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Mathematik: 5. Klasse | Fläche und Flächenmessung

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Fläche und Flächenmessung

Fläche und Flächeninhalt

Alle Gegenstände haben eine (Ober-)Fläche, zum Beispiel Blätter, Fernseher, Lampen. Die Größe einer solchen Fläche bezeichnet man als Flächeninhalt. Ihn kann man messen, indem man kleinere Stücke verwendet, deren Flächeninhalt man bereits kennt.

Flächenmessung und Flächeneinheiten

Zur Angabe eines Flächeninhalts benutzt man häufig die Flächeninhalte bestimmter Quadrate. Die Einheit des Flächeninhalts bestimmt sich dabei nach der Längeneinheit der einzelnen Seiten.

Seitenlänge des Quadrats Flächeninhalt des Quadrats Flächeninhalt in Worten
1 km 1 km2 ein Quadratkilometer
100 m 1 ha ein Hektar
10 m 1 a ein Ar
1 m 1 m2 ein Quadratmeter
1 dm 1 dm2 ein Quadratdezimeter
1 cm 1 cm2 ein Quadratzentimeter
1 mm 1 mm2 ein Quadratmillimeter

Zwischen den einzelnen Flächeneinheiten beträgt der Umrechnungsfaktor 100. Damit ergibt sich folgende Tabelle:

km2 ha a m2 dm2 cm2 mm2
1 km2 = 100 ha = 10.000 a = 1.000.000 m2
1 ha = 100 a = 10.000 m2
1 a = 100 m2
1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2
1 dm2 = 100 cm2 = 10.000 mm2
1 cm2 = 100 mm2

Flächeninhalt des Rechtecks und des Quadrats

Bei einem Rechteck ist der Flächeninhalt A gleich dem Produktwert der Länge und der Breite. Vor der Berechnung müssen jedoch beide Werte in der gleichen Größe vorliegen. Die Flächeneinheit entspricht dann der Längeneinheit. Allgemein gilt daher:

ARechteck = l · b

Da beim Quadrat alle Seiten gleich lang sind, ist der Flächeninhalt gleich dem Quadrat der Seitenlänge a:

AQuadrat = a · a = a2

Hat beispielsweise ein Rechteck eine Länge von 5 cm und eine Breite von 2 dm, ergibt sich folgender Flächeninhalt: 5 cm · (2 dm) = 5 cm · (20 cm) = 100 cm2 = 1 dm2.

Der Flächeninhalt weiterer geometrischer Figuren

Neben dem Rechteck und Quadrat kann man natürlich auch den Flächeninhalt weiterer Figuren berechnen. Dabei kann man zum Beispiel so vorgehen, dass man sie in Rechtecke zerlegt oder zu Rechtecken ergänzt.

Die Ermittlung des Flächeninhalts
                eines Dreiecks über die Ergänzung zum Rechteck
Die Ermittlung des Flächeninhalts eines Dreiecks über die Ergänzung zum Rechteck

Zum Beispiel kann man ein Dreieck so ergänzen, dass es zum Rechteck wird. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann man das gut erkennen: Hier muss man einfach senkrecht auf die Linien g und h die ergänzenden Seiten zeichnen. Dadurch wird auch deutlich, dass der Flächeninhalt eines Dreicks die Hälfte eines Rechtecks beträgt:

ADreieck = 0,5 · g · h

Die Ermittlung des
                Flächeninhalts eines Parallelogramms über die Ergänzung zum Rechteck
Die Ermittlung des Flächeninhalts eines Parallelogramms über die Ergänzung zum Rechteck

Beim Parallelogramm ist dies schon nicht mehr so einfach: Hier muss man ein Lot auf die Grundlinie g fällen. Das dadurch entstandene Dreieck kann man nun an die gegenüberliegende Seite schieben. Dadurch erhält man aber wiederum ein Rechteck. Damit ergibt sich auch der Flächeninhalt:

AParallelogramm = g · h

Der Oberflächeninhalt von Körpern

Ein Körper hat mehrere Oberflächen. Diese besitzen alle einen Flächeninhalt. Die Summe davon wird als Oberflächeninhalt bezeichnet. Bei einem Quader besteht die Oberfläche aus insgesamt sechs Rechtecken. Bei einer gewissen Länge (l), Breite (b) und Höhe (h) ergibt sich damit:

AQuader = 2 · (l · b) + 2 · (l · h) + 2 · (b · h) = 2 · (l · b + l · h + b · h)

Beim Würfel wird es aufgrund der sechs gleichen Seiten einfacher:

AWürfel = 6 · a2

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