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Exponentielles Wachstum und Logarithmen

Wachstums- und Zerfallsprozesse

Viele Veränderungen in der Natur lassen sich als lineares oder exponentielles Wachstum beschreiben.

Linears Wachstum

Bei einem linearen Wachstum nimmt die betrachtete Größe konstant zu bzw. ab. Der Zuwachs bzw. die Abnahme werden mit $d = f(t+1) - f(t)$ oder mit dem Summanden a beschrieben.

$$ y = b + a \cdot x;\;\;a \neq 1 $$

Hierbei ist b der Ausgangspunkt der Betrachtung bei x = 0. Ist a < 0, spricht man von einer linearen Abnahme, bei a > 0 von einer linearen Zunahme. Der Graph zum Term ist eine Gerade.

Beispiel: Um Mitternacht hat ein Fluss einen Pegelstand von 3,50 m. Jede Stunde steigt dieser um 20 cm. Wenn x die vergangene Zeit in Stunden ist, sehen Term und Graph wie folgt aus:

Beispiel für ein lineares WachstumBeispiel für ein lineares Wachstum
Beispiel für ein lineares Wachstum

Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum erfolgt die Zunahme bzw. Abnahme dagegen mit einem konstanten Wachstumsfaktor q. Dieser ist definiert als:

$$ q = \frac{f(t+1)}{f(t)} $$

Unter Verwendung des Wachstumsfaktors q ergibt sich als Term:

$$ y = b \cdot a^x;\;\; a, b \in \mathbb{R}^+; a \neq 1 $$

Die Exponentialfunktion

Die allgemeine Exponentialfunktion

Beispiel des Verlaufs einer ExponentialfunktionBeispiel des Verlaufs einer Exponentialfunktion
Beispiel des Verlaufs einer Exponentialfunktion

Eine Funktion der Form

$$ f(x) = a^x;\;a \in \mathbb{R}\backslash \left \{ 1 \right \} $$

wird als Exponentialfunktion bezeichnet. Hier steht die Variable x also nicht in der Basis, sondern ist der Exponent einer Potenz. Bei der dargestellten Formel handelt es sich um die sogenannte allgemeine Exponentialfunktion. Sie weist einige Charakteristika auf:

Erweiterung der Exponentialfunktion

Beispiel des Verlaufs einer erweiterten ExponentialfunktionBeispiel des Verlaufs einer erweiterten Exponentialfunktion
Beispiel des Verlaufs einer erweiterten Exponentialfunktion

Die allgemeine Exponentialfunktion lässt sich auch modifizieren:

$$ f(x) = b \cdot a^x + c $$

Betrachtet man den Term ohne den Summanden c, so hat die Exponentialfunktion folgende Eigenschaften, die von denen der allgemeinen Exponentialfunktion abweichen:

Beispiel des Verlaufs einer erweiterten ExponentialfunktionBeispiel des Verlaufs einer erweiterten Exponentialfunktion
Beispiel des Verlaufs einer erweiterten Exponentialfunktion unter Beachtung des Summanden c

Betrachtet man dagegen den Term zusammen mit dem Summanden c, so ergeben sich folgende abweichenden Eigenschaften:

Logarithmen

Allgemeines

Hat man eine Gleichung

$$ b^x = y;\; b \in \mathbb{R}^+ $$

so kann man x durch den Logarithmus ermitteln:

$$ x = \log_b\,y $$

Man sagt: „x ist gleich der Logarithmus von y zur Basis b“. Der Logarithmus ist also die Umkehrung der Potenz. Wird als Basis die Zahl 10 verwendet, wird häufig auch lediglich log x oder lg x geschrieben.

Folgende besondere Logarithmen sollte man verinnerlichen:

$$ \log_b b = 1\;\;\;;\;\;\; \log_b 1 = 0 $$

Rechenregeln für Logarithmen

Rechnet man mit Logarithmen, so sind folgende Regeln zu beachten:

$$ \begin{align*} \log_a \left( x \cdot y \right) & = \log_a x + \log_a y \\ \log_a \left( \frac{x}{y} \right ) & = \log_a x - \log_a y \\ \log_a \left( x^y \right ) & = y \cdot \log_a x \\\log_a b &= \frac{\log_c b}{\log_c a} \end{align*} $$

Lösen von Exponentialgleichungen

Bei Exponentialgleichungen steht die Variable mindestens einmal im Exponenten. Sie lassen sich auf verschiedenen Wegen lösen.

Beide Seiten logarithmieren

Zunächst kann man beide Seiten logarithmieren, um so die Potenz zu entfernen. Beispiel:

$$ \begin{align*} 3^x &= 4 \cdot 5^{x+1} \\ \log 3^x &= \log(4 \cdot 5^{x+1}) \\ x \cdot \log 3 &= \log 4 + (x+1) \cdot \log 5 \\ x \cdot \log 3 &= \log 4 + x \cdot \log 5 + \log 5 \\ x \cdot \log 3 - x \cdot \log 5 &= \log 4 + \log 5 \\ x \left( \log 3 - \log 5 \right ) &= \log 20 \\ x &= \log 20 : \left(\log 3 - \log 5 \right ) &\approx -5{,}86 \end{align*} $$

Beide Seiten als Potenz zur gleichen Basis schreiben

In einem solchen Fall kürzen sich die Potenzen weg. Beispiel:

$$ \begin{align*} 5^{2x-3} &= 25 \\ 5^{2x-3} &= 5^2 \\ 2x-3 &= 2 \\ x &= 2,5 \end{align*} $$

Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen

Hier werden die bekannten Regeln zum Rechnen mit Potenzen verwendet, um die Gleichung zu vereinfachen:

$$ \begin{align*} 2^{x+2} - 2^x &= 12 \\ 2^2 \cdot 2^x - 2^x &= 12 \\ 4 \cdot 2^x - 2^x &= 12 \\ 3 \cdot 2^x &= 12 \\ 2^x &= 4 \\ x &= 2 \end{align*} $$

Substitution und quadratische Gleichung

Hier wird zunächst ein Teil der Gleichung durch eine Variable ersetzt (Substitution). Anschließend können im Falle einer quadratischen Gleichung Lösungen gefunden werden. Deren Ergebnisse sind schließlich wieder zu resubstituieren.

\begin{array}{rcl} 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 &= 0 \\ (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 &= 0 &\mid \small{\text{Substitution: } 3^x = y} \\ y^2 - 4y + 3 &= 0 \\ y_{1/2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3}}{2} &\Rightarrow & y_1 = 1; y_2 = 3 \\ \small{\text{Resubstitution:}} & y_1{:} & 3^x = 1 \rightarrow x_1 = 0 \\ & y_2{:} & 3^x = 3 \rightarrow x_2 = 1 \end{array}
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