Schulstoff.org
Schulstoff.org
Hier werben? –
– Hier klicken!
Navigation ein-/ausblenden
Navigation ein-/ausblenden
Schulstoff.org

Mathematik: 10. Klasse

Inhaltsverzeichnis [Anzeigen] [Verbergen]

Kreis, Kugel und die Kreiszahl π

Kreis

Das Bogenmaß

Bogenlänge am Kreis
Bogenlänge am Kreis

Spannt man in einem Kreis mit dem Radius r einen Mittelpunktwinkel α auf, so erhält man einen Kreissektor mit der Bogenlänge b. Diese Länge ist direkt proportional zum Winkel α:

Formel für die Bogenlänge b = r*pi*alpha/180

Für einen Einheitskreis – also einen Kreis, dessen Radius 1 Längeneinheit (LE) ist – folgt hieraus, dass der vollwinkel (360 °) eine Bogenlänge von 2π aufspannt:

Der Vollwinkel im Bogenmaß beträgt 2π

Dieser Zusammenhang wird beim Bogenmaß genutzt. Durch ihn lassen sich Winkel auch ohne Gradangabe beschreiben. Hierfür wird der Quotient aus der Bogenlänge b und den (beliebigen) Radius r genommen. Ein solcher Winkel x hat also auch keine Einheit:

Ein Winkel im Bogenmaß hat keine Einheit

Teilweise wird zur Verdeutlichung aber auch die Bezeichnung „Radiant“ – abgekürzt „rad“ – verwendet.

Ein bereits in Grad bekannter Winkel α lässt sich durch die Bogenlänge bei einem Radius von 1 Längeneinheit berechnen:

Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß

Ist der Winkel dagegen im Bogenmaß angegeben und möchte man die Gradangabe ermitteln, so rechnet man:

Umrechnung vom Bogenmaß in das Gradmaß

Zu folgenden Winkelgrößen gibt es folgende (wichtige) Bogenmaße:

Winkel im Gradmaß 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 135 ° 180 ° 270 ° 360 °
Winkel im Bogenmaß 0 Pi/6 Pi/4 Pi/3 Pi/2 3 mal Pi durch 4 Pi 3 mal Pi durch 2 2 mal Pi

Der Kreissektor

Flächeninhalt des Kreissektors
Der Kreissektor
Der Kreissektor

Ebenso wie die Bogenlänge ist auch der Flächeninhalt A eines Kreissektors direkt proportional zum Mittelpunktswinkel α:

Der Flächeninhalt eines Kreissektors A = r^2*pi*alpha/360
Die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Kreissektor

Die Bogenlänge b und der Kreissektor A stehen in folgendem Zusammenhang:

Die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Kreissektor

Dies ergibt sich aus folgenden Schritten:

  1. Den Flächeninhalt des Kreissektors kann man auch wie folgt darstellen:
    Der Flächeninhalt eines Kreissektors A = r/2*r*pi*alpha/180
  2. Der zweite Faktor ist gleich der Bogenlänge b (vergleiche nochmals die Formel oben):
    Zwischenschritt der Herleitung der Beziehung zwischen Bogenlänge und Kreissektor A = r/2*b
  3. Durch Umformung des Terms ergibt sich die bereits genannte Beziehung:
    Die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Kreissektor

Kugel

Eine Kugel zeichnet sich dadurch aus, dass jeder Punkt ihrer Oberfläche den gleichen Abstand – den Radius r – von ihrem Mittelpunkt M hat.

Volumen der Kugel

Eine Kugel mit dem Radius r hat folgendes Volumen V:

Volumen einer Kugel V = 4/3*r^3*pi

Oberflächeninhalt einer Kugel

Eine Kugel mit dem Radius r hat eine gekrümmte Oberfläche. Diese kann nicht in eine Ebene gebracht werden. Aus diesem Grund ist auch jede ebene Karte der annähernd kugelförmigen Erde eine verzerrende Projektion. Der Oberflächeninhalt A einer Kugel beträgt:

Oberflächeninhalt einer Kugel A = 4*r^2*pi

Weitere Themen

Werbung

Werbung