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Achsen- und punktsymmetrische Figuren

Achsensymmetrische Figuren

Beispiel einer achsensymmetrischen FigurBeispiel einer achsensymmetrischen Figur
Beispiel einer achsensymmetrischen Figur

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie sich in zwei gleich große Teile zerlegen lässt, die durch Falten an der Symmetrieachse zur Deckung kommen.

Sie haben besondere Eigenschaften:

Konstruktion von Spiegelpunkt und Achse

Achsensymmetrische Figuren lassen sich aus ihren Hälften herstellen, indem man sie spiegelt. Werden dabei nur ein Zirkel und ein Lineal verwendet, ohne Abstände mit dem Lineal zu messen, spricht man von Konstruieren bzw. einer Konstruktion.

Konstruktion eines Spiegelpunkts mit einer Achse

Gegeben sind die Spiegelachse $a$ und der Punkt $P$. Gesucht ist der Spiegelpunkt $Q$.

In diesem Fall nimmt man zunächst einen beliebigen Punkt $A$ auf der Achse und zeichnet einen Kreis mit dem Radius $[AP]$ um ihn herum. Das gleiche macht man mit einem anderen Punkt $B$. Die beiden Kreise schneiden einander im Punkt $P$ und im Punkt $Q$.

Die Vorgehensweise kann etwa wie folgt aussehen:

Konstruktion des Spiegelpunkts an einer AchseKonstruktion des Spiegelpunkts an einer Achse

Konstruktion der Symmetrieachse zweier Punkte

Gegeben sind die zwei Punkte $P$ und $Q$. Gesucht wird die Symmetrieachse $a$ dieser beiden Punkte.

Zunächst zieht man um beide Punkte denselben Kreis, dessen Radius größer ist als die Hälfte der Strecke $[PQ]$. Die Gerade zwischen den beiden Schnittpunkten $S_1$ und $S_2$ ist die Spiegelachse. Da sie die Strecke $[PQ]$ rechtwinklig halbiert, wird die Symmetrieachse auch Mittelsenkrechte oder Mittellot genannt.

Konstruktion der Spiegelachse zweier PunkteKonstruktion der Spiegelachse zweier Punkte

Weitere Grundkonstruktionen

Folgende Konstruktionen werden regelmäßig benötigt. Sie werden daher als Grundkonstruktionen bezeichnet.

Errichten und Fällen eines Lotes

Möchte man von einem Punkt $P$, der auf der Geraden $g$ liegt ($P \in g$), aus ein Lot auf $g$ errichten, zeichnet man die Schnittpunkte eines Kreises (um $P$). Mithilfe dieser weiteren Punkte wird die Mittelsenkrechte konstruiert. Hierbei genügt es, nur eine Schnittstelle zu ermitteln:

Errichten eines LotesErrichten eines Lotes
Errichten eines Lotes

Liegt der Punkt $P$ nicht auf der Geraden $g$ ($P \notin g$), so fällt man das Lot, indem man von $P$ aus einen Kreis zeichnet, der zwei Schnittpunkte mit $g$ hat. Mithilfe dieser Schnittpunkte wird eine Mittelsenkrechte gebildet. Der Punkt, in dem sich die zwei Geraden schneiden, heißt Lotfußpunkt $F$.

Fällen eines LotesFällen eines Lotes
Fällen eines Lotes

Winkelhalbierende

Möchte man die Winkelhalbierende $w_\alpha$ eines Winkels $\alpha$ konstruieren, schneidet man zunächst den Schenkel und den Scheitel. Sodann konstruiert man von diesen Punkten aus die Mittelsenkrechte.

Konstruieren einer WinkelhalbierendenKonstruieren einer Winkelhalbierenden

Mittelparallele

Gegeben sind zwei parallele Geraden $g$ und $h$. Auf $g$ liegt der Punkt $P$ ($P \in g$). Gesucht ist die Mittelparallele $m$.

Hierfür fällt man zunächst von $P$ das Lot auf $h$. Dieses Lot schneidet $h$ im Punkt $F$. Danach konstruiert man die Mittelsenkrechte der Strecke $[PF]$.

Konstruktion einer MittelparalleleKonstruktion einer Mittelparallele

Punktsymmetrie

Allgemeines

Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch Halbdrehung, d.h. bei einer Drehung um 180° um das Symmetriezentrum (auch: Spiegelzentrum) $Z$, mit sich zur Deckung kommt:

Beispiel einer punktsymmetrischen FigurBeispiel einer punktsymmetrischen Figur

Bei einer Punktsymmetrie sind folgende Eigenschaften zu beobachten:

Konstruktionen bei punktsymmetrischen Figuren

Um einen punktsymmetrischen Punkt $P*$ des Punkts $P$ zu erhalten, zeichnet man als erstes die Gerade $PZ$. Der Spiegelpunkt liegt auf dieser Gerade. Sodann zeichnet man um $Z$ einen Kreis mit dem Radius der Strecke $[PZ]$:

Konstruktion des Spiegelpunkts am ZentrumKonstruktion des Spiegelpunkts am Zentrum
Konstruktion des Spiegelpunkts am Zentrum

Will man dagegen das Spiegelzentrum $Z$ zweier Punkte erhalten, muss man den Mittelpunkt der Strecke $[PP*]$ ermitteln. Denn $Z$ liegt auf dem Schnittpunkt der Strecke $[PP*]$ und der dazu gehörenden Mittelsenkrechte:

Konstruktion des SpiegelzentrumsKonstruktion des Spiegelzentrums
Konstruktion des Spiegelzentrums

Symmetrische Vierecke

Es gibt insgesamt sechs Vierecke, die eine Symmetrie aufweisen:

Quadrat

Symmetrieachsen beim QuadratSymmetrieachsen beim Quadrat

Raute

Symmetrieachsen bei der RauteSymmetrieachsen bei der Raute

Rechteck

Symmetrieachsen beim RechteckSymmetrieachsen beim Rechteck

Drachenviereck

Symmetrieachsen beim DrachenviereckSymmetrieachsen beim Drachenviereck

Gleichschenkliges Trapez

Symmetrieachsen beim gleichschenkligen TrapezSymmetrieachsen beim gleichschenkligen Trapez

Parallelogramm

Punktsymmetrie beiim ParallelogrammPunktsymmetrie beiim Parallelogramm
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