Inhaltsverzeichnis
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- Das Dreieck als Grundfigur
- Kongruente Figuren
- Kongruenzsätze für Dreiecke
- Besondere Dreiecke
- Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck
- Rechtwinkliges Dreieck und Thaleskreis
- Kreis und Gerade
- Tangente, Passante, Sekante
- Tangentenkonstruktionen
- Tangente durch B auf dem Kreis
- Tangente durch P an einen Kreis
- Konstruktionen an Drei- und Vierecken
- Mittelsenkrechte und Umkreis eines Dreiecks
- Höhen eines Dreiecks
- Winkelhalbierende eines Dreiecks
- Seitenhalbierende eines Dreiecks
Das Dreieck als Grundfigur
Kongruente Figuren
Unter kongruenten oder deckungsgleichen Figuren versteht man solche Figuren, die sich durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung vollständig zur Deckung bringen lassen. Sie stimmen also in ihrer Form und in ihrer Größe überein. Betrachtet man etwa die kongruenten Figuren $A$ und $B$, so schreibt man
$$ A \cong B $$
Kongruenzsätze für Dreiecke
Ein Dreieck kann durch drei geeignete Eigenschaften eindeutig festgelegt werden. Erfüllt ein anderes Dreieck ebenfalls diese Eigenschaften, ist es zum anderen Dreieck kongruent. Diese Eigenschaften werden als Kongruenzsätze des Dreiecks bezeichnet:
| Kongruenzsatz | Erläuterung | Darstellung |
| SSS-Satz | Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seitenlängen übereinstimmen. |   |
| SWS-Satz | Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und dem Zwischenwinkel übereinstimmen. |   |
| WSW-Satz | Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. |   |
| SSW-Satz | Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen |   |
Besondere Dreiecke
Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck
Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang; diese Seiten werden als Schenkel bezeichnet, die dritte Seite heißt Basis. Der Basis gegenüber liegt die Spitze. Die Winkel an der Basis heißen Basiswinkel und sind gleich groß. Das gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse, die die Basis rechtwinklig schneidet und durch die Spitze verläuft.
Eine Sonderform des gleichschenkligen Dreiecks ist das gleichseitige Dreieck. Bei diesem sind alle drei Seiten gleich lang und alle Winkel haben eine Größe von 60°. Daneben besitzt das gleichseitige Dreieck drei Symmetrieachsen, die durch jedes Eck verlaufen und die Seiten halbieren.
Rechtwinkliges Dreieck und Thaleskreis
Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen rechten Winkel. Die zwei Seiten, die an diesem rechten Winkel liegen, nennt man Kathete, die gegenüberliegende (längste) Seite ist die Hypotenuse:
Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Scheitel $C$ des rechten Winkels auf dem so genannten Thaleskreis. Das ist der Kreis, den man erhält, wenn man von der Strecke $[AB]$ den Mittelpunkt $M$ nimmt und um ihn den Kreis mit dem Radius $MA$ zieht. Häufig wird auch nur ein Halbkreis gezeichnet:
Kreis und Gerade
Tangente, Passante, Sekante
Eine Gerade kann in Bezug auf einen Kreis verschiedentlich im Raum liegen. Sie wird entsprechend auch unterschiedlich bezeichnet:
- Eine Tangente berührt einen Kreis lediglich in einem Punkt. Sie steht auf dem Berührungsradius senkrecht.
- Eine Sekante geht dagegen durch den Kreis hindurch. Sie „schneidet“ den Kreis also. Der Teil der Gerade, der innerhalb des Kreises liegt, wird als Sehne bezeichnet.
- Eine Passante läuft dagegen an einem Kreis vorbei, ohne ihn zu berühren oder zu schneiden.
Tangentenkonstruktionen
Tangente durch B auf dem Kreis
Will man die Tangente $t$ konstruieren und hat neben dem Kreismittelpunkt $M$ auch den Berührungspunkt $B$ gegeben, so errichtet man wie bereits bekannt das Lot:
Tangente durch P an einen Kreis
Ist dagegen ein außerhalb des Kreises liegender Punkt $P$ gegeben, muss man zunächst den Mittelpunkt der Strecke $[MP]$ finden. Um diesen wird dann ein Kreis mit dem Durchmesser $MP$ gezeichnet. Damit ergeben sich zwei Berührungspunkte ($B_1$ und $B_2$). Verbindet man diese mit dem Punkt $P$, ergeben sich die zwei Tangenten $t_1$ und $t_2$.
Ist der Punkt P gegeben, der außerhalb des Kreises liegt, muss man zunächst den Mittelpunkt der Strecke [MP] finden. Um diesen wird dann ein Kreis mit dem Durchmesser MP gezeichnet. Dort, wo sich die beiden Kreise schneiden, liegen zwei Berührpunkte, die - verbunden mit dem Punkt P - zwei Tangenten bilden.
Konstruktionen an Drei- und Vierecken
Mittelsenkrechte und Umkreis eines Dreiecks
In einem Dreieck schneiden sich alle Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt. Dieser Mittelpunkt $M$ muss dabei aber nicht zwingend im Dreieck selbst liegen. Der Mittelpunkt $M$ ist dabei wiederum der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. Hat das Dreieck die Ecken $A$, $B$ und $C$, hat der Umkreis den Radius $\overline{MA} = \overline{MB} = \overline{MC}$:
Höhen eines Dreiecks
Ein Dreieck $ABC$ hat die drei Höhen $h_a$, $h_b$ und $h_c$. Diese erhält man, indem man von den einzelnen Ecken auf die gegenüberliegende Seite oder deren Verlängerung ein Lot fällt und die Ecke mit diesem Schnittpunkt verbindet. Eine Höhe muss also nicht unbedingt im Dreieck selbst liegen. Die drei Höhen schneiden sich in einem Höhenschnittpunkt oder Orthozentrum $H$.
Winkelhalbierende eines Dreiecks
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Er hat zu den drei Seiten den gleichen Abstand und bildet daher den Mittpunkt des Inkreises des Dreiecks. Dieser Inkreis hat einen Radius $\rho$:
Seitenhalbierende eines Dreiecks
Die Seitenhalbierenden sind diejenigen Strecken, die eine Ecke des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbinden. Sie schneiden sich im so genannten Schwerpunkt $S$ in einem Verhältnis 2:1.
