Inhaltsverzeichnis
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- Exponentielles Wachstum und Logarithmen
- Wachstums- und Zerfallsprozesse
- Linears Wachstum
- Exponentielles Wachstum
- Die Exponentialfunktion
- Die allgemeine Exponentialfunktion
- Erweiterung der Exponentialfunktion
- Logarithmen
- Allgemeines
- Rechenregeln für Logarithmen
- Lösen von Exponentialgleichungen
- Beide Seiten logarithmieren
- Beide Seiten als Potenz zur gleichen Basis schreiben
- Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen
- Substitution und quadratische Gleichung
Exponentielles Wachstum und Logarithmen
Wachstums- und Zerfallsprozesse
Viele Veränderungen in der Natur lassen sich als lineares oder exponentielles Wachstum beschreiben.
Linears Wachstum
Bei einem linearen Wachstum nimmt die betrachtete Größe konstant zu bzw. ab. Der Zuwachs bzw. die Abnahme werden mit $d = f(t+1) - f(t)$ oder mit dem Summanden a beschrieben.
$$ y = b + a \cdot x;\;\;a \neq 1 $$
Hierbei ist b der Ausgangspunkt der Betrachtung bei x = 0. Ist a < 0, spricht man von einer linearen Abnahme, bei a > 0 von einer linearen Zunahme. Der Graph zum Term ist eine Gerade.
Beispiel: Um Mitternacht hat ein Fluss einen Pegelstand von 3,50 m. Jede Stunde steigt dieser um 20 cm. Wenn x die vergangene Zeit in Stunden ist, sehen Term und Graph wie folgt aus:
Exponentielles Wachstum
Beim exponentiellen Wachstum erfolgt die Zunahme bzw. Abnahme dagegen mit einem konstanten Wachstumsfaktor q. Dieser ist definiert als:
$$ q = \frac{f(t+1)}{f(t)} $$
Unter Verwendung des Wachstumsfaktors q ergibt sich als Term:
$$ y = b \cdot a^x;\;\; a, b \in \mathbb{R}^+; a \neq 1 $$
Die Exponentialfunktion
Die allgemeine Exponentialfunktion
Eine Funktion der Form
$$ f(x) = a^x;\;a \in \mathbb{R}\backslash \left \{ 1 \right \} $$
wird als Exponentialfunktion bezeichnet. Hier steht die Variable x also nicht in der Basis, sondern ist der Exponent einer Potenz. Bei der dargestellten Formel handelt es sich um die sogenannte allgemeine Exponentialfunktion. Sie weist einige Charakteristika auf:
- Der Graph verläuft durch den Punkt (0/1).
- Ist a > 1, steigt der Graph mit zunehmendem x-Wert an; je größer a ist, desto steiler verläuft der Graph.
- Ist 0 < a < 1, fällt der Graph dagegen ab; hier gilt, dass der Graph umso steiler ist, je kleiner a ist.
- Die y-Achse bildet zu den Graphen der allgemeinen Exponentialfunktion und $g(x) = a^{-x}$ eine Symmetrieachse.
- Die allgemeine Exponentialfunktion nimmt nur positive Werte an: $W_f = \mathbb{R}^+$.
- Für die allgemeine Exponentialfunktion ist die x-Achse somit eine Asymptote.
Erweiterung der Exponentialfunktion
Die allgemeine Exponentialfunktion lässt sich auch modifizieren:
$$ f(x) = b \cdot a^x + c $$
Betrachtet man den Term ohne den Summanden c, so hat die Exponentialfunktion folgende Eigenschaften, die von denen der allgemeinen Exponentialfunktion abweichen:
- Der Graph verläuft durch den Punkt (0/b).
- Ist b < 0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt.
- Je größer b ist, desto steiler ist der Graph an einem bestimmten x-Wert.
Betrachtet man dagegen den Term zusammen mit dem Summanden c, so ergeben sich folgende abweichenden Eigenschaften:
- Der Graph verläuft durch den Punkt (0/a+c).
- Der Graph wird in y-Richtung um c verschoben.
- y = c ist die Asymptote.
Logarithmen
Allgemeines
Hat man eine Gleichung
$$ b^x = y;\; b \in \mathbb{R}^+ $$
so kann man x durch den Logarithmus ermitteln:
$$ x = \log_b\,y $$
Man sagt: „x ist gleich der Logarithmus von y zur Basis b“. Der Logarithmus ist also die Umkehrung der Potenz. Wird als Basis die Zahl 10 verwendet, wird häufig auch lediglich log x oder lg x geschrieben.
Folgende besondere Logarithmen sollte man verinnerlichen:
$$ \log_b b = 1\;\;\;;\;\;\; \log_b 1 = 0 $$
Rechenregeln für Logarithmen
Rechnet man mit Logarithmen, so sind folgende Regeln zu beachten:
$$ \begin{align*} \log_a \left( x \cdot y \right) & = \log_a x + \log_a y \\ \log_a \left( \frac{x}{y} \right ) & = \log_a x - \log_a y \\ \log_a \left( x^y \right ) & = y \cdot \log_a x \\\log_a b &= \frac{\log_c b}{\log_c a} \end{align*} $$
Lösen von Exponentialgleichungen
Bei Exponentialgleichungen steht die Variable mindestens einmal im Exponenten. Sie lassen sich auf verschiedenen Wegen lösen.
Beide Seiten logarithmieren
Zunächst kann man beide Seiten logarithmieren, um so die Potenz zu entfernen. Beispiel:
$$ \begin{align*} 3^x &= 4 \cdot 5^{x+1} \\ \log 3^x &= \log(4 \cdot 5^{x+1}) \\ x \cdot \log 3 &= \log 4 + (x+1) \cdot \log 5 \\ x \cdot \log 3 &= \log 4 + x \cdot \log 5 + \log 5 \\ x \cdot \log 3 - x \cdot \log 5 &= \log 4 + \log 5 \\ x \left( \log 3 - \log 5 \right ) &= \log 20 \\ x &= \log 20 : \left(\log 3 - \log 5 \right ) &\approx -5{,}86 \end{align*} $$
Beide Seiten als Potenz zur gleichen Basis schreiben
In einem solchen Fall kürzen sich die Potenzen weg. Beispiel:
$$ \begin{align*} 5^{2x-3} &= 25 \\ 5^{2x-3} &= 5^2 \\ 2x-3 &= 2 \\ x &= 2,5 \end{align*} $$
Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen
Hier werden die bekannten Regeln zum Rechnen mit Potenzen verwendet, um die Gleichung zu vereinfachen:
$$ \begin{align*} 2^{x+2} - 2^x &= 12 \\ 2^2 \cdot 2^x - 2^x &= 12 \\ 4 \cdot 2^x - 2^x &= 12 \\ 3 \cdot 2^x &= 12 \\ 2^x &= 4 \\ x &= 2 \end{align*} $$
Substitution und quadratische Gleichung
Hier wird zunächst ein Teil der Gleichung durch eine Variable ersetzt (Substitution). Anschließend können im Falle einer quadratischen Gleichung Lösungen gefunden werden. Deren Ergebnisse sind schließlich wieder zu resubstituieren.
\begin{array}{rcl} 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 &= 0 \\ (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 &= 0 &\mid \small{\text{Substitution: } 3^x = y} \\ y^2 - 4y + 3 &= 0 \\ y_{1/2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3}}{2} &\Rightarrow & y_1 = 1; y_2 = 3 \\ \small{\text{Resubstitution:}} & y_1{:} & 3^x = 1 \rightarrow x_1 = 0 \\ & y_2{:} & 3^x = 3 \rightarrow x_2 = 1 \end{array}