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Mathematik: 5. Klasse | Die ganzen Zahlen

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Die ganzen Zahlen

Einführung in die ganzen Zahlen

Bisher sind wir auf dem Zahlenstrahl von der 0 aus nach rechts gelaufen. Läuft man links vom Nullpunkt, erhält man eine Zahlengerade und findet die so genannten negativen Zahlen. Man kennzeichnet sie mit einem negativen Vorzeichen:

Zahlengerade der ganzen Zahlen von –5 bis 5
Zahlengerade der ganzen Zahlen von –5 bis 5

Die negativen Zahlen tragen immer ein Minuszeichen, die positiven Zahlen kann man mit einem Pluszeichen kennzeichnen. Die Null ist weder positiv noch negativ und hat daher kein Vorzeichen. Die Menge, die die natürlichen Zahlen, die Null und die negatien Zahlen umfasst, nennt man Menge ℤ der ganzen Zahlen. Man schreibt:

ℤ = {...; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...}

Wie bei den natürlichen Zahlen ist eine Zahl, die weiter rechts steht, größer als eine andere Zahl. Zwei Zahlen, die sich im gleichen Abstand zum Nullpunkt befinden, aber ein anderes Vorzeichen haben, nennt man Gegenzahlen. Sie haben den gleichen Betrag:

|– 4| = + 4

Subtrahieren in den Minusbereich

Mit der Einführung der negativen ganzen Zahlen kann man auch sagen, was beim Subtrahieren passiert, wenn der Subtrahend größer als der Minuend ist: man erhält eine negative ganze Zahl. Der Differenzwert ist der Betrag, um den der Subtrahend größer ist als der Minuend. Beispiel:

7 – 12 = –5; weil 12 um 5 größer als 7 ist und das Ergebnis negativ sein muss.

Addieren ganzer Zahlen

Addiert man zwei ganze Zahlen, die das gleiche Vorzeichen haben, hat das Ergebnis das gleiche Vorzeichen und der Betrag des Summenwerts ist der Summenwert der Beträge der Summanden. Beispiel:

(+12) + (+7) = 19 (–12) + (–7) = –19

Haben die Summanden verschiedene Vorzeichen, aber gleiche Beträge, erhält man als Summenwert 0:

(+12) + (–12) = 0 (–12) + (+12) = 0

Sind die Vorzeichen und die Beträge verschieden, gilt folgendes: Das Ergebnis hat das Vorzeichen des größeren Summanden und der Betrag des Summenwerts ist der Unterschied der Beträge der Summanden:

(+12) + (–5) = 7 (–12) + (+5) = –7

Subtrahieren ganzer Zahlen

Sind Minuend und Subtrahend negative Zahlen, kann man den Minuend auch mit dem Gegenwert des Subtrahenden addieren:

(–12) – (–5) = (–12) + (+5) = –7

Ist dagegen der Subtrahend eine positive Zahl, wird der Minuend mit der Gegenzahl des Subtrahenden addiert. Dadurch wird das Ergebnis kleiner:

(–12) – (+5) = (–12) + (–5) = –17

Allgemein lässt sich damit sagen, dass die Subtraktion einer ganzen Zahl zum gleichen Ergebnis führt wie die Addition mit der Gegenzahl.

Kurzschreibweise der Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

Bis jetzt haben wir die Zahlen immer mit Vorzeichen geschrieben und dabei um sie Klammern geschrieben. Das ist aber nicht immer notwendig. Man kann auch Kurzschreibweisen verwenden. Dabei gibt es folgende Regeln zu beachten:

Bei Summen: Bei Differenzen:
(+5) + (+12) = 5 + 12 = 17 (+5) – (+12) = 5 – 12 = –7
(+5) + (–12) = 5 – 12 = –7 (+5) – (–12) = 5 + 12 = 17
(–5) + (+12) = –5 + 12 = 7 (–5) – (+12) = –5 – 12 = –17
(–5) + (–12) = –5 – 12 = –17 (–5) – (–12) = –5 + 12 = 7

Auch gilt bei der Addition ganzer Zahlen, das Kommutativ- und Assoziativgesetz.

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