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Vertiefen der Funktionenlehre

Überblick über die bisher bekannten Funktionstypen

Bisher wurden sowohl rationale als auch nichtrationale Funktionen behandelt.[1]Vgl. hierzu delta 10, S. 134 f.

Rationale Funktionen

Zu den rationalen Funktionen zählen solche Funktionen, die ausschließlich rationale Rechenoperationen verwenden. Das sind die Grundrechenarten. Die rationalen Funktionen lassen sich wiederum in ganzrationale Funktionen und gebrochenrationale Funktionen unterteilen.

Die ganzrationalen Funktionen sind bereits im vorherigen Kapitel behandelt worden; es wird insoweit darauf verwiesen.

Die gebrochenrationalen Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie als Term einen Bruch haben. Sie kommen in zwei Formen vor. Sie können entweder im Zähler und im Nenner eine Variable haben. Oder sie haben ausschließlich im Nenner eine Variable. Die Definitionsmenge der gebrochenrationalen Funktionen wird daher durch die Nullstellen des Nenners eingegrenzt.

Nichtrationale Funktionen

Zu den nichtrationalen Funktionen zählen etwa die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunktionen.

Der Einfluss der Änderung von Parametern: Verschieben, Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen

Eine Funktion f(x) lässt sich mithilfe von Parametern beeinflussen. Durch sie kann ein Funktionsgraph verschoben, gestreckt oder gespiegelt werden.

Verschieben

Parameter Auswirkung Funktionsgraph
$g(x) = f(x) + a$ Der Graph wird um a in y-Richtung verschoben. Verschieben einer FunktionVerschieben einer Funktion
$g(x) = f(x + a)$ Der Graph wird in x-Richtung um |b| nach links bei b > 0 bzw. nach rechts bei b < 0 verschoben.

Strecken und Stauchen

Parameter Auswirkung Funktionsgraph
$$g(x) = c \cdot f(x);\\ c \in \mathbb{R^+}\setminus\{1\}$$ Der Graph wird mit dem Faktor a in y-Richtung bei c > 1 gestreckt und bei c < 1 gestaucht. Strecken und Stauchen einer FunktionStrecken und Stauchen einer Funktion
$g(x) = f(x \cdot d);\\d \in \mathbb{R^+}\setminus\{1\}$ Der Graph wird in x-Richtung mit dem Faktor $\frac{1}{d}$ gestreckt (d < 1) oder gestaucht (d > 1).

Spiegeln

Parameter Auswirkung Funktionsgraph
$g(x) = -f(x)$ Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt. Spiegeln einer FunktionSpiegeln einer Funktion
$g(x) = f(-x)$ Der Graph wird an der y-Achse gespiegelt.
$g(x) = -f(-x)$ Der Graph wird am Ursprung gespiegelt.

Verhalten von Funktionen im Unendlichen

Allgemeines

Je nachdem, welche Art von Funktionen vorliegt, verhält sich der Graph unterschiedlich, wenn die x-Werte immer größer oder kleiner werden. Dabei kann sich der Funktionswert einer Zahl a beliebig weit annähern. Diese Zahl wird als Grenzwert bezeichnet. Die Gerade y = a ist dabei die waagrechte Asymptote des Funktionsgraphen.

Tendiert etwa eine Funktion f(x) bei immer größer werdendem x-Wert zum Wert a, so schreibt man:

$$ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = a $$

Man sagt: „Der Limes von f(x) ist gleich a.“

Besteht eine Funktion selbst aus mehreren Funktionen, so kann für jede Teilfunktion der Grenzwert ermittelt werden und mithilfe von Grenzwertregeln der Grenzwert der Funktion ermittelt werden. Dabei gilt (hier strebt der Limes gegen z):

$$ \\ \lim_{x \rightarrow z}\: c \;=\; c \\\\ \lim_{x \rightarrow z}\: \left[ f(x) \pm g(x) \right] \;=\; \lim_{x \rightarrow z} f(x) \pm \lim_{x \rightarrow z} \;=\; a_1 \pm a_2 \\\\ \lim_{x \rightarrow z}\: \left[ f(x) \cdot g(x) \right] \;=\; \lim_{x \rightarrow z} f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow z} g(x) \;=\; a_1 \cdot a_2 \\\\ \lim_{x \rightarrow z}\: f(x) : g(x) \;=\; \lim_{x \rightarrow z} f(x) : \lim_{x \rightarrow z} g(x)\;=\; a_1 : a_2; \small{\text{ ausgenommen: } a_2 = 0} \\\\ \lim_{x \rightarrow z}\: [f(x)]^n \;=\; \left[ \lim_{x \rightarrow z} f(x) \right ]^n = a^n $$

Verhalten von Funktionen im Unendlichen anhand bestimmter Funktionsarten

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen streben im Unendlichen immer gegen plus oder minus unendlich:

$$ \lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} $$
Hyperbeln

Bei nicht verschobenen Hyperbeln ist der Limes 0. Ist die Hyperbel um c Einheiten nach oben oder unten verschoben, nimmt der Limes den Wert c an:

$$ \\f(x) = \frac{a}{(x + b)^n} + c \Rightarrow \lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = c $$
Gebrochenrationale Funktionen

Gegeben sei folgende gebrochenrationale Funktion:

$$ f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0} {b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} $$

Wie sich die Funktion verhält, hängt entscheidend davon ab, ob der Zählergrad oder der Nennergrad größer ist:

Verhalten an einer Definitionslücke

Um das Verhalten von Funktionen an Definitionslücken kennenzulernen, betrachten wir folgenden Graphen der Funktion f(x):

Beispiel für das Verhalten eines Funktionsgraphen an einer DefinitionslückeBeispiel für das Verhalten eines Funktionsgraphen an einer Definitionslücke
Beispiel für das Verhalten eines Funktionsgraphen an einer Definitionslücke

Der dazu gehörende Funktionsterm lautet:

$$ \begin{align*} f(x) &= \frac{x^3 - 6x^2 + 8x}{3x^2 - 9x - 12} \\ &= \frac{x(x-4)(x-2)}{3(x-4)(x+1)}; \;\;\small{D_f = \mathbb{R}\backslash\{-1;4\}} \end{align*} $$

Man kann erkennen, dass die Funktion zwei Definitionslücken hat, da der Term bei x1 = –1 und x2 = 4 jeweils eine 0 als Divisor hat.

Es ist zudem erkennbar, dass sowohl im Dividenden als auch im Divisor der Faktor (x–4) steht. Würde man ihn aus dem Term herauskürzen, würde hierdurch die Funktion geändert werden, da auch die Definitionsmenge geändert werden würde. In einem solchen Fall ist der Graph an der Stelle nicht definiert. Man spricht von einer hebbaren Definitionslücke. Sie wird im Graphen als ein Kreis dargestellt. Der Grenzwert ergibt sich aus der Funktion unter Weglassen des hier betrachteten Faktors:

$$ \lim_{x \rightarrow 4} f(x) = \lim_{x \rightarrow 4} \frac{x(x-2)}{3(x+1)} = \frac{4(4-2)}{3(4+1)} = \frac{8}{15} $$

Ist eine Definitionslücke hingegen nicht „wegkürzbar“ – wie hier x1 = –1 – so liegt eine Polstelle vor. Der Graph hat an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote. Dabei ist zu beachten, dass man sich sowohl von der linken als auch von der rechten Seite der Definitionslücke annähern kann. Dies kann z. B. mit einem „–“ bzw. einem „+“ symbolisiert werden:

$$ \\ \lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = \frac{(-1) \cdot (-1-2)}{3 \cdot (-1 + 1)} = \frac{3}{3 \cdot 0^-} = -\infty \\\\\\ \lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = \frac{(-1) \cdot (-1-2)}{3 \cdot (-1 + 1)} = \frac{3}{3 \cdot 0^+} = +\infty $$
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