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Mathematik im Alltag
Grundlagen der Prozentrechnung
Grundbegriffe der Prozentrechnung: Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert
Bevor man sich mit der Prozentrechnung auseinandersetzen kann, muss man drei Grundbegriffe kennen:
- Der Grundwert ist das „Ganze“ und wird in der Regel mit 100 % angegeben.
- Mit dem Prozentsatz gibt man den Anteil des Grundwerts in Prozent an.
- Der Prozentwert zeigt an, wie groß der Prozentsatz als absolute Häufigkeit ist.
Berechnen des Prozentsatzes
Der Prozentsatz wird berechnet, indem man den Quotienten aus Prozentwert und Grundwert ermittelt. Die Prozentzahl erhält man durch Multiplizieren des Ergebnisses mit 100.
Beispiel: Von 80 Schülern einer Jahrgangsstufe kommen 30 Kinder zu Fuß zur Schule. Wie groß ist der Prozentsatz dieser Schüler?
$$ \frac{30}{80} \:=\: \frac{3}{8} \:=\: 0{,}375 \:=\: 37{,}5\,\% $$
Berechnen des Prozentwerts
Soll der Prozentwert ausgerechnet werden, kann man dies über den Dreisatz machen (dazu unten) oder man multipliziert den Grundwert mit dem Prozentsatz.
Beispiel: 31,25 % der 80 Schüler kommen täglich mit dem Fahrrad zur Schule. Wie viele sind dies in absoluten Zahlen?
$$ 31,25\,\% \cdot 80 \:=\: 0,3125 \cdot 80 \:=\: 25 $$
Berechnen des Grundwerts
Zur Berechnung des Grundwerts rechnet man mithilfe des Prozentwerts und des Prozentsatzes zunächst aus, wie viel 1 % des Grundwerts ist. Anschließend multipliziert man dieses Ergebnis mit 100.
Beispiel: 10 Schüler einer Jahrgangsschule fahren regelmäßig mit dem Bus in die Schule. Dies entspricht einem Prozentsatz von 12,5 %. Wie viele Schüler gibt es insgesamt in dieser Stufe?
$$ \begin{array}{rll}
12,5\,\% & \widehat{=} & 10 & \\
1\,\% & \widehat{=} & 0{,}8 & (10 : 12,5 = 0,8) \\
100\,\% & \widehat{=} & 80 & (0{,}8 \cdot 100 = 80)
\end{array} $$
Anstelle der 1 % kann man natürlich auch einen anderen Wert nehmen, von dem aus man einfach auf die 100 % rechnen kann (z.B. 20 %, 25 %).
Diagramme
Um Daten (also auch Prozentwerte) anschaulich darzustellen, kann man Diagramme verwenden. Dadurch ist es möglich, schnell wichtige Informationen zu erfahren, wobei auch Informationen bei der Veranschaulichung verloren gegangen sein können.
Beliebte und bereits bekannte Diagrammtypen sind Säulendiagramme, Kreisdiagramme sowie Streifendiagramme.
Über die Skalierung der Achsen kann man auch beim Betrachter bewusst versuchen, Einfluss auf die Meinung zu nehmen. So kann man bei der Skalierung der senkrechten Achse die Wertunterschiede sehr groß darstellen, indem man den Ursprung nicht bei Null ansetzt. Soll die waagrechte Achse eine zeitliche Dimension widerspiegeln, kann auch hier „gemogelt“ werden. Es ist also immer auf die Besonderheiten eines Diagramms Acht zu geben.
Dreisatz
Mithilfe des Dreisatzes lässt sich leicht und vor allem schnell ausrechnen (oder nur überschlagen), wie viel etwas kostet, dauert usw., wenn man drei Werte zur Verfügung hat und den vierten sucht. Dies ist eine Form, den Grundwert zu berechnen.
Beispiel: Man möchte in den Urlaub fahren und ist seit 2,5 Stunden unterwegs und hat dabei 150 km zurückgelegt. Es sind noch 50 km zu fahren. Wie lange dauert es noch bis zur Ankunft (bei gleichbleibender Durchschnittsgeschwindigkeit)?
Zunächst berechnet man, wie viele Kilometer bislang in einer Minute zurückgelegt worden sind. Innerhalb von 150 Minuten wurden 150 Kilometer gefahren, also beträgt der Wert 1 km/min. Multipliziert man nun diesen Wert mit den noch verbleibenden 50 Kilometern, kommt man auf die Zeit von 50 Minuten:
$$ \begin{array}{rl}
150\,\text{min} & \widehat{=} & 150\,\text{km} & \\
1\,\text{min} & \widehat{=} & 1\,\text{km}\\
50\,\text{min} & \widehat{=} & 50\,\text{km}
\end{array} $$
Diese Rechnung kann man auch „kompakt“ gestalten. Dabei wird „über Kreuz“ gerechnet:
$$ \begin{matrix}
150\,\text{min} & \widehat{=} & 150\,\text{km} & \\
& & & \Rightarrow x = \mathrm{\dfrac{150\,min \cdot 50\,km}{150\,km} = 50\,min}\\
x\,\text{min} & \widehat{=} & 50\,\text{km} &
\end{matrix} $$
