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Mathematik: 5. Klasse

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Die natürlichen Zahlen

Einführung in die natürlichen Zahlen

Die Zahlen 1, 2, 3, 4, ... 1234, ... nennt man natürliche Zahlen. Um sie zusammenzufassen, kann man die Mengenschreibweise verwenden. Dabei wird eine Menge in geschweifte Klammern geschrieben:

ℕ = {1; 2; 3; 4; ... } (man kann auch N schreiben)

Diese Menge wird als Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet. Um auszudrücken, dass eine bestimmte Zahl zur Menge ℕ gehört, sagt man, dass sie „ein Element der Menge ℕ ist“. Geschrieben heißt das:

3 ∈ ℕ

Möchte man dagegen sagen „0 ist kein Element der Menge ℕ“, schreibt man:

0 ∉ ℕ

Erweitert man die Menge so, dass auch die 0 dazugehört erhält man die Menge ℕ0 = {0; 1; 2; 3; 4; ... }.

Jede natürliche Zahl hat eine um eins größere Zahl eine um eins kleinere Zahl (außer der 1 selbst!). Diese Zahlen werden als Nachfolger bzw. Vorgänger bezeichnet. Zur Verdeutlichung kann auch ein Zahlenstrahl verwendet werden:

Zahlenstrahl mit den natürlichen Zahlen von 0 bis 8

Man sieht, dass zum Beispiel die 2 weiter links steht als die 7; sie ist kleiner (2 < 7) bzw. ist die 7 größer als die 2 (7 > 2). Der Zahlenstrahl verdeutlicht auch, dass es zwar ein kleinstes Element der natürlichen Zahlen gibt (die 1) aber kein größtes, da man auf dem Zahlenstrahl immer weiter nach rechts gehen kann.

Natürliche Zahlen mit besonderen Eigenschaften

Die natürlichen Zahlen können in unterschiedliche Gruppen eingeteilt werden, die besondere Eigenschaften haben. Dabei kann eine Zahl auch in mehreren Gruppen vorkommen.

Gerade natürliche Zahlen

Unter geraden (natürlichen) Zahlen versteht man diejenigen Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind. Anders ausgedrückt: Sie sind durch zwei teilbar. In der Mengenschreibweise dargestellt ergibt sich:

{2; 4; 6; 8; 10; 12; ...; 1024; ...}

Ungerade natürliche Zahlen

Darauf aufbauend gibt es die sogenannten ungeraden natürlichen Zahlen. Man erhält sie, wenn man von einer geraden Zahl den Wert 1 abzieht:

{1; 3; 5; 7; 9; 11; ...; 1023; ...}

Primzahlen

Auch gibt es die Primzahlen. Eine Primzahl hat nur zwei Teiler: Die Zahl 1 und sich selbst. Die Zahl 1 ist daher keine Primzahl; sie hat nur sich selbst als Teiler. Mengenschreibweise:

{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ...; 1009; ...}

Quadratzahlen

Quadratzahlen sind spezielle Vielfachen. Sie sind das Ergebnis, wenn man eine natürliche Zahl mit sich selbst mal nimmt:

{1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; ...}

Weitere Gruppen

Daneben gibt es auch weitere Gruppen. Wie bereits angedeutet gibt es zum Beispiel auch Vielfache und Teiler. Sie sind das Ergebnis, das man beim Mal-nehmen mit anderen natürlichen Zahlen erhält, bzw. die Zahlen, durch die man eine bestimmte Zahl teilen kann:

T36 = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

Dezimalsystem

Wir benutzen in unserem Alltag die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Reiht man sie aneinander, erhält man eine neue Zahl. Den Wert der Ziffer bestimmt dabei die Stelle; man spricht daher auch vom Stellenwertsystem.

Es gibt zehn Ziffern. Die 10 spielt daher eine besonders wichtige Rolle beim Rechnen. Man spricht vom Dezimalsystem (oder: Zehnersystem, von lat. decem = zehn). Durch Zusammenfassen von 10 Einheiten kommt man auf eine neue Stufe. Im Zehnersystem sind daher die Zahlen 1, 10, 100, 1000, ... sogenannte Stufenzahlen:

1eins
10zehn
100hundert
1.000tausend
10.000zehntausend
100.000hunderttausend
1.000.000eine Million
1.000.000.000eine Milliarden
1.000.000.000.000eine Billion
1.000.000.000.000.000eine Billiarde
1.000.000.000.000.000.000eine Trillion
1.000.000.000.000.000.000.000eine Trilliarde
1.000.000.000.000.000.000.000.000eine Quadrillion
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000eine Quadrilliarde

Schätzen und Runden

Beim Schätzen gibt man eine Zahl an, von der man glaubt, dass sie in der Nähe einer bestimmten Zahl oder Größe ist, zum Beispiel:„In dem Glas sind ungefähr 23 Murmeln. Ich glaube, wir haben so um die 20 Grad“.

Dagegen kennt man beim Runden die Zahl, die man beschreiben möchte. Man wandelt sie aber ab, um so eine handlichere Vorstellung einer Größe zu bekommen. Man rundet eine Zahl, indem man die Stelle betrachtet, die hinter der zu rundenden Stelle steht. Bei den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 rundet man ab; 5, 6, 7, 8, 9 rundet man auf.

Möchte man die Zahl 13.580.429 zum Beispiel auf die Tausender-Stelle runden, betrachtet man die 4. Nach der Regel wird also abgerundet. Man erhält dadurch den Wert 13.580.000. Mathematisch schreibt man: 13.580.429 ≈ 13.580.000.

Natürliche Zahlen in Tabellen und Diagrammen

Um Zahlen besser und (vor allem) übersichtlicher dazustellen, kann man Tabellen und Diagramme verwenden. Häufig muss man überlegen, wie sehr man die Zahlen übersichtlicher darstellen möchte, da es vorkommen kann, dass dadurch gewisse Details nicht mehr vorhanden sind.

Möchte man zum Beispiel nachschauen, wie viele Besucher an einem Tag auf einer Webseite waren, kann man die Daten in eine Tabelle übertragen:

Wochentag Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag Sonntag
Besucher 408 471 413 411 215 235 428

Diese Werte kann man nun in Diagrammen darstellen, zum Beispiel in einem Säulendiagramm. Die Höhe einer Säule stellt dabei den Zahlenwert dar:

Beispiel eines Säulendiagramms
Beispiel eines Säulendiagramms

Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen

Summe und Differenz natürlicher Zahlen

Addition

Bereits bekannt ist die Plus-Rechnung. Man kann sie auch Addition nennen. Die Zahlen, die man addiert, nennt man Summanden; die Rechnung ist die Summe, das Ergebnis der Summenwert:

258 + 147 = 405
1. Summand plus 2. Summand ist gleich Summenwert

Es macht keinen Unterschied, in welcher Reihenfolge man die Zahlen addiert; die Summe ist identisch. Das ist das sogenannte Kommutativgesetz:

a + b = b + a; a ∈ ℕ0, b ∈ ℕ0.

Addiert man mehrere Zahlen miteinander, kann man auch ändern, in welcher Reihenfolge man sie zusammenrechnen möchte. In Klammern wird geschrieben, was zuerst ausgerechnet werden soll. Das wird Assoziativgesetz genannt:

(a + b) + c = a + (b + c); a ∈ ℕ0, b ∈ ℕ0, c ∈ ℕ0.

Subtraktion

Das Gegenteil der Addition ist die Subtraktion. Man kann also die Rechenarten zur Probe der anderen Rechenart benutzen. Hier zieht man von einer Zahl (dem Minuenden) eine andere Zahl (den Subtrahenden) ab. Das Ergebnis ist die Differenz:

258 - 147 = 111
Minuend minus Subtrahend ist gleich Differenz

Bei der Subtraktion muss man beachten, dass es hier kein Kommutativ- und Assoziativgesetz gibt; man darf also nicht die Reihenfolge der Zahlen ändern.

Schriftliches Addieren natürlicher Zahlen

Bei großen Zahlen, längeren Rechenaufgaben oder um sicher zu gehen benutzt man die schriftliche Addition. Hier schreibt man die Zahlen nebeneinander oder untereinander. Bei letzterem muss beachtet werden, dass die einzelnen Stellenwerte an gleicher Stelle stehen. Dann addiert man die einzelnen Spalten, wobei man von hinten beginnt. Ist in einer Spalte die Summe größer als 9, schreibt man den Übertrag auf und verrechnet in bei der nächsten Spalte. Beispiel:

H Z E
3 8 9
7 9 1
2 4 2
+ 7 5
1 2 1
1 4 9 7

Beim Addieren, bei dem die Zahlen nebeneinander stehen, geht man grundsätzlich genauso vor. Hier muss man nur beachten, dass man den Übertrag nicht hinschreibt. Stattdessen muss man sich ihn merken.

Schriftliches Subtrahieren natürlicher Zahlen

So wie man schriftlich addieren kann, kann man auch schriftlich subtrahieren. Schreibt man die Zahlen untereinander, fängt man wieder bei der Einerstelle an und zieht jeweils die unten stehende Zahl von der oben stehenden ab. Ist der Subtrahend größer als der Minuend „geht es nicht“; dann muss man von der nächsten Spalte sich eine 10 leihen. Beispiel:

H Z E
6 8
7 9 1
2 9 2
4 9 9

Rechnen mit Termen

Rechnen mit Klammern

Eine Rechenaufgabe, die aus Zahlen und Rechenzeichen besteht, wird als Term bezeichnet. Besteht ein Term aus mehreren Additionen und Subtraktionen, wird der Term in Schreibrichtung „abgearbeitet“:

15 + 97 + 163 – 69 = 112 + 163 – 69 = 275 – 69 = 206

Zum Ändern der Reihenfolge, in der man rechnet, nutzt man Klammern. Sie werden immer zuerst ausgerechnet. Stehen eine oder mehrere Klammern in einer anderen, werden diese von innen nach außen gelöst:

15 + {[97 + (163 – 69)] – 80} = 15 + {[97 + 94] – 80} = 15 + {191 – 80} = 15 + 111 = 126

Gliedern von Termen

Terme können unübersichtlich wirken, vor allem wenn sie länger sind. Zur Veranschaulichung und zum strukturierten Vorgehen kann man einen Rechenbaum verwenden, bei dem der Term in seine einzelnen Bestandteile aufgegliedert wird. Der Term 15 + {[97 + (163 – 69)] – 80} würde so aussehen:

Beispiel eines Rechenbaumes
Beispiel eines Rechenbaumes

Der Term ist in dem Beispiel eines Summe, weil die letzte Rechnung eine Summe ist. Man kann den Term auch in Worten wiedergeben. In diesem Fall würde man den Rechenbaum einfach vorlesen.

Die ganzen Zahlen

Einführung in die ganzen Zahlen

Bisher sind wir auf dem Zahlenstrahl von der 0 aus nach rechts gelaufen. Läuft man links vom Nullpunkt, erhält man eine Zahlengerade und findet die so genannten negativen Zahlen. Man kennzeichnet sie mit einem negativen Vorzeichen:

Zahlengerade der ganzen Zahlen von –5 bis 5
Zahlengerade der ganzen Zahlen von –5 bis 5

Die negativen Zahlen tragen immer ein Minuszeichen, die positiven Zahlen kann man mit einem Pluszeichen kennzeichnen. Die Null ist weder positiv noch negativ und hat daher kein Vorzeichen. Die Menge, die die natürlichen Zahlen, die Null und die negatien Zahlen umfasst, nennt man Menge ℤ der ganzen Zahlen. Man schreibt:

ℤ = {...; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...}

Wie bei den natürlichen Zahlen ist eine Zahl, die weiter rechts steht, größer als eine andere Zahl. Zwei Zahlen, die sich im gleichen Abstand zum Nullpunkt befinden, aber ein anderes Vorzeichen haben, nennt man Gegenzahlen. Sie haben den gleichen Betrag:

|– 4| = + 4

Subtrahieren in den Minusbereich

Mit der Einführung der negativen ganzen Zahlen kann man auch sagen, was beim Subtrahieren passiert, wenn der Subtrahend größer als der Minuend ist: man erhält eine negative ganze Zahl. Der Differenzwert ist der Betrag, um den der Subtrahend größer ist als der Minuend. Beispiel:

7 – 12 = –5; weil 12 um 5 größer als 7 ist und das Ergebnis negativ sein muss.

Addieren ganzer Zahlen

Addiert man zwei ganze Zahlen, die das gleiche Vorzeichen haben, hat das Ergebnis das gleiche Vorzeichen und der Betrag des Summenwerts ist der Summenwert der Beträge der Summanden. Beispiel:

(+12) + (+7) = 19 (–12) + (–7) = –19

Haben die Summanden verschiedene Vorzeichen, aber gleiche Beträge, erhält man als Summenwert 0:

(+12) + (–12) = 0 (–12) + (+12) = 0

Sind die Vorzeichen und die Beträge verschieden, gilt folgendes: Das Ergebnis hat das Vorzeichen des größeren Summanden und der Betrag des Summenwerts ist der Unterschied der Beträge der Summanden:

(+12) + (–5) = 7 (–12) + (+5) = –7

Subtrahieren ganzer Zahlen

Sind Minuend und Subtrahend negative Zahlen, kann man den Minuend auch mit dem Gegenwert des Subtrahenden addieren:

(–12) – (–5) = (–12) + (+5) = –7

Ist dagegen der Subtrahend eine positive Zahl, wird der Minuend mit der Gegenzahl des Subtrahenden addiert. Dadurch wird das Ergebnis kleiner:

(–12) – (+5) = (–12) + (–5) = –17

Allgemein lässt sich damit sagen, dass die Subtraktion einer ganzen Zahl zum gleichen Ergebnis führt wie die Addition mit der Gegenzahl.

Kurzschreibweise der Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

Bis jetzt haben wir die Zahlen immer mit Vorzeichen geschrieben und dabei um sie Klammern geschrieben. Das ist aber nicht immer notwendig. Man kann auch Kurzschreibweisen verwenden. Dabei gibt es folgende Regeln zu beachten:

Bei Summen: Bei Differenzen:
(+5) + (+12) = 5 + 12 = 17 (+5) – (+12) = 5 – 12 = –7
(+5) + (–12) = 5 – 12 = –7 (+5) – (–12) = 5 + 12 = 17
(–5) + (+12) = –5 + 12 = 7 (–5) – (+12) = –5 – 12 = –17
(–5) + (–12) = –5 – 12 = –17 (–5) – (–12) = –5 + 12 = 7

Auch gilt bei der Addition ganzer Zahlen, das Kommutativ- und Assoziativgesetz.

Geometrische Grundbegriffe

Geometrische Körper und Figuren

Ein geometrischer Körper ist eine Figur, die man in der Hand halten kann und die man anhand ihrer Oberfläche beschreiben kann. Man kann unter anderem folgende Körper unterscheiden:

Quader Würfel Kugel Kegel Pyramide Zylinder Prisma
Geometrischer Körper: Quader Geometrischer Körper: Würfel Geometrischer Körper: Kugel Geometrischer Körper: Kegel Geometrischer Körper: Pyramide Geometrischer Körper: Zylinder Geometrischer Körper: Prisma

Dagegen haben geometrische Figuren nur Flächen, aber keinen Inhalt:

Rechteck Quadrat Raute Drachen Dreieck Kreis Sechseck Trapez
Geometrische Figur: Rechteck Geometrische Figur: Würfel Geometrische Figur: Raute Geometrische Figur: Drache Geometrische Figur: Dreieck Geometrische Figur: Kreis Geometrische Figur: Sechseck Geometrische Figur: Trapez

Geraden und Strecken

Unter einer Strecke versteht man eine gerade Verbindungslinie zwischen zwei Punkten A und B. Diese Strecke [AB] hat eine Länge von AB. Die Punkte sind dabei auch der Anfangs- und Endpunkt.

Nimmt man die Verbindungslinie zwischen A und B, ohne dass die Punkte die Linie begrenzen, spricht man von einer Geraden. Man schreibt: AB.

Hat die Linie dagegen einen Anfangs- oder einen Endpunkt, ist sie eine Halbgerade oder Strahl. Sie wird [AB bzw. AB] genannt, wenn sie von A bzw. B begrenzt wird.

Übersicht über Geraden, Strecken und Halbgeraden
Übersicht über Geraden, Strecken und Halbgeraden

Senkrechte und parallele Geraden

Lot zweier Geraden
Lot zweier Geraden

Zwei Linien g und h – unabhängig ob Geraden, Strahlen oder Strecken –, zwischen denen ein Winkel von 90° besteht, stehen aufeinander senkrecht. Um dies zu kennzeichnen, verwendet man am Schnittpunkt beider Linien das Zeichen ⦝.

Man sagt auch, dass g ein Lot zu h oder dass g eine Senkrechte von h ist. Man schreibt: g ⊥ h bzw. h ⊥ g.

Parallelität und Abstand zweier Geraden
Parallelität und Abstand zweier Geraden

Zwei Geraden, die sich nie schneiden, sind parallel zueinander. Dies ist dann der Fall, wenn es eine dritte Gerade gibt, die senkrecht auf beiden Geraden steht. Man schreibt dann: g || h bzw. h || g. Die Strecke [AB] mit den Begrenzungen durch die Schnittpunkte der drei Geraden gibt zudem den Abstand der Geraden g und h an.

Den Abstand einer Geraden g von einem bestimmten Punkt B kann man ermitteln, indem man eine Senkrechte zur Geraden bildet, die durch den Punkt geht. Diese Strecke (in unserem Beispiel [AB]) ist die kürzeste Verbindung. Die Länge d ist dabei der Abstand.

Winkel und Winkelarten

Beispiel eines Winkels
Beispiel eines Winkels

Ein Winkel ist ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen begrenzt wird. Die Strahlen haben dabei als Ausgangspunkt einen gemeinsamen Anfangspunkt. Die Halbgeraden werden als Schenkel bezeichnet; den Anfangspunkt nennt man Scheitel.

Die Größe eines Winkels wird in ° (Grad) angegeben. Die Winkel an sich werden meist mit den kleinen griechischen Buchstaben (α, β, γ, δ, ...) beschrieben und gegen den Uhrzeigersinn ermittelt.

Man kann vier Winkelarten bestimmen:

Spitzer Winkel Rechter Winkel Stumpfer Winkel Gestreckter Winkel
Spitzer Winkel Rechter Winkel Stumpfer Winkel Gestreckter Winkel

Dabei ist der spitze Winkel kleiner als 90°, der rechte Winkel genau 90°, der stumpfe Winkel größer als 90° sowie kleiner als 180° und der gestreckte Winkel genau 180° groß.

Das Koordinatensystem

Koordinatensystem mit den Bezeichnungen der Quadranten
Koordinatensystem

Mithilfe eines Koordinatensystems kann man die Lage von Punkten beschreiben. Dazu werden zwei Zahlengeraden genommen, die senkrecht aufeinander stehen (Koordinatenachsen). Den Schnittpunkt bezeichnet man als Ursprung oder Nullpunkt. Die vier „Räume“ des Koordinatensystems sind die Quadranten; man nummeriert sie gegen den Uhrzeigersinn

Die waagrechte Achse ist die x-Achse, die senkrechte die y-Achse. Ein Punkt besitzt sowohl eine x-Koordinate (Abszisse) als auch eine y-Koordinate (Ordinate). Durch diese Koordinaten kann man jeden Punkt genau bestimmen. Man schreibt:

A (–4 | –2), B (0 | –2)

Achsensymmetrische Figuren

Symmetrieachsen in einem Quadrat
Ein Quadrat hat insgesamt vier Symmetrieachsen

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie sich in zwei gleich große Teile zerlegen lässt, die durch Falten an der Symmetrieachse zur Deckung kommen. Durch die Achsensymmetrie ergeben sich Besonderheiten[1]:

Multiplikation und Division natürlicher Zahlen

Multiplizieren natürlicher Zahlen

Beim Malnehmen kürzt man die Addition gleicher Summanden ab. Man nennt dies auch Multiplikation. Dabei werden mindestens zwei Faktoren genommen, die ein Produkt ergeben. Beispiel:

8 · 7 = 56
1. Faktor mal 2. Faktor ist gleich Produkt

Bei der Multiplikation gilt das Kommutativgesetz und Assoziativgesetz, da sie eben eine Abkürzung für die Addition ist:

a · b = b · a ; a · b · c = a · (b · c) = (a · b) · c

Besonderheiten ergeben sich, wenn man beim Multiplizieren die 0 und die 1 verwendet:

a · 0 = 0 ; a · 1 = a

Jede natürliche Zahl kann zudem als ein Produkt mehrerer natürlicher Zahlen dargestellt werden. Werden dabei nur Primzahlen als Faktoren genommen, spricht man von einer Primfaktorzerlegung. Beispiel:

12 = 2 · 2 · 3 ; 99 = 3 · 3 · 11

Schriftliches Multiplizieren natürlicher Zahlen

Ebenso wie beim Addieren und Subtrahieren gibt es die Möglichkeit eine Multiplikation schriftlich auszuführen. Das macht vor allem dann Sinn, wenn man mit großen Zahlen rechnen muss. Um das Rechnen einfacher zu machen, wählt man dabei als zweiten Faktor den Wert aus, der weniger Stellen hat. Beispiel:

567 · 1234 = 1234 · 567

Beim eigentlichen Multiplizieren nimmt man dann den ersten Faktor mit der größten Stelle des zweiten Faktors mal. Anschließend wird wieder der erste Faktor mit der zweiten Stelle verrechnet. Das wiederholt man, bis jede Stelle einmal benutzt wurde. Die Ergebnisse werden immer unter die verwendete Stelle geschrieben. Bei einem Übertrag muss man sich diesen Wert merken. Zum Schluss werden die einzelnen Ergebnisse addiert. Beispiel:

1 2 3 4 · 5 6 7
6 1 7 0
7 4 0 4
+ 8 6 3 8
6 9 9 6 7 8

Addition, Subtraktion und Multiplikation natürlicher Zahlen

Bisher wurde ein Term von links nach rechts aufgelöst. Hat man neben Strichrechnungen (Addition und Subtraktion) aber auch Punktrechnungen (Multiplikation und Division), sind diese zuerst auszurechnen. Es gilt: „Punkt vor Strich“. Möchte man von dieser Regel abweichen, muss man dafür Klammern verwenden. Beispiel:

5 + 5 · 2 = 5 + 10 = 15 ; (5 + 5) · 2 = 10 · 2 = 20

Das letztere Beispiel kann man zudem mithilfe des Distributivgesetzes auflösen: Hierbei wird nicht die Summe mit dem anderen Faktor multipliziert, sondern stattdessen jeder Summand einzeln und die einzelnen Ergebnisse miteinander addiert:

(5 + 5) · 2 = 5 · 2 + 5 · 2 = 10 + 10 = 20 ; a · (b + c) = a · b + a · c

Dies gilt entsprechend auch für die Subtraktion; man muss lediglich das Pluszeichen mit einem Minuszeichen austauschen:

(8 – 7) · 3 = 8 · 3 – 7 · 3 = 24 – 21 = 3 ; a · (b – c) = a · b – a · c

Potenzen

Wir haben kennen gelernt, dass die Multiplikation eine Kurzschreibweise für die Addition ist. Potenzen wiederum sind eine Abkürzung für die Multiplikation gleicher Faktoren. Sie wird vor den Punktrechnungen (und damit auch vor den Strichrechnungen) ausgerechnet.

Eine Potenz besteht dabei aus einer Basis und einem Exponenten. Der Exponent gibt dabei an, wie oft die Basis multipliziert wird. Beispiel:

5 · 5 · 5 · 5 = 54 = 625

Besonderheiten gibt es auch hier, wenn man die 0 oder 1 als Exponent hat. Dann gilt:

51 = 5; a1 = a ; 50 = 1; b0 = 1

In unserem Zahlensystem spielt die 10 eine große Rolle, da das Dezimalsystem auf den Potenzen der 10 beruht; sie bilden die Stufenzahlen:

1=100
10=101
100=102
1.000=103

Um große Zahlen übersichtlich darzustellen, verwendet man (häufig in den Naturwissenschaften) die Zehnerpotenzen. Beispiel:

1.230.000 = 1,23 · 106

Dividieren natürlicher Zahlen

So wie die Subtraktion die Umkehrung der Addition ist, ist die Division die Umkehrung der Multiplikation. Sie gibt an, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl „hineinpasst“. Bei der Division teilt man den Dividenden durch den Divisor. Die Rechnung nennt man Quotient.

56 : 8 = 7
Dividend durch Divisor ist gleich Quotient

Besondere Quotienten bei der Division natürlicher Zahlen sind 0 und 1. Es gilt:

0 : a = 0 ; a : a = 1 ; a : 1 = a

Außerdem muss man daran denken, dass man nicht durch 0 teilen kann. Bei einer 0 als Divisor ist das Ergebnis nämlich nicht definiert.

Bei der Division gilt kein Akkumulationsgesetz, aber das Distributivgesetz. Es gilt allgemein:

(a + b) : c = a : c + b : c ; (a – b) : c = a : c - b : c

Schriftliches Dividieren natürlicher Zahlen

Bei größeren Zahlen oder komplizierteren Rechnungen bietet es sich an, das schrifliche Dividieren zu verwenden. Dabei geht man wie folgt vor:

  1. Man schreibt die Rechnung auf:
    6 7 6 : 2 6 =
  2. Danach schaut man, wie viele Stellen der Divisor hat (hier: 2). Diese Anzahl betrachtet man auch beim Dividenden. Nun muss man ausrechnen, wie oft der Divisor in den betrachteten Teil des Dividenden passt: Die 26 passt in die 67 zweimal.
    6 7 6 : 2 6 = 2
  3. Nun multipliziert man das erhaltene Ergebnis (hier: 2) mit dem Divisor. Diesen Wert schreibt man unter die betrachteten Stellen: 26 mal 2 sind 52.
    6 7 6 : 2 6 = 2
    5 2
  4. Diesen Wert zieht man vom betrachteten Teil ab: 67 – 52 = 15.
    6 7 6 : 2 6 = 2
    5 2
    1 5
  5. Neben die Differenz zieht man die nächste Stelle des Dividenden herunter und wiederholt mit dieser Zahl die Schritte 1 bis 4:
    6 7 6 : 2 6 = 2 6
    5 2
    1 5 6
    1 5 6
    0
  6. Ist keine Zahl mehr zum Herunterholen vorhanden und kommt als Differenzwert eine 0 heraus, ist die Rechnung beendet. Ist aber der Differenzwert keine 0 muss man immer eine 0 an diese ergänzen.

Die Verbindung der Grundrechenarten bei natürlichen Zahlen

Treten verschiedene Grundrechenarten (also: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) aufeinander, sind folgende Regeln zu beachten:

Multiplikation und Division ganzer Zahlen

Multiplikation ganzer Zahlen

Möchte man zwei ganze Zahlen miteinander multiplizieren, muss man auf ihre Vorzeichen achten. Haben die beiden Faktoren das gleiche Vorzeichen, hat das Ergebnis ein positives Vorzeichen. Bei unterschiedlichen Vorzeichen, erhält man eine negative Zahl:

(+ 5) · (+ 7) = + 35 (– 5) · (+ 7) = – 35

Bei der Multiplikation ganzer Zahlen gelten auch das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz. Allgemein gilt:

a · b = b · a; a, b ∈ ℤ (a · b) · c = a · (b · c); a, b, c ∈ ℤ

Folgende Faktoren sind besonders:

0: Hier ist das Ergebnis immer 0: 12 · 0 = 0
1: Der Produktwert ist gleich dem anderen Faktor: (– 12) · 1 = – 12
– 1: Das Ergebnis ist die Gegenzahld es zweiten Faktors: 12 · (– 1) = – 12

Dividieren ganzer Zahlen

Auch beim Dividieren gilt, dass das Ergebnis positiv ist, wenn die Vorzeichen von Dividend und Divisor gleich sind. Sind die Vorzeichen verschieden, ist der Quotientenwert negativ:

(+ 48) : (+ 4) = + 12 (– 48) : (+ 4) = – 12

Bei Divisionen ganzer Zahlen gilt auch: Durch 0 kann man nicht teilen. Daneben gibt es auch andere besondere Quotienten:

a : 1 = a; a ∈ ℤ a : a = 1; a ∈ ℤ \ {0} 0 : a = 0; a ∈ ℤ \ {0}

Verbindung der Grundrechenarten bei ganzen Zahlen

Bei der Verbindung verschiedener Grundrechenarten bei ganzen Zahlen gilt das, was bereits von den natürlichen Zahlen bekannt ist, entsprechend. Demnach sind folgende Regeln zu beachten:

Daneben gilt das Distributivgesetz bei allen ganzen Zahlen.

Größen und ihre Einheiten

Länge, Masse, Zeit

Länge

Beim Messen von Abständen, also von Längen verwendet man Längeneinheiten. Dafür benutzt man als Grundlage die Längeneinheit Meter (m). Davon ausgehend sind weitere Einheiten definiert (z.B. Kilometer (km), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)).

Die Angabe erfolgt, indem man eine Maßzahl mit einer Maßeinheit zusammenstellt. Zum Beispiel kann man sagen, dass zwei Gegenstände 2 m 50 cm voneinander entfernt liegen. Die Längeneinheiten kann man aber auch ineinander umrechnen. Dabei muss man den Umrechnungsfaktor beachten. Es gilt:

1 km = 1.000 m 1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm

Zur einfacheren Darstellung, kann man auch Einheitentafeln verwenden. Dabei werden die Werte so eingetragen, dass man sehen kann, wie groß sie in einer anderen Einheit wären. Dadurch lässt sich auch leichter die Kommaschreibweise ermitteln:

Länge km m dm cm mm Kommaschreibweise
5 km 837 m 2 cm 5 8 3 7 0 2 5,83702 km = 5.837,02 m = 583.702 cm
18 m 9 dm 3 cm 1 mm 1 8 9 3 1 18,931 m = 189,31 dm = 1.893, 1 cm = 18.931 mm
9 km 2 dm 8 mm 9 0 0 0 2 0 8 9,000208 km = 90.002,08 dm = 9.000.208 mm

Masse

Unter Masse versteht man, wie schwer ein Gegenstand unabhängig seines Orts ist (dagegen ist das Gewicht ortsabhängig). Als Maßeinheiten verwendet man Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg). Bei der Umrechnung gelten folgende Faktoren:

1 t = 1.000 kg 1 kg = 1000 g 1 g = 1.000 mg

In der Einheitentafel sieht das wie folgt aus:

Masse t kg g mg Kommaschreibweise
1 t 50 kg 287 g 1 0 5 0 2 8 7 1,050287 t = 1.050,287 kg = 1.050.287 g
375 kg 21 g 500 mg 3 7 5 0 2 1 5 0 0 375,021500 kg = 375.021,5 g = 375.021.500 mg
18 g 902 mg 1 8 9 0 2 18,902 g = 18.902 mg

Zeit

Für Zeitangaben kann man eine Reihe verschiedener Einheiten verwenden: Jahr (a), Monat, Woche, Tag (d), Stunde (h), Minute (min), Sekunde (s). Umrechnungsfaktoren sind dabei:

1 Woche = 7 d 1 d = 24 h 1 h = 60 min 1 min = 60 s

Addieren und Subtrahieren von Größen

Möchte man beim Addieren (und Subtrahieren) keine Kommaschreibweise verwenden, wandelt man als erstes alle Einheiten so um, dass keine Kommata vorhanden sind. Diese Werte kann man dann wie gewohnt miteinander verrechnen. Zur besseren Übersicht kann es vorteilhaft sein, das Ergebnis auch wieder umzuwandeln.

Zu beachten ist: Man kann nur gleichartige Größen miteinander addieren und subtrahieren. Man kann also nicht eine Längenangabe mit einer Zeitangabe auf diese Weise verrechnen. Beispiel:

2,308 km + 28 m – 5 dm = 23.080 dm + 280 dm – 5 dm = 23.355 dm = 2.335,5 m = 2,3355 km

Bei der Addition und Subtraktion in Kommaschreibweise kann man die gleicher Größe der Werte diese Werte auch in eine Einheitentafel einsetzen und verrechnen. Dabei muss aber darauf geachtet werden, dass das Komma an der gleichen Stelle ist.

Beispiel: Man möchte 38,06 € mit 18,97 € addieren:

3 8 , 0 6
+ 1 8 , 9 7
5 7 , 0 3

Multiplizieren von Größen mit natürlichen Zahlen

Beim Multiplizieren von Größen mit natürlichen Zahlen geht man nach folgendem Muster vor: Zunächst wandelt man die Größe so um, dass man ebenfalls eine natürliche Zahl erhält. Diese kann man nun mit der anderen Zahl multiplizieren. Das Ergebnis wandelt man anschließend wieder um:

2,38 € · 5 = 238 ct · 5 = 1190 ct = 11,90 €

Ist die natürliche Zahl eine Stufenzahl kann man es sich auch einfacher machen: In diesem Fall verschiebt man einfach das Komma der Größe um die Anzahl der Nullen des Faktors:

2,05 m · 100 = 205 m

Umfang und Umfangslänge

Umfang eines Rechtecks
Umfang eines Rechtecks

Das Prinzip der Multiplikation von Größen mit natürlichen Zahlen kann man unter anderem auch Verwenden um den Umfang von Figuren zu berechnen. Der Umfang wird dabei von den Linien der Figur gebildet. Die Länge dieses Umfangs U hat ist wiederum die Umfangslänge.

Bei einem Rechteck könnte man natürlich alle vier Seiten ausmessen und diese Werte addieren. Man kann aber auch ausnutzen, dass immer zwei Seiten gleich lang sind:

URechteck = a + b + a + b = a + a + b + b = 2 ·a + 2 · b

Bei einem Quadrat ist es sogar noch einfacher: Hier ist jede Seite gleich lang. Damit ist der Umfang eines Quadrats: UQuadrat = 4 · a

Dividieren von Größen durch natürliche Zahlen

Beim Dividieren von Größen durch eine natürliche Zahl wandelt man zunächst die Größe als erstes so um, dass man eine natürliche Zahl hat. Diese beiden Zahlen kann man nun wie gewohnt teilen. Das Ergebnis wandelt man anschließend wieder in die alte Größe um:

12,60 € : 20 = 1260 ct : 15 = 84 ct = 0,84 €

Ist der Divisor eine Zehnerstufenzahl kann man sich das Dividieren auch einfacher machen: In diesem Fall braucht man nur das Komma der Größe um so viele Stellen nach links zu verschieben, wie die natürliche Zahl Nullen hat:

1236 m : 100 = 12,36 m

Der Maßstab

Die Division und Multiplikation ist bei Maßstäben besonders wichtig. Mit ihnen kann man große Sachen (z.B. Gebäude, Landschaften, Städte) verkleinert darstellen lassen. Es ist aber auch möglich, kleine Dinge größer anzeigen zu lassen.

Der Maßstab wird dabei mit einem Verhältnis angegeben:

Maßstab Größe auf der Karte Rechnung Größe in Wirklichkeit
1 : 1.000.000 2 cm 1.000.000 · 2 cm = 2.000.000 cm = 20.000 m = 20 km 20 km
20 : 1 4 cm 4 cm : 20 = 40 mm : 20 = 2 mm 2 mm

Man kann natürlich die Rechnung auch umdrehen und so auch den Maßstab ermitteln:

Größe auf der Abbildung Größe in Wirklichkeit Rechnung Maßstab
5 cm 50 km 50 km : (5 cm) = 5.000.000 cm : (5 cm) = 1.000.000 1 : 1.000.000
9 cm 3 mm 9 cm : (3 mm) = 90 mm : (3mm) = 30 30 : 1

Fläche und Flächenmessung

Fläche und Flächeninhalt

Alle Gegenstände haben eine (Ober-)Fläche, zum Beispiel Blätter, Fernseher, Lampen. Die Größe einer solchen Fläche bezeichnet man als Flächeninhalt. Ihn kann man messen, indem man kleinere Stücke verwendet, deren Flächeninhalt man bereits kennt.

Flächenmessung und Flächeneinheiten

Zur Angabe eines Flächeninhalts benutzt man häufig die Flächeninhalte bestimmter Quadrate. Die Einheit des Flächeninhalts bestimmt sich dabei nach der Längeneinheit der einzelnen Seiten.

Seitenlänge des Quadrats Flächeninhalt des Quadrats Flächeninhalt in Worten
1 km 1 km2 ein Quadratkilometer
100 m 1 ha ein Hektar
10 m 1 a ein Ar
1 m 1 m2 ein Quadratmeter
1 dm 1 dm2 ein Quadratdezimeter
1 cm 1 cm2 ein Quadratzentimeter
1 mm 1 mm2 ein Quadratmillimeter

Zwischen den einzelnen Flächeneinheiten beträgt der Umrechnungsfaktor 100. Damit ergibt sich folgende Tabelle:

km2 ha a m2 dm2 cm2 mm2
1 km2 = 100 ha = 10.000 a = 1.000.000 m2
1 ha = 100 a = 10.000 m2
1 a = 100 m2
1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2
1 dm2 = 100 cm2 = 10.000 mm2
1 cm2 = 100 mm2

Flächeninhalt des Rechtecks und des Quadrats

Bei einem Rechteck ist der Flächeninhalt A gleich dem Produktwert der Länge und der Breite. Vor der Berechnung müssen jedoch beide Werte in der gleichen Größe vorliegen. Die Flächeneinheit entspricht dann der Längeneinheit. Allgemein gilt daher:

ARechteck = l · b

Da beim Quadrat alle Seiten gleich lang sind, ist der Flächeninhalt gleich dem Quadrat der Seitenlänge a:

AQuadrat = a · a = a2

Hat beispielsweise ein Rechteck eine Länge von 5 cm und eine Breite von 2 dm, ergibt sich folgender Flächeninhalt: 5 cm · (2 dm) = 5 cm · (20 cm) = 100 cm2 = 1 dm2.

Der Flächeninhalt weiterer geometrischer Figuren

Neben dem Rechteck und Quadrat kann man natürlich auch den Flächeninhalt weiterer Figuren berechnen. Dabei kann man zum Beispiel so vorgehen, dass man sie in Rechtecke zerlegt oder zu Rechtecken ergänzt.

Die Ermittlung des Flächeninhalts
                    eines Dreiecks über die Ergänzung zum Rechteck
Die Ermittlung des Flächeninhalts eines Dreiecks über die Ergänzung zum Rechteck

Zum Beispiel kann man ein Dreieck so ergänzen, dass es zum Rechteck wird. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann man das gut erkennen: Hier muss man einfach senkrecht auf die Linien g und h die ergänzenden Seiten zeichnen. Dadurch wird auch deutlich, dass der Flächeninhalt eines Dreicks die Hälfte eines Rechtecks beträgt:

ADreieck = 0,5 · g · h

Die Ermittlung des
                    Flächeninhalts eines Parallelogramms über die Ergänzung zum Rechteck
Die Ermittlung des Flächeninhalts eines Parallelogramms über die Ergänzung zum Rechteck

Beim Parallelogramm ist dies schon nicht mehr so einfach: Hier muss man ein Lot auf die Grundlinie g fällen. Das dadurch entstandene Dreieck kann man nun an die gegenüberliegende Seite schieben. Dadurch erhält man aber wiederum ein Rechteck. Damit ergibt sich auch der Flächeninhalt:

AParallelogramm = g · h

Der Oberflächeninhalt von Körpern

Ein Körper hat mehrere Oberflächen. Diese besitzen alle einen Flächeninhalt. Die Summe davon wird als Oberflächeninhalt bezeichnet. Bei einem Quader besteht die Oberfläche aus insgesamt sechs Rechtecken. Bei einer gewissen Länge (l), Breite (b) und Höhe (h) ergibt sich damit:

AQuader = 2 · (l · b) + 2 · (l · h) + 2 · (b · h) = 2 · (l · b + l · h + b · h)

Beim Würfel wird es aufgrund der sechs gleichen Seiten einfacher:

AWürfel = 6 · a2



Quellen

  1. Delta 5, S. 92.

Literatur

  1. delta 5 neu, Mathematik für Gymnasien, C.C. Buchner, 1. Aufl. 09, 978-3-7661-8255-5
  2. Fokus Mathematik 5, Gymnasium Bayern, Cornelsen, 1. Aufl. 04, 978-3-464-54015-2

Überschriften

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