header.png
Schulstoff.org
Navigation ein-/ausblenden
Navigation ein-/ausblenden
Schulstoff.org

Mathematik: 6. Klasse

Inhaltsverzeichnis [Anzeigen] [Verbergen]

Bruchteile und Bruchzahlen

Brüche

Teilt man einen Gegenstand in gleich große Teile, bekommt man zwei Halbe, drei Drittel, vier Viertel, fünf Fünftel usw. Zur Angabe solcher Werte kann man Brüche bzw. die Bruchschreibweise verwenden:

Beispiele für Brüche

Hierbei steht unter dem Bruchstrich der sogenannte Nenner. Er gibt an, in wie viele Teile man ein Ganzes zerlegt hat. Der Zähler steht oberhalb des Bruchstrichs und zeigt, wie oft solche Teile gegeben sind.

Ein Bruch lässt sich auch als Division darstellen. Dabei ist der Zähler der Dividend und der Nenner der Divisor. Daraus folgt, dass im Nenner niemals eine 0 stehen darf! Im Zähler kann dagegen jede beliebige Zahl stehen.

Stammbrüche, echte Brüche, unechte Brüche, Scheinbrüche, gemischte Zahlen

Je nachdem, welche Zahlen im Zähler und Nenner stehen, kann man Brüche in verschiedene Gruppen einteilen. Ist der Nenner zum Beispiel eine natürliche Zahl und der Zähler eine „1“, spricht man von einem Stammbruch:

Beispiele für Stammbrüche

Als weitere „Gruppe“ von Brüchen gibt es die echten Brüche. Hier ist der Zähler kleiner als der Nenner:

Beispiele für echte Brüche

Ist der Zähler dagegen so groß wie der Nenner oder größer, spricht man von einem unechten Bruch:

Beispiele für unechte Brüche

Bei Scheinbrüchen hat der Bruch den Wert 0 oder den Wert einer natürlichen Zahl. Der Zähler hat also den Wert oder ist ein Vielfaches des Nenners:

Beispiele für Scheinbrüche

Liegt ein unechter Bruch vor, kann man ihn auch als gemischte Zahl angeben. Sie setzt sich aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch zusammen. Die natürliche Zahl gibt dabei an, wie oft ein Ganzes gegeben ist:

Beispiele für gemischte Zahlen

Teile von Größen

Berechnung des Teils einer Größe

Hat man als gegebene Werte das Ganze (z.B. 24 €) und einen bestimmten Anteil (z.B. zwei Drittel), kann man hieraus den Teil berechnen. Hierzu dividert man die Größe durch den Nenner und multipliziert anschließend diesen Wert mit dem Zähler:

Beispiel zur Berechnung des Teils einer Größe

Berechnung des Anteils

Möchte man stattdessen von einem Ganzen und einem Teil auf den Anteil schließen, dividiert man den Teil durch das Ganze. Mit den Werten des gerade verwendeten Beispiels ergibt sich damit:

Beispiel zur Berechnung des Anteils

Berechnung des Ganzen

Ist der Anteil und der Teil gegeben, teilt man zunächst den Teil durch den Zähler. Diesen Wert multipliziert man danach mit dem Nenner:

Beispiel zur Berechnung des Ganzen

Erweitern und Kürzen von Brüchen

Erweitern von Brüchen

Einen Bruch kann man erweitern, indem man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit einer natürlichen Zahl k multipliziert. Der Wert des Bruchs ändert sich hierdurch aber nicht. Allgemein ausgedrückt:

Allgemeine Formel für das Erweitern eines Bruchs

Kürzen von Brüchen

Ebenso kann man einen Bruch kürzen, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche natürliche Zahl k teilt. Diese Zahl muss aber ein gemeinsamer Teiler vom Zähler und Nenner sein. Der Wert des Bruchs bleibt auch hier unverändert:

Allgemeine Formel für das Kürzen eines Bruchs

Der Bruch kann nicht mehr gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind. Sie haben (bis auf die 1) dann keine gemeinsamen Teiler mehr. Diese Form nennt man auch Grundform.

Angabe von Anteilen in Prozent; Kreisdiagramm

Haben Anteile im Nenner eine 100 stehen oder kann man den Bruch so erweitern, dass dort eine 100 steht, ist es möglich, den Bruch als eine Prozentzahl anzugeben. Hierzu nimmt man den Zähler als natürliche Zahl:

Angabe eines Anteils in Prozent

Häufig gibt man Anteile auch in einem Kreisdiagramm an. Der Mittelpunktswinkel des entsprechenden Kreissektors ermittelt man so wie den Teil eines Ganzen. Das Ganze sind dabei 360°. Zum einfacheren Rechnen bietet es sich unter Umständen an, den Bruch zuvor zu kürzen.

Beispiel: In einer Klasse sind 30 Kinder. Davon spielen sechs Kinder Fußball. Wie groß ist der Winkel des Kreissektors der Fußball-spielenden Kinder?

Beispiel eines Anteils im Kreisdiagramm

Die Menge ℚ der rationalen Zahlen

Wie bei natürlichen und ganzen Zahlen kann man auch Brüche auf der Zahlengerade anordnen. Brüche in ihrer Grundform nennt man auch Bruchzahlen. In der Menge der Bruchzahlen kann man alle natürlichen Zahlen durch andere natürliche Zahlen dividieren.

Fasst man alle positiven und negativen Bruchzahlen sowie die 0 zu einer Menge zusammen, erhält man die Menge ℚ der rationalen Zahlen. Sie umfassen auch die ganzen Zahlen (und damit selbstverständlich auch die natürlichen Zahlen).

Dezimalzahlen

Einführung

Zahlen mit einem Komma nennt man Dezimalzahlen. Die Stellen vor dem Komma sind dabei die schon bekannten Einer, Zehner, Hunderter usw. Hinter dem Komma stehen die Dezimalen, die die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel usw. darstellen.

Dezimalzahlen kann man auch übersichtlich in einer Stellenwerttafel darstellen:

Zahl T H Z E , z h t
12,34 1 2 , 3 4
859,174 8 5 9 , 1 7 4
1.005,501 1 0 0 5 , 5 0 1

Endnullen hinter dem Komma verändern zudem den Wert der Zahl nicht. Man kann also Endnullen anhängen oder auch weglassen. Dies entspricht dem Erweitern bzw. Kürzen mit einer Zehnerstufenzahl.

Zwei Dezimalzahlen lassen sich auch miteinander vergleichen. Dabei ist diejenige größer, die auf der Zahlengeraden weiter rechts steht. Beim Vergleich geht man stellenweise von links nach rechts vor.

Umwandeln von Dezimalzahlen und Brüchen ineinander

Umwandeln von Dezimalzahlen in Brüchen

Dezimalzahlen lassen sich auch als Brüche darstellen. Dazu schreibt man die Dezimalzahl als natürliche Zahl (also ohne Komma) in den Zähler und nimmt für den Nenner die Zehnerstufenzahl, die so viele Nullen hat wie Dezimale vorhanden sind:

Beispiel Dezimalzahl als Bruch

Umwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen

Ist der Nenner eine Zehnerstufenzahl oder sind in ihm nach dem Kürzen keine anderen Primfaktoren als die 2 und 5 vorhanden, kann man auch Brüche in Dezimalzahlen umwandeln. Durch den Zähler erhält man die Ziffern der Dezimalzahl; die Anzahl der Nullen des Nenners geben an, wie viele Dezimalstellen die Zahl hat:

Beispiel Bruch als Dezimalzahl

Runden von Dezimalzahlen

Dezimalzahlen kann man ebenso wie natürliche Zahlen runden. Möchte man auf eine bestimmte Dezimale runden, muss man also die dahinter stehende Zahl betrachtet. Hat diese den Wert 0, 1, 2, 3 oder 4, muss man abrunden; bei 5, 6, 7, 8 und 9 wird demnach aufgerundet. Zu beachten ist dabei, dass eine durch Rundung auftrendende Endnull nicht weggelassen werden darf.

Beispiel des Rundens einer Dezimalzahl

Zufallsexperimente und relative Häufigkeit

Zufallsexperimente

Unter Zufallsexperimenten versteht man solche Vorgänge, die beliebig wiederholbar und deren Ergebnis nicht vorhersehbar sind. Das Ergebnis ist also zufällig. Ein einfaches Beispiel für ein Zufallsexperiment ist das Werfen einer Münze; im Voraus kann man hier nicht wissen, ob Kopf oder Zahl geworfen wird.

Relative Häufigkeit

Wiederholt man ein Experiment eine bestimmte Anzahl n (z.B. 50 mal), heißt die Anzahl eines Ergebnisses absolute Häufigkeit. Liegt beim Münzwerfen 32 mal die Zahl oben, sagt man k = 32. Daraus kann man die sogenannte relative Häufigkeit ableiten: Sie ist der Quotient von k und n, also der Divisionswert der Ergebnisanzahl und der Wiederholungsanzahl.

Definition der relativen Häufigkeit

In unserem Beispiel beträgt die relative Häufigkeit damit 0,64 oder auch 64 %.

Wird das Experiment nun sehr häufig wiederholt, merkt man, dass sich die relative Häufigkeit kaum noch verändert. Dieses Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit um einen Wert mit zunehmender Anzahl an Wiederholungen stabilisiert.

Man kann selbstverständlich nicht nur bei Zufallsexperimenten eine relative Häufigkeit angeben. Vielmehr sind Anteile meist Angaben einer relativen Häufigkeit.

Rechnen mit nichtnegativen rationalen Zahlen

Addition und Subtraktion nichtnegativer rationaler Zahlen

Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche

Brüche, die den gleichen Nenner haben, werden gleichnamige Brüche genannt. Man addiert und subtrahiert sie, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner wird dabei nicht verändert. Beispiele:

Beispiele für die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche

Allgemein lässt sich damit sagen:

Allgemeine Regel für die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche

Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche

Liegen zwei ungleichnamige Brüche vor – haben die Brüche also zwei verschiedene Nenner – muss man vor dem Addieren und Subtrahieren die Brüche so erweitern oder kürzen, dass beide Brüche gleichnamig sind. Hierzu kann man von beiden Nennern ein Vielfaches nehmen. Zum einfachen Rechnen bietet sich aber besonders das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) an; dies ist auch der sogenannte Hauptnenner.

Beispiel für das Addieren:

Beispiel für die Addition ungleichnamiger Brüche

Beispiel für das Subtrahieren:

Beispiel für die Subtraktion ungleichnamiger Brüche

Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen

Dezimalzahlen lassen sich ebenso wie Größen addieren und subtrahieren. Man kann also die Zahlen nebeneinander oder untereinander schreiben und verrechnen.

Beim Schreiben nebeneinander sollten die Zahlen gleich viele Dezimalstellen haben; unter Umständen sollte man also eine Zahl mit Endnullen auffüllen. Beim Verwenden der schriftlichen Addition untereinander ist darauf zu achten, dass sich die Kommata an gleicher Stelle befinden:

Subtraktion
Z E z h
4
1 5 , 2 1
3 , 8 1
1 1 , 4 0

Multiplikation und Division nichtnegativer rationaler Zahlen

Multiplikationsrechnungen bei Brüchen

Einen Bruch kann man mit einer natürlichen Zahl multiplizieren, indem man den Zähler mit der natürlichen Zahl multipliziert. Der Nenner bleibt dabei unverändert. Anschließend sollte soweit wie möglich der Bruch gekürzt werden. Allgemein lässt sich damit sagen:

Multiplikation eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl

Möchte man dagegen zwei Brüche miteinander multiplizieren, multipliziert man jeweils die Zähler und die Nenner miteinander. Um das Rechnen einfacher zu gestalten, bietet es sich an, die Zahlen vor der Multiplikation zu kürzen. Allgemein ausgedrückt:

Multiplikation eines Bruchs mit einem anderen Bruch

Divisionsrechnungen bei Brüchen

Beim Dividieren eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl wird der Nenner multipliziert. Der Zähler bleibt also unverändert:

Regel Division eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl

Soll dagegen ein Bruch durch einen anderen Bruch dividiert werden, multipliziert man den Dividenden mit dem Kehrbruch des Divisors:

Regel Division zweier Brüche

Multiplikation mit Dezimalzahlen

Dezimalzahlen lassen sich mit einer natürlichen Zahl multiplizieren, indem man zunächst die Zahlen ohne Rücksicht auf das Komma mal nimmt. Das Produkt erhält dann so viele Dezimalstellen wie die Dezimalzahl:

Beispiel Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl

Sollen zwei Dezimalzahlen miteinander multipliziert werden, geht man auf ähnliche Weise vor: Zunächst werden die zwei Zahlen ohne Rücksicht auf ihre Kommata miteinander multipliziert (also so als ob sie natürliche Zahlen wären). Das Zwischenergebnis erhält dann so viele Dezimalstellen wie die Faktoren zusammen haben:

Beispiel für die Multiplikation zweier Dezimalzahlen

Division bei Dezimalzahlen

Beim Dividieren durch eine natürliche Zahl geht man zunächst vor, wie beim Dividieren zweier natürlicher Zahlen. Anschließend wird beim Zwischenergebnis an der Stelle ein Komma gesetzt, an der man das Komma des Dividenden überschritten hat.

Ist der Divisor auch eine Dezimalzahl, erweitert man zunächst beide Zahlen so, dass der Divisor eine natürliche Zahl ist. Von dort aus kann man wieder so wie gerade beschrieben vorgehen:

Beispiel für die Division zweier Dezimalzahlen

Abbrechende und periodische Dezimalzahlen

Bei der Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl können zwei Fälle auftreten: Die Dezimalzahl kann entweder abbrechend (endlich) oder periodisch sein.

Eine Zahl ist abbrechend (oder endlich), wenn der Nenner des gekürzten Bruchs nur durch 2 oder 5 teilbar ist. In diesem Fall hat die Dezimalzahl eine bestimmte Anzahl an Dezimalstellen.

Dagegen tritt eine periodische Zahl auf, wenn der Nenner andere Teiler als 2 oder 5 im gekürzten Bruch hat. In diesem Fall wiederholt sich eine bestimmte Zahl oder Zahlenfolge. Fängt die Periode gleich nach dem Komma an, spricht man von einer reinperiodischen, andernfalls von einer gemischtperiodischen Dezimalzahl. Die Periode wird mit einem waagrechten Strich verdeutlicht:

Beispiel für periodische Zahlen

Man spricht periodische Zahlen so aus: „Null Komma Periode Eins Vier Zwei Acht Fünf Sieben“.

Anwendbarkeit des Assoziativ-, Kommutativ-, Distributivgesetz

Beim Addieren der Brüche kann man auch das anwenden.

Auch bei der Addition von Dezimalzahlen lassen sich das Kommutativ- und Assoziativgesetz anwenden, um einzelne Rechenschritte einfacher zu gestalten.

So wie bei den ganzen Zahlen gilt auch bei der Addition sowie der Multiplikation aller nichtnegativer rationaler Zahlen das Assoziativ- und Kommutativgesetz. Man kann also die Reihenfolge der Rechenoperationen vertauschen. Ebenfalls kann man das Distributivgesetz anwenden.

Flächen- und Rauminhalt

Flächeninhalt geradlinig begrenzter Figuren

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel eines Parallelogramms
Beispiel eines Parallelogramms

Das Parallelogramm wurde bereits in der 5. Klasse kurz angesprochen. Es soll hier aber nochmal ausführlicher behandelt werden.

Das Parallelogramm gehört zu den Vierecken. Es besitzt vier (gerade) Seiten, von denen jeweils zwei parallel und gleich lang sind (in dem hier gezeigten die Seiten a und c sowie b und d). Zum Rechteck unterscheidet sich ein Parallelogramm dadurch, dass die Winkel zwischen den Seiten nicht 90° betragen müssen.

Parallelogramm mit Grundlinie und den Höhen
Parallelogramm mit Grundlinie und Höhen

Zur Ermittlung des Flächeninhalts kann man jede beliebige Seite als Grundlinie g nehmen. Die entsprechende Höhe h ist dann der Abstand der Grundlinie zur parallel verlaufenden Seite. Gegebenenfalls muss man daher die Grundlinie (und die gegenüberliegende Seite) verlängern, um die Höhe ermitteln zu können.

Wie bereits bekannt ist, kann man durch Zerlegen das Parallelogramm zu einem Rechteck umformen. Damit kann auch den Flächenhinhalt leicht ermitteln: Er ist gleich dem Flächeninhalt eines Rechtsecks, das die gleiche Grundlinie und die gleiche Höhe hat. Damit ergibt sich folgende Formel:

Formel des Parallelogramm-Flächeninhalts

Flächeninhalt eines Dreiecks

Dreieck mit den Höhen
Dreieck mit den Höhen

Ein Dreieck hat drei Seiten. Auch hier kann man jede Seite als Grundlinie g nehmen. Die entsprechende Höhe h erhält man, indem man ein Lot von der Grundlinie auf die gegenüberliegende Seite fällt. Dadurch muss man unter Umständen einzelne Seiten „verlängern“.

Dreht man eine Kopie des Dreiecks und legt diese an dieses an, erhält man ein Parallelogramm. Die Grundlinie und Höhe sind dabei diejenigen, die auch bereits beim Dreieck gemessen wurden. Da wir zwei Dreiecke verwenden, muss ein einzelnes Dreieck also die Hälfte des Flächeninhaltts des gebildeten Parallelogramms haben. Damit erhält man folgende Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:

Formel des Dreieck-Flächeninhalts

Flächeninhalt eines Trapezes

Trapez mit der Höhe
Trapez mit der Höhe

Ein Trapez ist ein Viereck und hat vier Seiten. Hiervon sind mindestens zwei Seiten zueinander parallel. Diese Seiten werden als Grundlinien bezeichnet. Die Höhe des Trapezes ist der Abstand der Parallelseiten.

Den Flächeninhalt kann man auf folgende Art und Weise ermitteln: Man nimmt ein zweites gleiches Trapez und legt es so an das erste, dass ein Parallelogramm gebildet wird. Die Grundlinie ist also nun die Summe aus den Parallelseiten; die Höhe bleibt dabei unverändert. Auch hier ist aber der Flächeninhalt eines einzelnen Trapezes die Hälfte des Parallelogramms. Die Formel lautet also:

Formel des Trapez-Flächeninhalts

Körper und Volumen

Oberflächeninhalt eines Prismas

Beispiel eines Prismas
Beispiel eines Prismas

Unter Prisma versteht man einen Körper, dessen Grundfläche ein Vieleck ist. Hierzu parallel verschoben liegt ein deckungsgleiches Vieleck. Ist die Verschiebung senkrecht zur Grundfläche vorgenommen – sind die Seitenflächen also Rechtecke – spricht man von einem geraden Prisma.

Bei dem hier gezeigten Prisma ist die Grundfläche ein Trapez. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Möchte man nun den Oberflächeninhalt des Prismas ermitteln, muss man den Flächeninhalt aller Seiten addieren. Zur einfacheren Vorstellung kann man auch ein Netz verwenden; hierzu werden die Seiten „flach“ ausgebreitet. Hier würde das Netz also so ausschauen:

Der Oberflächeninhalt besteht hier also aus der Summe der Flächeninhalte der zweifachen Grundfläche und vier verschieden großen Rechtecken.

Schrägbilder und Körperansichten

Schrägbilder
Schrägbild eines Würfels
Schrägbild eines Würfels

Mit einem Schrägbild kann man die räumliche Ausdehnung eines Körpers darstellen. Die Fläche, die zu einem zeigt wird hierbei unverändert gezeigt. Parallele Linien hierzu werden auch nicht geändert. Linien, die senkrecht dazu stehen („nach hinten gehen“), sind schräg (diagonal) und verkürzt dargestellt. Nicht sichtbare Kanten macht man mithilfe von gestrichelten Linien kenntlich.

In dem nebenstehenden Würfel soll die Kantenlänge 8 cm betragen. Die vordere Seite wird also normal gezeichnet (8 cm auf 8 cm). Um die (hier) rechte und obere Seite korrekt zu zeigen, kürzt man die Seitenlängen auf die Hälfte; deren Kanten sind also nur noch 4 cm lang. Mithilfe der gestrichelten Linien sieht man auch das untere, linke und obere Quadrat.

Körperansichten

Anstelle eines Schrägbildes ist es auch möglich verschiedene Körperansichten zu verwenden. Hierbei wird angezeigt, wie ein Körper ausschaut, wenn man aus einer bestimmten Richtung auf diesen blickt.

Unterschieden wird zwischen Grund-, Auf- und Seitenriss. Der Grundriss zeigt, wie der Körper von oben aussieht. Durch den Aufriss weiß man, welche Form der Körper von vorne besitzt und beim Seitenriss blickt man von rechts oder links auf das Objekt.

Zu beachten ist aber, dass die verschiedenen Perspektiven nicht immer einen eindeutigen Schluss zu lassen, wie der Körper aussieht. So kann man keinen Unterschied feststellen, wenn man zum Beispiel von oben auf eine Kugel und einen Kegel blickt.

Volumen und Volumenangabe

Ein Körper nimmt durch seine Größe einen bestimmten Raum ein. Diesen Rauminhalt bezeichnet man als dessen Volumen. Die Maßeinheit für Volumen sind Kubikmeter (m3) und davon abgeleitet u.a. Kubikdezimeter (dm3), Kubikzentimeter (cm3), Kubikmillimeter (mm3).

Bei Flüssigkeiten werden auch Liter (l), Milliliter (ml), Hektoliter (hl, sind 100 l) verwendet. Bei beiden Volumenangaben ist die Umrechnungszahl jeweils 1000. Man benötigt also 1000 Kubikzentimeter um 1 Kubikdezimeter (1 Liter) zu erhalten

Volumen von Quadern

Ein Quader hat eine gewissen Länge l, Breite b und Höhe h. Um das Quadervolumen auszurechnen, rechnet man zunächst den Flächeninhalt einer Tiefe aus und multipliziert anschließend diesen Wert mit der Tiefe des Quaders. Das Quadervolumen ist also das Produkt aus Länge, Breite und Höhe:

Formel des Quadervolumens

Der Würfel als Spezialfall des Quaders hat zwar auch eine Länge, Breite und Höhe. Hier sind jedoch die Werte gleich; ein Würfel hat nur die Kantenlänge a. Damit lässt sich das Volumen über eine vereinfachte Formel ausrechnen. Das Volumen ist die Kubikzahl der Kantenlänge:

Formel des Würfelvolumens

Rechnen mit rationalen Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen (Vertiefung)

Zu der Menge der rationalen Zahlen ℚ zählen all diejenigen Zahlen, die mithilfe eines Bruchs dargestellt werden können. Hierbei können der Zähler und der Nenner ganze Zahlen sein. Damit umfasst diese Menge auch alle ganzen und alle natürlichen Zahlen:

Menge der rationalen Zahlen

Vergleich rationaler Zahlen

Um zwei rationale Zahlen miteinander vergleichen zu können, bietet es sich an, sie auf einer Zahlengeraden einzuzeichnen oder sie sich auf einer Zahlengerade vorzustellen. Ist der Bildpunkt weiter rechts, so ist auch die Zahl größer.

Hat man zwei Brüche und möchte sie miteinander vergleichen, sollte man versuchen, sie zunächst so zu kürzen oder zu erweitern, dass der Zähler oder der Nenner gleich sind. Von hier aus kann man zwei Regeln anwenden, um schnell die größere (oder kleinere) Zahl zu ermitteln (im folgenden werden nur positive Brüche betrachtet):

Liegen die rationalen Zahlen als Dezimalzahlen vor, vergleicht man sie, indem man die Stelle sucht, an der sie sich unterscheiden. Die Zahl, deren jene Stelle größer ist, ist auch die größere Zahl.

Hat man zwei negative Brüche betrachtet man ihren Betrag. Je kleiner der Betrag ist (also je näher die Zahl an der Null ist), desto größer ist auch die rationale Zahl.

Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen

Addieren rationaler Zahlen

Die Addition rationaler Zahlen verläuft parallel zu der Addition ganzer Zahlen. Daraus folgen die nachfolgenden Regeln.

Haben beide Zahlen das gleiche Vorzeichen, addiert man die Beträge beider Zahlen und behält dabei das Vorzeichen bei. Bei verschiedenen Vorzeichen muss man den kleineren Betrag vom größeren Betrag subtrahieren; das Vorzeichen ist das der Zahl mit dem größeren Betrag.

Auch hier gelten das Kommutativ- und Assoziativgesetz. Es gilt also allgemein:

Das Assoziativ- und Kommutativgesetz bei der Addition rationaler Zahlen

Subtrahieren rationaler Zahlen

Ebenfalls bei der Subtraktion kann man die Regeln der Subtraktion ganzer Zahlen heranziehen. Möchte man also eine Zahl abziehen, kann man stattdessen auch ihre Gegenzahl addieren.

Multiplikation und Division rationaler Zahlen

Multipliziert man zwei rationale Zahlen miteinander, bildet man zunächst das Produkt beider Beträge und bestimmt dann das Vorzeichen. Sind sie verschieden, erhält das Ergebnis ein negatives Vorzeichen; sind sie gleich, ist das Ergebnis positiv.

Auch hier gilt das Kommutativ- und Assoziativgesetz:

Das Assoziativ- und Kommutativgesetz bei der Multiplikation rationaler Zahlen

Bei der Division zweier rationaler Zahlen geht man so vor wie bei der Division ganzer Zahlen: Zuerst dividert man die Beträge. Der Quotient erhält dann ein positives Vorzeichen, wenn der Dividend und der Divisor das gleiche Vorzeichen haben; ansonsten ist das Ergebnis negativ. Auch hier muss man sich an die Regel halten, nicht durch 0 zu teilen.

Mathematik im Alltag

Grundlagen der Prozentrechnung

Grundbegriffe der Prozentrechnung: Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert

Bevor man sich mit der Prozentrechnung auseinandersetzen kann, muss man drei Grundbegriffe kennen:

Berechnen des Prozentsatzes

Der Prozentsatz wird berechnet, indem man den Quotienten aus Prozentwert und Grundwert ermittelt. Die Prozentzahl erhält man durch Multiplizieren des Ergebnisses mit 100.

Beispiel: Von 80 Schülern einer Jahrgangsstufe kommen 30 Kinder zu Fuß zur Schule. Wie groß ist der Prozentsatz dieser Schüler?

Beispiel zur Berechnung des Prozentsatzes

Berechnen des Prozentwerts

Soll der Prozentwert ausgerechnet werden, kann man dies über den Dreisatz machen (dazu unten) oder man multipliziert den Grundwert mit dem Prozentsatz.

Beispiel: 31,25 % der 80 Schüler kommen täglich mit dem Fahrrad zur Schule. Wie viele sind dies in absoluten Zahlen?

Beispiel zur Berechnung des Prozentwerts

Berechnen des Grundwerts

Zur Berechnung des Grundwerts rechnet man mithilfe des Prozentwerts und des Prozentsatzes zunächst aus, wie viel 1 % des Grundwerts ist. Anschließend multipliziert man dieses Ergebnis mit 100.

Beispiel: 10 Schüler einer Jahrgangsschule fahren regelmäßig mit dem Bus in die Schule. Dies entspricht einem Prozentsatz von 12,5 %. Wie viele Schüler gibt es insgesamt in dieser Stufe?

Beispiel zur Berechnung des Grundwerts

Anstelle der 1 % kann man natürlich auch einen anderen Wert nehmen, von dem aus man einfach auf die 100 % rechnen kann (z.B. 20 %, 25 %).

Diagramme

Um Daten (also auch Prozentwerte) anschaulich darzustellen, kann man Diagramme verwenden. Dadurch ist es möglich, schnell wichtige Informationen zu erfahren, wobei auch Informationen bei der Veranschaulichung verloren gegangen sein können.

Beliebte und bereits bekannte Diagrammtypen sind Säulendiagramme, Kreisdiagramme sowie Streifendiagramme.

Über die Skalierung der Achsen kann man auch beim Betrachter bewusst versuchen, Einfluss auf die Meinung zu nehmen. So kann man bei der Skalierung der senkrechten Achse die Wertunterschiede sehr groß darstellen, indem man den Ursprung nicht bei Null ansetzt. Soll die waagrechte Achse eine zeitliche Dimension widerspiegeln, kann auch hier „gemogelt“ werden. Es ist also immer auf die Besonderheiten eines Diagramms Acht zu geben.

Dreisatz

Mithilfe des Dreisatzes lässt sich leicht und vor allem schnell ausrechnen (oder nur überschlagen), wie viel etwas kostet, dauert usw., wenn man drei Werte zur Verfügung hat und den vierten sucht. Dies ist eine Form, den Grundwert zu berechnen.

Beispiel: Man möchte in den Urlaub fahren und ist seit 2,5 Stunden unterwegs und hat dabei 150 km zurückgelegt. Es sind noch 50 km zu fahren. Wie lange dauert es noch bis zur Ankunft (bei gleichbleibender Durchschnittsgeschwindigkeit)?

Zunächst berechnet man, wie viele Kilometer bislang in einer Minute zurückgelegt worden sind. Innerhalb von 150 Minuten wurden 150 Kilometer gefahren, also beträgt der Wert 1 km/min. Multipliziert man nun diesen Wert mit den noch verbleibenden 50 Kilometern, kommt man auf die Zeit von 50 Minuten:

Beispiel für einen Dreisatz

Diese Rechnung kann man auch „kompakt“ gestalten. Dabei wird „über Kreuz“ gerechnet:

Beispiel für einen Dreisatz


Literatur

  1. delta 6, Mathematik für Gymnasien, C.C. Buchners Verlag, 1. Aufl. 2009, 978-3-7661-8256-5
  2. Fokus Mathematik 6, Gymnasium Bayern, Cornelsen, 1. Aufl. 2004, 978-3-464-54016-9

Überschriften

Werbung

Werbung