \\
x^2-6{,}5x+10{,}5 = 0 \\
\Rightarrow x_{1/2} = \frac{6{,}5\pm\sqrt{6{,}5^2-4\cdot1\cdot10{,}5}}{2} \\
\Rightarrow x_1 = 3{,}5;\; x_2 = 3 \\
\Rightarrow S_1 (3/5);\; S_2 (3{,}5/5{,}25) $$
