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Rechnen mit rationalen Zahlen
Die Menge der rationalen Zahlen (Vertiefung)
Zu der Menge der rationalen Zahlen ℚ zählen all diejenigen Zahlen, die mithilfe eines Bruchs dargestellt werden können. Hierbei können der Zähler und der Nenner ganze Zahlen sein. Damit umfasst diese Menge auch alle ganzen und alle natürlichen Zahlen:
$$ \frac{a}{b} \:\in\: \mathbb{Q} \;;\;\; a \in \mathbb{Z},\: b \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$
Vergleich rationaler Zahlen
Um zwei rationale Zahlen miteinander vergleichen zu können, bietet es sich an, sie auf einer Zahlengeraden einzuzeichnen oder sie sich auf einer Zahlengerade vorzustellen. Ist der Bildpunkt weiter rechts, so ist auch die Zahl größer.
Hat man zwei Brüche und möchte sie miteinander vergleichen, sollte man versuchen, sie zunächst so zu kürzen oder zu erweitern, dass der Zähler oder der Nenner gleich sind. Von hier aus kann man zwei Regeln anwenden, um schnell die größere (oder kleinere) Zahl zu ermitteln (im folgenden werden nur positive Brüche betrachtet):
- Gleicher Nenner: Haben beide Brüche den gleichen Nenner, ist die Zahl größer, die den größeren Zähler hat.
- Gleicher Zähler: Ist dagegen der Zähler gleich, ist die Zahl mit dem kleineren Nenner größer.
Liegen die rationalen Zahlen als Dezimalzahlen vor, vergleicht man sie, indem man die Stelle sucht, an der sie sich unterscheiden. Die Zahl, deren jene Stelle größer ist, ist auch die größere Zahl.
Hat man zwei negative Brüche betrachtet man ihren Betrag. Je kleiner der Betrag ist (also je näher die Zahl an der Null ist), desto größer ist auch die rationale Zahl.
Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen
Addieren rationaler Zahlen
Die Addition rationaler Zahlen verläuft parallel zu der Addition ganzer Zahlen. Daraus folgen die nachfolgenden Regeln.
Haben beide Zahlen das gleiche Vorzeichen, addiert man die Beträge beider Zahlen und behält dabei das Vorzeichen bei. Bei verschiedenen Vorzeichen muss man den kleineren Betrag vom größeren Betrag subtrahieren; das Vorzeichen ist das der Zahl mit dem größeren Betrag.
Auch hier gelten das Kommutativ- und Assoziativgesetz. Es gilt also allgemein:
$$ a + b \:=\: b + a \\
(a + b) + c \:=\: a + (b + c) \;;\;\; a, b, c \in \mathbb{Q} $$
Subtrahieren rationaler Zahlen
Ebenfalls bei der Subtraktion kann man die Regeln der Subtraktion ganzer Zahlen heranziehen. Möchte man also eine Zahl abziehen, kann man stattdessen auch ihre Gegenzahl addieren.
Multiplikation und Division rationaler Zahlen
Multipliziert man zwei rationale Zahlen miteinander, bildet man zunächst das Produkt beider Beträge und bestimmt dann das Vorzeichen. Sind sie verschieden, erhält das Ergebnis ein negatives Vorzeichen; sind sie gleich, ist das Ergebnis positiv.
Auch hier gilt das Kommutativ- und Assoziativgesetz:
$$ \mathrm{a \cdot b \:=\: b \cdot a \\
(a \cdot b) \cdot c \:=\: a \cdot (b \cdot c) \;;\;\; a, b, c \in \mathbb{Q}} $$
Bei der Division zweier rationaler Zahlen geht man so vor wie bei der Division ganzer Zahlen: Zuerst dividert man die Beträge. Der Quotient erhält dann ein positives Vorzeichen, wenn der Dividend und der Divisor das gleiche Vorzeichen haben; ansonsten ist das Ergebnis negativ. Auch hier muss man sich an die Regel halten, nicht durch 0 zu teilen.