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Die reellen Zahlen
Quadratwurzeln
Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl a (a ≥ 0) ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist. Man schreibt für die Quadratwurzel $\sqrt{a}$. Die Zahl oder der Term innerhalb der Wurzel bezeichnet man als Radikand. Dieser kann nicht negativ sein.
Die Umkehrfunktion für das Radizieren (Wurzelnehmen) ist das Quadrieren. Somit gilt:
$$ \sqrt{a^2} \;=\; \left | a \right | $$
Irrationale Zahlen
Wie bereits bekannt lassen sich rationale Zahlen mittels eines Bruchs darstellen:
$$ \frac{a}{b} \:\in\: \mathbb{Q} \;;\;\; a \in \mathbb{Z},\: b \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$
Beim Radizieren können aber Zahlen auftreten, die nicht durch einen Bruch darstellbar sind. Sie werden als irrationale Zahlen bezeichnet. Im Gegensatz zu den rationalen Zahlen brechen sie weder ab noch sind sie periodisch; sie haben unendlich Dezimalstellen. So hat die Quadratwurzel aus 2 etwa folgenden Wert:
$$ \sqrt{2} \; \approx \; 1{,}41421356237 $$
Die Intervallschachtelung
Durch die Verwendung von Intervallen (Zahlenabschnitten) lassen sich irrationale Zahlen mithilfe von rationalen Zahlen beliebig genau festlegen. Hierzu verwendet man stetig kleiner werdende Intervalle, die jeweils im vorherigen Intervall liegen. Möchte man etwa die uns bereits bekannte Quadratwurzel aus 2 auf drei Dezimalstellen gerundet ermitteln, geht man folgendermaßen vor:
| Da | liegt a im Intervall | der Länge |
| 12 < 2 < 22 | [1; 2] | 1 |
| 1,42 < 2 < 1,52 | [1,4; 1,5] | 0,1 |
| 1,412 < 2 < 1,422 | [1,41; 1,42] | 0,01 |
| 1,4142 < 2 < 1,4152 | [1,414; 1,415] | 0,001 |
| 1,41422 < 2 < 1,41432 | [1,4141; 1,4143] | 0,0001 |
Damit wissen wir, dass die Wurzel aus 2 etwa 1,414 ist.
Die Menge ℝ der reellen Zahlen
Zusammen bilden die rationalen und irrationalen Zahlen die Menge ℝ der reellen Zahlen. Auf einer Zahlengeraden bilden sie eine lückenlose Linie, während beide Teilmengen allein für sich betrachtet, Lücken hinterlassen würden.
Rechnen mit reellen Zahlen
Beim Rechnen mit reellen Zahlen ergeben sich im Vergleich zu den rationalen Zahlen keine Unterschiede: Es gelten auch hier bei der Addition und Multiplikation das Assoziativ- und Kommutativgesetz.
Rechnen mit Quadratwurzeln
Besonderheiten ergeben sich indes beim Rechnen mit Quadratwurzeln.
Addieren und Subtrahieren
Beim Addieren und Subtrahieren ist darauf zu achten, ob der Radikand derselbe ist. Ist dies der Fall, kann man die Wurzeln wie gewohnt – also wie reelle Zahlen – miteinander verrechnen:
$$ a\sqrt{c} \: + \: b\sqrt{c} \;=\; (a+b)\sqrt{c} $$
Sind die Radikanden dagegen ungleich, kann man die Wurzeln nicht ohne Weiteres verrechnen. Man muss vielmehr zuvor auflösen, sofern dies möglich ist. Beispiele:
$$ \begin{array}{rl}
\text{Gleicher Radikand:} & \mathrm{2\sqrt{a} \:+\: \sqrt{a} \:-\: \sqrt{a} \;=\; 2\sqrt{a}} \\
& \mathrm{5\sqrt{a} \:-\: 2\sqrt{a} \:+\: \sqrt{a} \;=\; 4{\sqrt{a}}} \\ \\
\text{Anderer Radikand:} & \mathrm{\sqrt{4} \:+\: \sqrt{9} \;=\; 2 \:+\: 3 \;=\; 5} \\
& \mathrm{\sqrt{49} \:-\: \sqrt{25} \;=\; 7 \:-\: 5 \;=\; 2}
\end{array} $$
Multiplizieren und Dividieren
Beim Multiplizieren und Dividieren gestaltet sich die Aufgabe dagegen einfacher: Hier kann man die Radikale in einer Wurzel mit der entsprechenden Rechnung zusammenfassen. Allgemein gilt:
$$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \;=\; \sqrt{ab};\; a, b \in \mathbb{R}_0^+ \\
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \;=\; \sqrt{\frac{a}{b}};\; a \in \mathbb{R}_0^+, b \in \mathbb{R}^+ $$
Beispiele:
$$ \sqrt{3} \:\cdot\: \sqrt{27} \;=\; \sqrt{3 \cdot 27} \;=\; \sqrt{81} \;=\; 9 \\
\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}} \;=\; \sqrt{\frac{125}{5}} \;=\; \sqrt{25} \;=\; 5 $$
