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Stochastik: Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Wiederholung der Pfadregeln
Die Grundzüge der Stochastik und der zusammengesetzten Zufallsexperimente sind bereits aus der neunten Klasse bekannt. An dieser Stelle sollen diese Grundzüge aber nochmals wiederholt werden.
Wird ein Zufallsexperiment n-mal wiederholt, spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Die möglichen Ereignisse lassen sich in einem Baumdiagramm darstellen.
Beispiel: In einer Urne befinden sich vier Kugeln. Jede Kugel ist mit „L“, „A“, „U“ bzw. „S“ beschriftet. Es werden nacheinander drei Kugeln herausgezogen, ohne die gezogenen Kugeln zurückzulegen. Das dazu gehörende Baumdiagramm sieht folgendermaßen aus:
Möchte man herausfinden, wie groß etwa die Wahrscheinlichkeit ist, das Wort „ALS“ zu ziehen, muss man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Das ist die Pfadregel 1 (oder Produktregel):
$$ P(\text{"ALS"}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{24} $$
Besteht das Ergebnis aus mehreren Ereignissen, so sind deren einzelne Wahrscheinlichkeiten zu addieren. Das wird als Pfadregel 2 oder Summenregel bezeichnet.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man den Fall, dass bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ein Ereignis A von einem Ereignis B abhängig ist. Man schreibt:
$$ \text{"Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B"} = P_B(A) $$
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ergbit sich aus folgender Rechnung:
$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
Mit $P(A \cap B)$ wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das A und B umfasst, ausgedrückt.
Nehmen wir etwa das Beispiel aus der Wiederholung (siehe oben). Will man nun herausfinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, beim zweiten Ziehen ein „L“ zu ziehen, nachdem beim ersten Ziehen ein „A“ gezogen worden ist, so ergibt sich:
$$ P_\text{"erstes Ziehen A"}(\text{"zweites Ziehen L"}) = \frac{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{4}} = \frac{1}{3} $$