Mathematik: 5. Klasse

Geometrische Grundbegriffe

Geometrische Körper und Figuren

Ein geometrischer Körper ist eine Figur, die man in der Hand halten kann und die man anhand ihrer Oberfläche beschreiben kann. Man kann unter anderem folgende Körper unterscheiden:

Quader	Würfel	Kugel	Kegel	Pyramide	Zylinder	Prisma

Dagegen haben geometrische Figuren nur Flächen, aber keinen Inhalt:

Rechteck	Quadrat	Raute	Drachen	Dreieck	Kreis	Sechseck	Trapez

Geraden und Strecken

Unter einer Strecke versteht man eine gerade Verbindungslinie zwischen zwei Punkten A und B. Diese Strecke [AB] hat eine Länge von $\overline{\mathrm{AB}}$. Die Punkte sind dabei auch der Anfangs- und Endpunkt.

Nimmt man die Verbindungslinie zwischen A und B, ohne dass die Punkte die Linie begrenzen, spricht man von einer Geraden. Man schreibt: AB.

Hat die Linie dagegen einen Anfangs- oder einen Endpunkt, ist sie eine Halbgerade oder Strahl. Sie wird [AB bzw. AB] genannt, wenn sie von A bzw. B begrenzt wird.

Senkrechte und parallele Geraden

Zwei Linien g und h – unabhängig ob Geraden, Strahlen oder Strecken –, zwischen denen ein Winkel von 90° besteht, stehen aufeinander senkrecht. Um dies zu kennzeichnen, verwendet man am Schnittpunkt beider Linien das Zeichen ⦝.

Man sagt auch, dass g ein Lot zu h oder dass g eine Senkrechte von h ist. Man schreibt: g ⊥ h bzw. h ⊥ g.

Zwei Geraden, die sich nie schneiden, sind parallel zueinander. Dies ist dann der Fall, wenn es eine dritte Gerade gibt, die senkrecht auf beiden Geraden steht. Man schreibt dann: g || h bzw. h || g. Die Strecke [AB] mit den Begrenzungen durch die Schnittpunkte der drei Geraden gibt zudem den Abstand der Geraden g und h an.

Den Abstand einer Geraden g von einem bestimmten Punkt B kann man ermitteln, indem man eine Senkrechte zur Geraden bildet, die durch den Punkt geht. Diese Strecke (in unserem Beispiel [AB]) ist die kürzeste Verbindung. Die Länge d ist dabei der Abstand.

Winkel und Winkelarten

Ein Winkel ist ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen begrenzt wird. Die Strahlen haben dabei als Ausgangspunkt einen gemeinsamen Anfangspunkt. Die Halbgeraden werden als Schenkel bezeichnet; den Anfangspunkt nennt man Scheitel.

Die Größe eines Winkels wird in ° (Grad) angegeben. Die Winkel an sich werden meist mit den kleinen griechischen Buchstaben (α, β, γ, δ, ...) beschrieben und gegen den Uhrzeigersinn ermittelt.

Man kann vier Winkelarten bestimmen:

Spitzer Winkel	Rechter Winkel	Stumpfer Winkel	Gestreckter Winkel

Dabei ist der spitze Winkel kleiner als 90°, der rechte Winkel genau 90°, der stumpfe Winkel größer als 90° sowie kleiner als 180° und der gestreckte Winkel genau 180° groß.

Das Koordinatensystem

Mithilfe eines Koordinatensystems kann man die Lage von Punkten beschreiben. Dazu werden zwei Zahlengeraden genommen, die senkrecht aufeinander stehen (Koordinatenachsen). Den Schnittpunkt bezeichnet man als Ursprung oder Nullpunkt. Die vier „Räume“ des Koordinatensystems sind die Quadranten; man nummeriert sie gegen den Uhrzeigersinn

Die waagrechte Achse ist die x-Achse, die senkrechte die y-Achse. Ein Punkt besitzt sowohl eine x-Koordinate (Abszisse) als auch eine y-Koordinate (Ordinate). Durch diese Koordinaten kann man jeden Punkt genau bestimmen. Man schreibt:

Achsensymmetrische Figuren

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie sich in zwei gleich große Teile zerlegen lässt, die durch Falten an der Symmetrieachse zur Deckung kommen. Durch die Achsensymmetrie ergeben sich Besonderheiten^{[1]Delta 5, S. 92}:

• Die Strecke zwischen zwei symmetrischen Punkten ist senkrecht zur Symmetrieachse.
• Die Symmetrieachse halbiert diese Strecke.
• Symmetrische Strecken sind gleich lang.
• Symmetrische Winkel sing gleich groß.
• Symmetrische Geraden schneiden entweder auf der Symmetrieachse oder sind parallel zueinander.
• Punkte auf der Symmetrieachse sind zu sich selbst symmetrisch.