Mathematik: 10. Klasse

Ausbau der Funktionenlehre: Ganzrationale Funktionen

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Funktionen der Form $f: f(x) = a \cdot x^n;\;n \in \mathbb{N}$ heißen Potenzfunktionen (n-ten Grads). Ihre Graphen werden bei n > 1 als Parabeln bezeichnet.

Sie haben bei einem geraden bzw. ungeraden Exponenten folgende Eigenschaften:

Lösungsverfahren für Potenzgleichungen

Je nachdem, um welche Potenzgleichung es sich handelt, gibt es verschiedene Lösungsverfahren.

Lineare und quadratische Gleichungen

Für lineare und quadratische Gleichungen sind die Lösungsverfahren bereits bekannt: Bei linearen Gleichungen können Äquivalenzumformungen und bei quadratischen Gleichungen die Mitternachtsformel angewandt werden.

Gleichungen höheren Grads

Bei Gleichungen höheren Grads gibt es keine solchen einfachen Lösungsverfahren. Je nach Grad lassen sich aber verschiedene Wege zur Lösungsermittlung versuchen.

Ausklammern

Zunächst kommt ein „Ausklammern“ in Betracht. Dies bietet sich an, wenn ein Zahlenterm fehlt.

Als Beispiel soll folgende Gleichung dienen:

In der Gleichung hat jeder Summand die Variable x. Diese kann daher ausgeklammert werden. Der Term innerhalb der Klammer ist eine quadratische Gleichung, die ihrerseits wieder mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden kann:

„Erraten“ einer Lösung und Polynomdivision

Diese Vorgehensweise bietet sich bei Gleichungen dritten Grads an und man durch Erraten oder gezieltes Probieren bereits eine Lösung hat. Diese Lösung wird anschließend für eine Polynomdivision genutzt.

Nehmen wir etwa folgende Gleichung:

Durch Probieren kann man bereits das Ergebnis x₁ = 1 erhalten. Dieses Ergebnis kann in eine Polynomdivision eingesetzt werden, indem es als Divisor eingesetzt wird. Die Polynomdivision funktioniert dabei so wie die Division natürlicher Zahlen: Man dividiert also jeden Summanden des Dividenden nacheinander durch den Summanden höchsten Grads des Divisors (hier: x). Dieses Ergebnis wird mit dem gesamten Divisor multipliziert. Dieses Produkt Wird dann vom betrachteten Summanden des Dividenden subtrahiert:

Bei der in diesem Fall entstehende quadratische Gleichung kann wieder die Mitternachtsformel zur Ermittlung der weiteren Lösungen verwendet werden:

Substitution

Schließlich kann auch eine Substitution eingesetzt werden. Sie eignet sich insbesondere dann, wenn der Exponent ein Vielfaches einer anderen Zahl ist.

Als Beispiel sei folgende Gleichung genommen:

Hier bietet es sich an, x² durch die Variable u zu ersetzen. Hierdurch erhält man eine quadratische Gleichung, die mittels der Mitternachtsformel aufgelöst werden kann. Durch die anschließende Resubstitution erhält man die Lösung für die ursprüngliche Gleichung.

Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen

Polynomfunktionen

Ganzrationale Funktionen haben folgende Form:^{[1]delta 10, S. 118.}

Sie werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet. Der Funktionsterm heißt entsprechend Polynom n-ten Grads. Die Werte a_n, a_n–1, a_n–3, ... werden als Koeffizienten bezeichnet.

Nullstellen von Potenzialfunktionen

Eine Funktion f(x) n-ten Grads hat höchstens n Nullstellen. Diese Nullstellen erhält man, indem die Funktion gleich Null gesetzt wird:

Faktorisierung

Grundlagen

Die Nullstellen lassen sich auch durch die Faktorisierung der Funktion ermitteln. Hat eine Funktion die Nullstellen x₁, x₂, x₃, ... so hat sie folgende Form:

Dabei hat g(x) keine Nullstelle und keinen Faktor a. Dieser ist ein Polynom vom Grad n–1 und wird durch eine Polynomdivision ermittelt.^{[2]delta 10, S. 118.}

Beispiel

Als Beispiel sei folgende Gleichung gegeben:

Diese Gleichung hat folgende Nullstellen: x₁ = –1, x₂ = 1, x₃ = 2. Die faktorisierte Form der Potenzfunktion sieht daher so aus:

Vielfachheit von Nullstellen

Eine Nullstelle kann einfach oder mehrfach in einer Funktion vorkommen (allgemein: k-fach). So hat die Funktion $f(x) = x^2$ an x = 0 eine doppelte Nullstelle, da die Funktion auch als $f(x) = (x+0)(x+0)$ geschrieben werden kann, die Nullstelle also an dieser Stelle zweimal vorkommt.

Diese Vielfachheit hat auf den Kurvenverlauf eine entstcheidende Rolle:

• Bei einem geraden Grad der Nullstelle berührt diese die x-Achse nur; es findet also kein Vorzeichenwechsel statt.
• Bei einem ungeraden Grad schneidet der Graph dagegen die x-Achse; mithin kommt es zu einem Vorzeichenwechsel.
• Je größer die Vielfachheit der Nullstelle ist, desto flacher verläuft an dieser Stelle der Graph.

Verhalten von Potenzgleichungen im Unendlichen

Das Verhalten eines Graphen einer ganzrationalen Funktion wird für sehr große und auch für sehr kleine Werte von x durch den Summanden mit dem höchsten Summanden – also durch a_nxⁿ – bestimmt.

Betrachtet man den Fall, dass x immer größer wird, so sagt man „x strebt gegen unendlich“. Man schreibt:

Entsprechend sagt man beim Betrachten immer kleinerer x-Werte: „x strebt gegen minus unendlich“ und schreibt:

Bei kleineren x-Werten können die übrigen Summanden einen („entscheidenden“) Einfluss auf den Kurvenverlauf nehmen, bevor die Potenzfunktionen gegen plus oder minus unendlich streben. So können sich zum Beispiel folgende Verläufe ergeben:

Symmetrie eines Graphen

Punktsymmetrie zum Urpsrung

Ein Funktionsgraph kann zum Ursprung des Koordinatensystems punktsymmetrisch sein. Neben der graphischen Überprüfung, lässt sich auch rechnerisch ermitteln, ob ein Graph punktsymmetrisch ist. Hierfür muss folgende Gleichung erfüllt sein:

Gegeben sei etwa folgende Funktion:

Aus folgender Rechnung ergibt sich, dass der Funktionsgraph punksymmetrisch ist:

Achsensymmetrie zur y-Achse

Will man dagegen überprüfen, ob ein Funktionsgraph zur y-Achse achsensymmetrisch ist, so ist folgende Gleichung heranzuziehen:

Es soll folgende Funktion untersucht werden:

Diese ist zur y-Achse achsensymmetrisch: