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Multiplikation und Division ganzer Zahlen
Multiplikation ganzer Zahlen
Möchte man zwei ganze Zahlen miteinander multiplizieren, muss man auf ihre Vorzeichen achten. Haben die beiden Faktoren das gleiche Vorzeichen, hat das Ergebnis ein positives Vorzeichen. Bei unterschiedlichen Vorzeichen, erhält man eine negative Zahl:
$$ (+5) \cdot (+7) = +35 \\
(-5) \cdot (+7) = -35 $$
Bei der Multiplikation ganzer Zahlen gelten ebenfalls das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz. Man kann also die Faktoren beliebig vertauschen und die Reihenfolge der Rechenvorgänge ändern. Allgemein gilt somit:
$$ \boldsymbol{a \cdot b = b \cdot a};\; a, b \in \mathbb{Z}; \\
\boldsymbol{(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)};\; a, b, c \in \mathbb{Z} $$
Neben den bereits bekannten besonderen Faktoren bei der Multiplikation natürlicher Zahlen ist auch der Faktor $-1$ zu beachten. Demnach sind folgende Faktoren besonders:
| 0: | Hier ist das Ergebnis immer 0: | 12 · 0 = 0 |
| 1: | Der Produktwert ist gleich dem anderen Faktor: | (– 12) · 1 = – 12 |
| –1: | Das Ergebnis ist die Gegenzahl des zweiten Faktors: | 12 · (– 1) = – 12 |
Dividieren ganzer Zahlen
Auch beim Dividieren gilt, dass das Ergebnis positiv ist, wenn die Vorzeichen von Dividend und Divisor gleich sind. Sind die Vorzeichen verschieden, ist der Quotientenwert negativ:
$$ (+ 48) : (+ 4) = + 12 \\
(- 48) : (+ 4) = - 12 $$
Bei Divisionen ganzer Zahlen ist ebenfalls unbedingt zu beachten: Durch 0 kann man nicht teilen. Daneben gibt es auch andere besondere Quotienten:
$$ \boldsymbol{a : 1 = a};\;\; a \in \mathbb{Z} \\
\boldsymbol{a : a = 1};\;\; a \in \mathbb{Z}\backslash\{0\} \\
\boldsymbol{0 : a = 0};\;\; a \in \mathbb{Z}\backslash\{0\} $$
Verbindung der Grundrechenarten bei ganzen Zahlen
Bei der Verbindung verschiedener Grundrechenarten bei ganzen Zahlen gilt das, was bereits von den natürlichen Zahlen bekannt ist, entsprechend. Demnach sind folgende Regeln zu beachten:
- Punktrechnungen gehen Strichrechnungen vor („Punkt vor Strich“).
- Potenzen werden vor Punktrechnungen ausgerechnet.
- Klammern sind stets als erstes zu bearbeiten.
Daneben gilt das Distributivgesetz bei allen ganzen Zahlen.