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Terme und Gleichungen
Term und Zahl
Terme können außer Zahlen, Rechenzeichen und Klammern auch Variabeln beinhalten. Mit Variabeln kennzeichnet man, dass in einer Rechnung ein Bestandteil veränderlich ist. Man schreibt, wenn man $x$ als Variable verwenden will, z. B.:
$$ T(x) = 3x^2 $$
Ausgesprochen wird dies so: „T von x ist gleich drei mal das Quadrat von x.“
Die Zahlen, die in den Term für die Variable eingesetzt werden können, heißen zusammen Grundmenge $G$. Beim Einsetzen einer Zahl erhält man den Termwert. So hat der angesprochene Term bei $x = 2$ einen Termwert von:
$$ T(2) = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 $$
Umformen von Termen
Terme lassen sich umformen. Hierbei werden häufig die bereits bekannten Rechengesetze – Kommutativgesetz sowie das Assoziativgesetz verwendet.
Haben zwei Terme jeweils Variabeln und haben sie für jeden Wert der Variable den gleichen Termwert, werden sie als äquivalent bezeichnet.
Addieren und Subtrahieren
Hat ein Term mehrere gleichartige Termglieder („Variantenkombinationen“), so kann man diese Termglieder addieren oder subtrahieren, indem man ihre Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert:
$$ m \cdot x + n \cdot x = (m + n) \cdot x \\
m \cdot x - n \cdot x = (m - n) \cdot x$$
Beispiele:
$$ 5x + 7x = 12x \\
3x^2 - 2x^2 = 1x^2 = x^2 $$
Multiplizieren und Dividieren
Auch bei der Multiplikation können das Kommutativ- und Assoziativgesetz angewandt werden. Bei der Multiplikation und bei der Division wird der Koffezient mit einer Zahl multipliziert bzw. dividiert:
$$ m \cdot x \cdot n = (m \cdot n) \cdot x\\
m \cdot x : n = \frac{m}{n} \cdot x $$
Beispiele:
$$ 5x \cdot 3 = 5 \cdot 3 \cdot x = 15 \cdot x = 15x \\
12x : 3 = 12 : 3 \cdot x = 4 \cdot x = 4x $$
Haben beide Faktoren bzw. der Dividend und Divisor eine Variable, wird diese mit verrechnet:
$$ 5x \cdot 3x = 5 \cdot 3 \cdot x \cdot x = 15 \cdot x^2 = 15x^2\\
12x^2 : 4x = 12 : 4 \cdot x^2 : x = 3 \cdot x = 3x $$
Auflösen von Klammern
Bei Termen mit Klammern ist auf das Vorzeichen vor der Klammer zu achten. Handelt es sich um ein Plus, wird also der Klammerterm addiert, so können die Klammern einfach weggelassen werden:
$$ a + (b + c) = a + b + c $$
Steht vor der Klammer hingegen ein Minus, handelt es sich also um eine Subtraktion, werden die Vorzeichen innerhalb der Klammern beim Auflösen vertauscht: Jedes Minus wird zu einem Plus, jedes Plus wird zu einem Minus:
$$ a - (b + c -d) = a - b - c + d $$
Beispiele:
$$ 4x + (3x - 5x + 8x) = 4x + 3x - 5x + 8x = 10x \\
4x - (3x - 5x + 8x) = 4x - 3x + 5x - 8x = -2x $$
Multiplikation und Division von Summen und Differenzen
Eine Summe oder Differenz wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jedes Glied der Summe bzw. der Differenz mit dem Faktor multipliziert. Diese Produkte werden sodann addiert bzw. subtrahiert:
$$ (a + b) \cdot c = ac + bc \\
(a - b) \cdot c = ac - bc $$
Bei der Division wird entsprechend vorgegangen:
$$ (a + b) : c = a : c + b : c;\quad c \in \mathbb{Q}\backslash\{0\} \\
(a - b) : c = a : c - b : c;\quad c \in \mathbb{Q}\backslash\{0\} $$
Wird dagegen eine Summe oder Differenz mit einer anderen Summe oder Differnz multipliziert bzw. dividiert, so wird jedes Glied mit den anderen verrechnet. Dabei ist auf die Vorzeichen zu achten:
$$ (a + b) \cdot (c - d) = a \cdot c + a \cdot (-d) + b \cdot c + b \cdot (-d) = ac - ad + bc - bd \\
(a - b) : (c + d) = \frac{a}{c} + \frac{a}{d} + \frac{-b}{c} + \frac{-b}{d} = \frac{a}{c} + \frac{a}{d} - \frac{b}{c} - \frac{b}{d} $$
Beispiele:
$$ (3x + 5) \cdot (-3) = 3x \cdot (-3) + 5 \cdot (-3) = -9x - 15 \\
(6x - 9) : 3 = 6x : 3 - 9 : 3 = 2x - 3 $$
Gleichungen und Äquivalenzumformungen
Eine Gleichung erhält man, indem man zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen gleichsetzt, z. B.
$$ 3x + 5 = 7x - 2 $$
In der Gleichung kann man anstelle der Variable auch Zahlen einsetzen. Die Gesamtheit dieser Zahlen wird als Grundmenge $G$ bezeichnet. Ergibt das Einsetzen einer Zahl eine wahre Aussage, so ist diese Zahl eine oder die Lösung der Gleichung. Die Gesamtheit aller Lösung heißt Lösungsmenge $L$. Gibt es keine Lösung, ist sie eine leere Menge:
$$ L = \{\} $$
Eine Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen gelöst oder zumindest vereinfacht werden. Hierbei werden auf beiden Seiten die gleichen Rechenschritte vorgenommen, da sich dabei nicht die Lösungsmenge ändert. Es sind folgende Umformungen erlaubt:
- Auf beiden Seiten den gleichen Wert addieren bzw. subtrahieren.
- Auf beiden Seiten den Term mit der gleichen von null verschiedenen Zahl multiplizieren bzw. dividieren.
Nehmen wir die oben genannte Gleichung, so erhalten wir als Lösung:
$$ \begin{array}{rll}
3x + 5 & = & 7x - 2 & \mid -7x \\
3x - 7x + 5 & = & -2 \\
-4x + 5 & = & -2 & \mid -5 \\
-4x & = & -2 - 5 \\
-4x & = & -7 & \mid :(-4) \\
x & = & 1{,}75 & \Rightarrow L = \{1{,}75\}
\end{array} $$