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Mathematik: 5. Klasse | Multiplikation und Division natürlicher Zahlen

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Multiplikation und Division natürlicher Zahlen

Multiplizieren natürlicher Zahlen

Beim Malnehmen kürzt man die Addition gleicher Summanden ab. Man nennt dies auch Multiplikation. Dabei werden mindestens zwei Faktoren genommen, die ein Produkt ergeben. Beispiel:

8 · 7 = 56
1. Faktor mal 2. Faktor ist gleich Produkt

Bei der Multiplikation gilt das Kommutativgesetz und Assoziativgesetz, da sie eben eine Abkürzung für die Addition ist:

a · b = b · a ; a · b · c = a · (b · c) = (a · b) · c

Besonderheiten ergeben sich, wenn man beim Multiplizieren die 0 und die 1 verwendet:

a · 0 = 0 ; a · 1 = a

Jede natürliche Zahl kann zudem als ein Produkt mehrerer natürlicher Zahlen dargestellt werden. Werden dabei nur Primzahlen als Faktoren genommen, spricht man von einer Primfaktorzerlegung. Beispiel:

12 = 2 · 2 · 3 ; 99 = 3 · 3 · 11

Schriftliches Multiplizieren natürlicher Zahlen

Ebenso wie beim Addieren und Subtrahieren gibt es die Möglichkeit eine Multiplikation schriftlich auszuführen. Das macht vor allem dann Sinn, wenn man mit großen Zahlen rechnen muss. Um das Rechnen einfacher zu machen, wählt man dabei als zweiten Faktor den Wert aus, der weniger Stellen hat. Beispiel:

567 · 1234 = 1234 · 567

Beim eigentlichen Multiplizieren nimmt man dann den ersten Faktor mit der größten Stelle des zweiten Faktors mal. Anschließend wird wieder der erste Faktor mit der zweiten Stelle verrechnet. Das wiederholt man, bis jede Stelle einmal benutzt wurde. Die Ergebnisse werden immer unter die verwendete Stelle geschrieben. Bei einem Übertrag muss man sich diesen Wert merken. Zum Schluss werden die einzelnen Ergebnisse addiert. Beispiel:

1 2 3 4 · 5 6 7
6 1 7 0
7 4 0 4
+ 8 6 3 8
6 9 9 6 7 8

Addition, Subtraktion und Multiplikation natürlicher Zahlen

Bisher wurde ein Term von links nach rechts aufgelöst. Hat man neben Strichrechnungen (Addition und Subtraktion) aber auch Punktrechnungen (Multiplikation und Division), sind diese zuerst auszurechnen. Es gilt: „Punkt vor Strich“. Möchte man von dieser Regel abweichen, muss man dafür Klammern verwenden. Beispiel:

5 + 5 · 2 = 5 + 10 = 15 ; (5 + 5) · 2 = 10 · 2 = 20

Das letztere Beispiel kann man zudem mithilfe des Distributivgesetzes auflösen: Hierbei wird nicht die Summe mit dem anderen Faktor multipliziert, sondern stattdessen jeder Summand einzeln und die einzelnen Ergebnisse miteinander addiert:

(5 + 5) · 2 = 5 · 2 + 5 · 2 = 10 + 10 = 20 ; a · (b + c) = a · b + a · c

Dies gilt entsprechend auch für die Subtraktion; man muss lediglich das Pluszeichen mit einem Minuszeichen austauschen:

(8 – 7) · 3 = 8 · 3 – 7 · 3 = 24 – 21 = 3 ; a · (b – c) = a · b – a · c

Potenzen

Wir haben kennen gelernt, dass die Multiplikation eine Kurzschreibweise für die Addition ist. Potenzen wiederum sind eine Abkürzung für die Multiplikation gleicher Faktoren. Sie wird vor den Punktrechnungen (und damit auch vor den Strichrechnungen) ausgerechnet.

Eine Potenz besteht dabei aus einer Basis und einem Exponenten. Der Exponent gibt dabei an, wie oft die Basis multipliziert wird. Beispiel:

5 · 5 · 5 · 5 = 54 = 625

Besonderheiten gibt es auch hier, wenn man die 0 oder 1 als Exponent hat. Dann gilt:

51 = 5; a1 = a ; 50 = 1; b0 = 1

In unserem Zahlensystem spielt die 10 eine große Rolle, da das Dezimalsystem auf den Potenzen der 10 beruht; sie bilden die Stufenzahlen:

1=100
10=101
100=102
1.000=103

Um große Zahlen übersichtlich darzustellen, verwendet man (häufig in den Naturwissenschaften) die Zehnerpotenzen. Beispiel:

1.230.000 = 1,23 · 106

Dividieren natürlicher Zahlen

So wie die Subtraktion die Umkehrung der Addition ist, ist die Division die Umkehrung der Multiplikation. Sie gibt an, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl „hineinpasst“. Bei der Division teilt man den Dividenden durch den Divisor. Die Rechnung nennt man Quotient.

56 : 8 = 7
Dividend durch Divisor ist gleich Quotient

Besondere Quotienten bei der Division natürlicher Zahlen sind 0 und 1. Es gilt:

0 : a = 0 ; a : a = 1 ; a : 1 = a

Außerdem muss man daran denken, dass man nicht durch 0 teilen kann. Bei einer 0 als Divisor ist das Ergebnis nämlich nicht definiert.

Bei der Division gilt kein Akkumulationsgesetz, aber das Distributivgesetz. Es gilt allgemein:

(a + b) : c = a : c + b : c ; (a – b) : c = a : c - b : c

Schriftliches Dividieren natürlicher Zahlen

Bei größeren Zahlen oder komplizierteren Rechnungen bietet es sich an, das schrifliche Dividieren zu verwenden. Dabei geht man wie folgt vor:

  1. Man schreibt die Rechnung auf:
    6 7 6 : 2 6 =
  2. Danach schaut man, wie viele Stellen der Divisor hat (hier: 2). Diese Anzahl betrachtet man auch beim Dividenden. Nun muss man ausrechnen, wie oft der Divisor in den betrachteten Teil des Dividenden passt: Die 26 passt in die 67 zweimal.
    6 7 6 : 2 6 = 2
  3. Nun multipliziert man das erhaltene Ergebnis (hier: 2) mit dem Divisor. Diesen Wert schreibt man unter die betrachteten Stellen: 26 mal 2 sind 52.
    6 7 6 : 2 6 = 2
    5 2
  4. Diesen Wert zieht man vom betrachteten Teil ab: 67 – 52 = 15.
    6 7 6 : 2 6 = 2
    5 2
    1 5
  5. Neben die Differenz zieht man die nächste Stelle des Dividenden herunter und wiederholt mit dieser Zahl die Schritte 1 bis 4:
    6 7 6 : 2 6 = 2 6
    5 2
    1 5 6
    1 5 6
    0
  6. Ist keine Zahl mehr zum Herunterholen vorhanden und kommt als Differenzwert eine 0 heraus, ist die Rechnung beendet. Ist aber der Differenzwert keine 0 muss man immer eine 0 an diese ergänzen.

Die Verbindung der Grundrechenarten bei natürlichen Zahlen

Treten verschiedene Grundrechenarten (also: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) aufeinander, sind folgende Regeln zu beachten:

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