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Mathematik: 5. Klasse | Die natürlichen Zahlen

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Die natürlichen Zahlen

Einführung in die natürlichen Zahlen

Die Zahlen 1, 2, 3, 4, ... 1234, ... nennt man natürliche Zahlen. Um sie zusammenzufassen, kann man die Mengenschreibweise verwenden. Dabei wird eine Menge in geschweifte Klammern geschrieben:

ℕ = {1; 2; 3; 4; ... } (man kann auch N schreiben)

Diese Menge wird als Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet. Um auszudrücken, dass eine bestimmte Zahl zur Menge ℕ gehört, sagt man, dass sie „ein Element der Menge ℕ ist“. Geschrieben heißt das:

3 ∈ ℕ

Möchte man dagegen sagen „0 ist kein Element der Menge ℕ“, schreibt man:

0 ∉ ℕ

Erweitert man die Menge so, dass auch die 0 dazugehört erhält man die Menge ℕ0 = {0; 1; 2; 3; 4; ... }.

Jede natürliche Zahl hat eine um eins größere Zahl eine um eins kleinere Zahl (außer der 1 selbst!). Diese Zahlen werden als Nachfolger bzw. Vorgänger bezeichnet. Zur Verdeutlichung kann auch ein Zahlenstrahl verwendet werden:

Zahlenstrahl mit den natürlichen Zahlen von 0 bis 8

Man sieht, dass zum Beispiel die 2 weiter links steht als die 7; sie ist kleiner (2 < 7) bzw. ist die 7 größer als die 2 (7 > 2). Der Zahlenstrahl verdeutlicht auch, dass es zwar ein kleinstes Element der natürlichen Zahlen gibt (die 1) aber kein größtes, da man auf dem Zahlenstrahl immer weiter nach rechts gehen kann.

Natürliche Zahlen mit besonderen Eigenschaften

Die natürlichen Zahlen können in unterschiedliche Gruppen eingeteilt werden, die besondere Eigenschaften haben. Dabei kann eine Zahl auch in mehreren Gruppen vorkommen.

Gerade natürliche Zahlen

Unter geraden (natürlichen) Zahlen versteht man diejenigen Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind. Anders ausgedrückt: Sie sind durch zwei teilbar. In der Mengenschreibweise dargestellt ergibt sich:

{2; 4; 6; 8; 10; 12; ...; 1024; ...}

Ungerade natürliche Zahlen

Darauf aufbauend gibt es die sogenannten ungeraden natürlichen Zahlen. Man erhält sie, wenn man von einer geraden Zahl den Wert 1 abzieht:

{1; 3; 5; 7; 9; 11; ...; 1023; ...}

Primzahlen

Auch gibt es die Primzahlen. Eine Primzahl hat nur zwei Teiler: Die Zahl 1 und sich selbst. Die Zahl 1 ist daher keine Primzahl; sie hat nur sich selbst als Teiler. Mengenschreibweise:

{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ...; 1009; ...}

Quadratzahlen

Quadratzahlen sind spezielle Vielfachen. Sie sind das Ergebnis, wenn man eine natürliche Zahl mit sich selbst mal nimmt:

{1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; ...}

Weitere Gruppen

Daneben gibt es auch weitere Gruppen. Wie bereits angedeutet gibt es zum Beispiel auch Vielfache und Teiler. Sie sind das Ergebnis, das man beim Mal-nehmen mit anderen natürlichen Zahlen erhält, bzw. die Zahlen, durch die man eine bestimmte Zahl teilen kann:

T36 = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

Dezimalsystem

Wir benutzen in unserem Alltag die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Reiht man sie aneinander, erhält man eine neue Zahl. Den Wert der Ziffer bestimmt dabei die Stelle; man spricht daher auch vom Stellenwertsystem.

Es gibt zehn Ziffern. Die 10 spielt daher eine besonders wichtige Rolle beim Rechnen. Man spricht vom Dezimalsystem (oder: Zehnersystem, von lat. decem = zehn). Durch Zusammenfassen von 10 Einheiten kommt man auf eine neue Stufe. Im Zehnersystem sind daher die Zahlen 1, 10, 100, 1000, ... sogenannte Stufenzahlen:

1eins
10zehn
100hundert
1.000tausend
10.000zehntausend
100.000hunderttausend
1.000.000eine Million
1.000.000.000eine Milliarden
1.000.000.000.000eine Billion
1.000.000.000.000.000eine Billiarde
1.000.000.000.000.000.000eine Trillion
1.000.000.000.000.000.000.000eine Trilliarde
1.000.000.000.000.000.000.000.000eine Quadrillion
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000eine Quadrilliarde

Schätzen und Runden

Beim Schätzen gibt man eine Zahl an, von der man glaubt, dass sie in der Nähe einer bestimmten Zahl oder Größe ist, zum Beispiel:„In dem Glas sind ungefähr 23 Murmeln. Ich glaube, wir haben so um die 20 Grad“.

Dagegen kennt man beim Runden die Zahl, die man beschreiben möchte. Man wandelt sie aber ab, um so eine handlichere Vorstellung einer Größe zu bekommen. Man rundet eine Zahl, indem man die Stelle betrachtet, die hinter der zu rundenden Stelle steht. Bei den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 rundet man ab; 5, 6, 7, 8, 9 rundet man auf.

Möchte man die Zahl 13.580.429 zum Beispiel auf die Tausender-Stelle runden, betrachtet man die 4. Nach der Regel wird also abgerundet. Man erhält dadurch den Wert 13.580.000. Mathematisch schreibt man: 13.580.429 ≈ 13.580.000.

Natürliche Zahlen in Tabellen und Diagrammen

Um Zahlen besser und (vor allem) übersichtlicher dazustellen, kann man Tabellen und Diagramme verwenden. Häufig muss man überlegen, wie sehr man die Zahlen übersichtlicher darstellen möchte, da es vorkommen kann, dass dadurch gewisse Details nicht mehr vorhanden sind.

Möchte man zum Beispiel nachschauen, wie viele Besucher an einem Tag auf einer Webseite waren, kann man die Daten in eine Tabelle übertragen:

Wochentag Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag Sonntag
Besucher 408 471 413 411 215 235 428

Diese Werte kann man nun in Diagrammen darstellen, zum Beispiel in einem Säulendiagramm. Die Höhe einer Säule stellt dabei den Zahlenwert dar:

Beispiel eines Säulendiagramms
Beispiel eines Säulendiagramms

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