- Achsen- und punktsymmetrische Figuren
- Achsensymmetrische Figuren
- Konstruktion von Spiegelpunkt und Achse
- Konstruktion eines Spiegelpunkts mit einer Achse
- Konstruktion der Symmetrieachse zweier Punkte
- Weitere Grundkonstruktionen
- Errichten und Fällen eines Lotes
- Winkelhalbierende
- Mittelparallele
- Punktsymmetrie
- Allgemeines
- Konstruktionen bei punktsymmetrischen Figuren
- Symmetrische Vierecke
- Quadrat
- Raute
- Rechteck
- Drachenviereck
- Gleichschenkliges Trapez
- Parallelogramm
Achsen- und punktsymmetrische Figuren
Achsensymmetrische Figuren
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie sich in zwei gleich große Teile zerlegen lässt, die durch Falten an der Symmetrieachse zur Deckung kommen.
Sie haben besondere Eigenschaften:
- Die Strecke $[PQ]$ zwischen den symmetrischen Punkten $P$ und $Q$ wird von der Symmetrieachse senkrecht halbiert.
- Liegt ein Punkt auf der Symmetrieachse, so fällt er mit seinem Bildpunkt auf dem gleichen Punkt zusammen (Fixpunkt).
- Jeder Punkt auf der Symmetrieachse ist von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.
- Symmetrische Strecken sind gleich lang.
- Symmetrische Winkel sind gleich groß, wobei sich der Drehsinn ändert.
- Symmetrische Geraden sind parallel oder schneiden sich auf der Symmetrieachse.
- Symmetrische Kreise haben den gleichen Radius.
Konstruktion von Spiegelpunkt und Achse
Achsensymmetrische Figuren lassen sich aus ihren Hälften herstellen, indem man sie spiegelt. Werden dabei nur ein Zirkel und ein Lineal verwendet, ohne Abstände mit dem Lineal zu messen, spricht man von Konstruieren bzw. einer Konstruktion.
Konstruktion eines Spiegelpunkts mit einer Achse
Gegeben sind die Spiegelachse $a$ und der Punkt $P$. Gesucht ist der Spiegelpunkt $Q$.
In diesem Fall nimmt man zunächst einen beliebigen Punkt $A$ auf der Achse und zeichnet einen Kreis mit dem Radius $[AP]$ um ihn herum. Das gleiche macht man mit einem anderen Punkt $B$. Die beiden Kreise schneiden einander im Punkt $P$ und im Punkt $Q$.
Die Vorgehensweise kann etwa wie folgt aussehen:
Konstruktion der Symmetrieachse zweier Punkte
Gegeben sind die zwei Punkte $P$ und $Q$. Gesucht wird die Symmetrieachse $a$ dieser beiden Punkte.
Zunächst zieht man um beide Punkte denselben Kreis, dessen Radius größer ist als die Hälfte der Strecke $[PQ]$. Die Gerade zwischen den beiden Schnittpunkten $S_1$ und $S_2$ ist die Spiegelachse. Da sie die Strecke $[PQ]$ rechtwinklig halbiert, wird die Symmetrieachse auch Mittelsenkrechte oder Mittellot genannt.
Weitere Grundkonstruktionen
Folgende Konstruktionen werden regelmäßig benötigt. Sie werden daher als Grundkonstruktionen bezeichnet.
Errichten und Fällen eines Lotes
Möchte man von einem Punkt $P$, der auf der Geraden $g$ liegt ($P \in g$), aus ein Lot auf $g$ errichten, zeichnet man die Schnittpunkte eines Kreises (um $P$). Mithilfe dieser weiteren Punkte wird die Mittelsenkrechte konstruiert. Hierbei genügt es, nur eine Schnittstelle zu ermitteln:
Liegt der Punkt $P$ nicht auf der Geraden $g$ ($P \notin g$), so fällt man das Lot, indem man von $P$ aus einen Kreis zeichnet, der zwei Schnittpunkte mit $g$ hat. Mithilfe dieser Schnittpunkte wird eine Mittelsenkrechte gebildet. Der Punkt, in dem sich die zwei Geraden schneiden, heißt Lotfußpunkt $F$.
Winkelhalbierende
Möchte man die Winkelhalbierende $w_\alpha$ eines Winkels $\alpha$ konstruieren, schneidet man zunächst den Schenkel und den Scheitel. Sodann konstruiert man von diesen Punkten aus die Mittelsenkrechte.
Mittelparallele
Gegeben sind zwei parallele Geraden $g$ und $h$. Auf $g$ liegt der Punkt $P$ ($P \in g$). Gesucht ist die Mittelparallele $m$.
Hierfür fällt man zunächst von $P$ das Lot auf $h$. Dieses Lot schneidet $h$ im Punkt $F$. Danach konstruiert man die Mittelsenkrechte der Strecke $[PF]$.
Punktsymmetrie
Allgemeines
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch Halbdrehung, d.h. bei einer Drehung um 180° um das Symmetriezentrum (auch: Spiegelzentrum) $Z$, mit sich zur Deckung kommt:
Bei einer Punktsymmetrie sind folgende Eigenschaften zu beobachten:
- Strecken sind gleich lang.
- Winkel sind gleich groß und haben den gleichen Drehsinn.
- Geraden sind zueinander parallel; verläuft eine Gerade durch das Spiegelzentrum, ist sie mit sich selbst punktsymmetrisch.
Konstruktionen bei punktsymmetrischen Figuren
Um einen punktsymmetrischen Punkt $P*$ des Punkts $P$ zu erhalten, zeichnet man als erstes die Gerade $PZ$. Der Spiegelpunkt liegt auf dieser Gerade. Sodann zeichnet man um $Z$ einen Kreis mit dem Radius der Strecke $[PZ]$:
Will man dagegen das Spiegelzentrum $Z$ zweier Punkte erhalten, muss man den Mittelpunkt der Strecke $[PP*]$ ermitteln. Denn $Z$ liegt auf dem Schnittpunkt der Strecke $[PP*]$ und der dazu gehörenden Mittelsenkrechte:
Symmetrische Vierecke
Es gibt insgesamt sechs Vierecke, die eine Symmetrie aufweisen:
Quadrat
- Alle Winkel messen 90°
- Alle Seiten sind gleich lang
- Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich senkrecht
- Quadrate sind punktsymmetrisch
Raute
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
- Alle Seiten sind gleich lang.
- Diagonalen halbieren sich senkrecht.
- Rauten sind punktsymmetrisch.
Rechteck
- Alle Winkel messen 90°
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.
- Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich.
- Rechtecke sind punktsymmetrisch.
Drachenviereck
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
- (Achsen)Symmetrische Seiten sind gleich lang.
- Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
Gleichschenkliges Trapez
- Symmetrische Winkel sind gleich groß.
- Ein Paar von gleich langen Seiten.
- Diagonalen sind gleich lang.
Parallelogramm
- Gegenüberliegende Seiten und Winkel sind gleich groß.
- Diagonalen halbieren sich im Zentrum
- Parallelogramme sind punktsymmetrisch.