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Kreis, Kugel und die Kreiszahl π
Kreis
Das Bogenmaß
Spannt man in einem Kreis mit dem Radius r einen Mittelpunktwinkel α auf, so erhält man einen Kreissektor mit der Bogenlänge b. Diese Länge ist direkt proportional zum Winkel α:
$$ b \:=\: 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360\,^\circ} \:=\: \frac{r \cdot \pi \cdot \alpha}{180\,^\circ} $$
Für einen Einheitskreis – also einen Kreis, dessen Radius 1 Längeneinheit (LE) ist – folgt hieraus, dass der vollwinkel (360 °) eine Bogenlänge von 2π aufspannt:
$$ b_{\text{Vollwinkel}} \:=\: \frac{1\,[m] \cdot \pi \cdot 360\,^\circ}{180\,^\circ} \:=\: 2\pi $$
Dieser Zusammenhang wird beim Bogenmaß genutzt. Durch ihn lassen sich Winkel auch ohne Gradangabe beschreiben. Hierfür wird der Quotient aus der Bogenlänge b und den (beliebigen) Radius r genommen. Ein solcher Winkel x hat also auch keine Einheit:
$$ x \:=\: \frac{b\,\left[\text{m}\right]}{r\,\left[\text{m}\right]} $$
Teilweise wird zur Verdeutlichung aber auch die Bezeichnung „Radiant“ – abgekürzt „rad“ – verwendet.
Ein bereits in Grad bekannter Winkel α lässt sich durch die Bogenlänge bei einem Radius von 1 Längeneinheit berechnen:
$$ \alpha\,\left[\text{Bogenmaß} \right ] \:=\: \frac{\pi \cdot \alpha}{180\,^\circ} $$
Ist der Winkel dagegen im Bogenmaß angegeben und möchte man die Gradangabe ermitteln, so rechnet man:
$$ \alpha\,\left[\text{Gradmaß} \right ] \:=\: \frac{180\,^\circ \cdot \alpha}{\pi} $$
Zu folgenden Winkelgrößen gibt es folgende (wichtige) Bogenmaße:
| Winkel im Gradmaß | 0 ° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | 90 ° | 135 ° | 180 ° | 270 ° | 360 ° |
| Winkel im Bogenmaß | 0 | $$ \frac{\pi}{6} $$ | $$ \frac{\pi}{4} $$ | $$ \frac{\pi}{3} $$ | $$ \frac{\pi}{2} $$ | $$ \frac{3\pi}{4} $$ | $$ \pi $$ | $$ \frac{3\pi}{2} $$ | $$ 2\pi $$ |
Der Kreissektor
Flächeninhalt des Kreissektors
Ebenso wie die Bogenlänge ist auch der Flächeninhalt A eines Kreissektors direkt proportional zum Mittelpunktswinkel α:
$$ A \:=\: \frac{r^2 \cdot \pi \cdot \alpha}{360\,^\circ} $$
Die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Kreissektor
Die Bogenlänge b und der Kreissektor A stehen in folgendem Zusammenhang:
$$ \frac{A}{b} \:=\: \frac{r}{2} $$
Dies ergibt sich aus folgenden Schritten:
- Den Flächeninhalt des Kreissektors kann man auch wie folgt darstellen:
$$ A \:=\: \frac{r}{2} \cdot \frac{r \cdot \pi \cdot \alpha}{180\,^\circ} $$
- Der zweite Faktor ist gleich der Bogenlänge b (vergleiche nochmals die Formel oben):
$$ A \:=\: \frac{r}{2} \cdot b $$
- Durch Umformung des Terms ergibt sich die bereits genannte Beziehung:
$$ \frac{A}{b} \:=\: \frac{r}{2} $$
Kugel
Eine Kugel zeichnet sich dadurch aus, dass jeder Punkt ihrer Oberfläche den gleichen Abstand – den Radius r – von ihrem Mittelpunkt M hat.
Volumen der Kugel
Eine Kugel mit dem Radius r hat folgendes Volumen V:
$$ V_{\text{Kugel}} \:=\: \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi $$
Oberflächeninhalt einer Kugel
Eine Kugel mit dem Radius r hat eine gekrümmte Oberfläche. Diese kann nicht in eine Ebene gebracht werden. Aus diesem Grund ist auch jede ebene Karte der annähernd kugelförmigen Erde eine verzerrende Projektion. Der Oberflächeninhalt A einer Kugel beträgt:
$$ A_{\text{Kugel}} \:=\: 4 \cdot r^2 \cdot \pi $$