Inhaltsverzeichnis
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Größen und ihre Einheiten
Länge, Masse, Zeit
Länge
Beim Messen von Abständen, also von Längen verwendet man Längeneinheiten. Dafür benutzt man als Grundlage die Längeneinheit Meter (m). Davon ausgehend sind weitere Einheiten definiert (z.B. Kilometer (km), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)).
Die Angabe erfolgt, indem man eine Maßzahl mit einer Maßeinheit zusammenstellt. Zum Beispiel kann man sagen, dass zwei Gegenstände 2 m 50 cm voneinander entfernt liegen. Die Längeneinheiten kann man aber auch ineinander umrechnen. Dabei muss man den Umrechnungsfaktor beachten. Es gilt:
$$ \mathrm{1\,km \:=\: 1.000\,m \\
1\,m \:=\: 10\,dm \:=\: 100\,cm \:=\: 1.000\,mm} $$
Zur einfacheren Darstellung, kann man auch Einheitentafeln verwenden. Dabei werden die Werte so eingetragen, dass man sehen kann, wie groß sie in einer anderen Einheit wären. Dadurch lässt sich auch leichter die Kommaschreibweise ermitteln:
| Länge | km | m | dm | cm | mm | Kommaschreibweise | ||
| 5 km 837 m 2 cm | 5 | 8 | 3 | 7 | 0 | 2 | 5,83702 km = 5.837,02 m = 583.702 cm | |
| 18 m 9 dm 3 cm 1 mm | 1 | 8 | 9 | 3 | 1 | 18,931 m = 189,31 dm = 1.893, 1 cm = 18.931 mm | ||
| 9 km 2 dm 8 mm | 9 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 8 | 9,000208 km = 90.002,08 dm = 9.000.208 mm |
Masse
Unter Masse versteht man, wie schwer ein Gegenstand unabhängig seines Orts ist (dagegen ist das Gewicht ortsabhängig). Als Maßeinheiten verwendet man Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg). Bei der Umrechnung gelten folgende Faktoren:
1 t = 1.000 kg
1 kg = 1000 g
1 g = 1.000 mg
In der Einheitentafel sieht das wie folgt aus:
| Masse | t | kg | g | mg | Kommaschreibweise | ||||||
| 1 t 50 kg 287 g | 1 | 0 | 5 | 0 | 2 | 8 | 7 | 1,050287 t = 1.050,287 kg = 1.050.287 g | |||
| 375 kg 21 g 500 mg | 3 | 7 | 5 | 0 | 2 | 1 | 5 | 0 | 0 | 375,021500 kg = 375.021,5 g = 375.021.500 mg | |
| 18 g 902 mg | 1 | 8 | 9 | 0 | 2 | 18,902 g = 18.902 mg | |||||
Zeit
Für Zeitangaben kann man eine Reihe verschiedener Einheiten verwenden: Jahr (a), Monat, Woche, Tag (d), Stunde (h), Minute (min), Sekunde (s). Umrechnungsfaktoren sind dabei:
1 Woche = 7 d
1 d = 24 h
1 h = 60 min
1 min = 60 s
Addieren und Subtrahieren von Größen
Möchte man beim Addieren (und Subtrahieren) keine Kommaschreibweise verwenden, wandelt man als erstes alle Einheiten so um, dass keine Kommata vorhanden sind. Diese Werte kann man dann wie gewohnt miteinander verrechnen. Zur besseren Übersicht kann es vorteilhaft sein, das Ergebnis auch wieder umzuwandeln.
Zu beachten ist: Man kann nur gleichartige Größen miteinander addieren und subtrahieren. Man kann also nicht eine Längenangabe mit einer Zeitangabe auf diese Weise verrechnen. Beispiel:
2,308 km + 28 m – 5 dm = 23.080 dm + 280 dm – 5 dm = 23.355 dm = 2.335,5 m = 2,3355 km
Bei der Addition und Subtraktion in Kommaschreibweise kann man die gleicher Größe der Werte diese Werte auch in eine Einheitentafel einsetzen und verrechnen. Dabei muss aber darauf geachtet werden, dass das Komma an der gleichen Stelle ist.
Beispiel: Man möchte 38,06 € mit 18,97 € addieren:
| 3 | 8 | , | 0 | 6 | € | |
| + | 1 | 8 | , | 9 | 7 | € |
| 5 | 7 | , | 0 | 3 | € |
Multiplizieren von Größen mit natürlichen Zahlen
Beim Multiplizieren von Größen mit natürlichen Zahlen geht man nach folgendem Muster vor: Zunächst wandelt man die Größe so um, dass man ebenfalls eine natürliche Zahl erhält. Diese kann man nun mit der anderen Zahl multiplizieren. Das Ergebnis wandelt man anschließend wieder um:
2,38 € · 5 = 238 ct · 5 = 1190 ct = 11,90 €
Ist die natürliche Zahl eine Stufenzahl kann man es sich auch einfacher machen: In diesem Fall verschiebt man einfach das Komma der Größe um die Anzahl der Nullen des Faktors:
2,05 m · 100 = 205 m
Umfang und Umfangslänge
Das Prinzip der Multiplikation von Größen mit natürlichen Zahlen kann man unter anderem auch Verwenden um den Umfang von Figuren zu berechnen. Der Umfang wird dabei von den Linien der Figur gebildet. Die Länge dieses Umfangs U hat ist wiederum die Umfangslänge.
Bei einem Rechteck könnte man natürlich alle vier Seiten ausmessen und diese Werte addieren. Man kann aber auch ausnutzen, dass immer zwei Seiten gleich lang sind:
$$ \boldsymbol{U_\text{Rechteck}} = a + b + a + b = a + a + b + b \boldsymbol{= 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b)} $$
Bei einem Quadrat ist es sogar noch einfacher: Hier ist jede Seite gleich lang. Damit ist der Umfang eines Quadrats:
$$ \boldsymbol{U_\text{Quadrat} = 4 \cdot a} $$
Dividieren von Größen durch natürliche Zahlen
Beim Dividieren von Größen durch eine natürliche Zahl wandelt man zunächst die Größe als erstes so um, dass man eine natürliche Zahl hat. Diese beiden Zahlen kann man nun wie gewohnt teilen. Das Ergebnis wandelt man anschließend wieder in die alte Größe um:
12,60 € : 20 = 1260 ct : 15 = 84 ct = 0,84 €
Ist der Divisor eine Zehnerstufenzahl kann man sich das Dividieren auch einfacher machen: In diesem Fall braucht man nur das Komma der Größe um so viele Stellen nach links zu verschieben, wie die natürliche Zahl Nullen hat:
1236 m : 100 = 12,36 m
Der Maßstab
Die Division und Multiplikation ist bei Maßstäben besonders wichtig. Mit ihnen kann man große Sachen (z.B. Gebäude, Landschaften, Städte) verkleinert darstellen lassen. Es ist aber auch möglich, kleine Dinge größer anzeigen zu lassen.
Der Maßstab wird dabei mit einem Verhältnis angegeben:
| Maßstab | Größe auf der Karte | Rechnung | Größe in Wirklichkeit |
| 1 : 1.000.000 | 2 cm | 1.000.000 · 2 cm = 2.000.000 cm = 20.000 m = 20 km | 20 km |
| 20 : 1 | 4 cm | 4 cm : 20 = 40 mm : 20 = 2 mm | 2 mm |
Man kann natürlich die Rechnung auch umdrehen und so auch den Maßstab ermitteln:
| Größe auf der Abbildung | Größe in Wirklichkeit | Rechnung | Maßstab |
| 5 cm | 50 km | 50 km : (5 cm) = 5.000.000 cm : (5 cm) = 1.000.000 | 1 : 1.000.000 |
| 9 cm | 3 mm | 9 cm : (3 mm) = 90 mm : (3mm) = 30 | 30 : 1 |