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Fläche und Flächenmessung
Fläche und Flächeninhalt
Alle Gegenstände haben eine (Ober-)Fläche, zum Beispiel Blätter, Fernseher, Lampen. Die Größe einer solchen Fläche bezeichnet man als Flächeninhalt. Ihn kann man messen, indem man kleinere Stücke verwendet, deren Flächeninhalt man bereits kennt.
Flächenmessung und Flächeneinheiten
Zur Angabe eines Flächeninhalts benutzt man häufig die Flächeninhalte bestimmter Quadrate. Die Einheit des Flächeninhalts bestimmt sich dabei nach der Längeneinheit der einzelnen Seiten.
| Seitenlänge des Quadrats | Flächeninhalt des Quadrats | Flächeninhalt in Worten |
| 1 km | 1 km2 | ein Quadratkilometer |
| 100 m | 1 ha | ein Hektar |
| 10 m | 1 a | ein Ar |
| 1 m | 1 m2 | ein Quadratmeter |
| 1 dm | 1 dm2 | ein Quadratdezimeter |
| 1 cm | 1 cm2 | ein Quadratzentimeter |
| 1 mm | 1 mm2 | ein Quadratmillimeter |
Zwischen den einzelnen Flächeneinheiten beträgt der Umrechnungsfaktor 100. Damit ergibt sich folgende Tabelle:
| km2 | ha | a | m2 | dm2 | cm2 | mm2 |
| 1 km2 = | 100 ha = | 10.000 a = | 1.000.000 m2 | |||
| 1 ha = | 100 a = | 10.000 m2 | ||||
| 1 a = | 100 m2 | |||||
| 1 m2 = | 100 dm2 = | 10.000 cm2 = | 1.000.000 mm2 | |||
| 1 dm2 = | 100 cm2 = | 10.000 mm2 | ||||
| 1 cm2 = | 100 mm2 |
Flächeninhalt des Rechtecks und des Quadrats
Bei einem Rechteck ist der Flächeninhalt A gleich dem Produktwert der Länge und der Breite. Vor der Berechnung müssen jedoch beide Werte in der gleichen Größe vorliegen. Die Flächeneinheit entspricht dann der Längeneinheit. Allgemein gilt daher:
$$ \boldsymbol{A_\text{Rechteck} = l \cdot b} $$
Da beim Quadrat alle Seiten gleich lang sind, ist der Flächeninhalt gleich dem Quadrat der Seitenlänge a:
$$ \boldsymbol{A_\text{Quadrat} = a \cdot a = a^2} $$
Hat beispielsweise ein Rechteck eine Länge von 5 cm und eine Breite von 2 dm, ergibt sich folgender Flächeninhalt: 5 cm · (2 dm) = 5 cm · (20 cm) = 100 cm2 = 1 dm2.
Der Flächeninhalt weiterer geometrischer Figuren
Neben dem Rechteck und Quadrat kann man natürlich auch den Flächeninhalt weiterer Figuren berechnen. Dabei kann man zum Beispiel so vorgehen, dass man sie in Rechtecke zerlegt oder zu Rechtecken ergänzt.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks
Zum Beispiel kann man ein Dreieck so ergänzen, dass es zum Rechteck wird. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann man das gut erkennen: Hier muss man einfach senkrecht auf die Linien g und h die ergänzenden Seiten zeichnen. Dadurch wird auch deutlich, dass der Flächeninhalt eines Dreicks die Hälfte eines Rechtecks beträgt:
$$ \boldsymbol{A_\text{Dreieck} = 0{,}5 \cdot g \cdot h} $$
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms
Beim Parallelogramm ist dies schon nicht mehr so einfach: Hier muss man ein Lot auf die Grundlinie g fällen. Das dadurch entstandene Dreieck kann man nun an die gegenüberliegende Seite schieben. Dadurch erhält man aber wiederum ein Rechteck. Damit ergibt sich auch der Flächeninhalt:
$$ \boldsymbol{A_\text{Parallelogramm} = g \cdot h} $$
Der Oberflächeninhalt von Körpern
Ein Körper hat mehrere Oberflächen. Diese besitzen alle einen Flächeninhalt. Die Summe davon wird als Oberflächeninhalt bezeichnet. Bei einem Quader besteht die Oberfläche aus insgesamt sechs Rechtecken. Bei einer gewissen Länge (l), Breite (b) und Höhe (h) ergibt sich damit:
$$ \boldsymbol{A_\text{Quader}} \:=\: 2 \cdot (l \cdot b) + 2 \cdot (l \cdot h) + 2 \cdot (b \cdot h)
\boldsymbol{\:=\: 2 \cdot (l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h)} $$
Beim Würfel wird es aufgrund der sechs gleichen Seiten einfacher:
$$ \boldsymbol{A_\text{Würfel} = 6 \cdot a^2} $$