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Mathematik: 5. Klasse | Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen

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Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen

Summe und Differenz natürlicher Zahlen

Addition

Bereits bekannt ist die Plus-Rechnung. Man kann sie auch Addition nennen. Die Zahlen, die man addiert, nennt man Summanden; die Rechnung ist die Summe, das Ergebnis der Summenwert:

258 + 147 = 405
1. Summand plus 2. Summand ist gleich Summenwert

Es macht keinen Unterschied, in welcher Reihenfolge man die Zahlen addiert; die Summe ist identisch. Das ist das sogenannte Kommutativgesetz:

a + b = b + a; a ∈ ℕ0, b ∈ ℕ0.

Addiert man mehrere Zahlen miteinander, kann man auch ändern, in welcher Reihenfolge man sie zusammenrechnen möchte. In Klammern wird geschrieben, was zuerst ausgerechnet werden soll. Das wird Assoziativgesetz genannt:

(a + b) + c = a + (b + c); a ∈ ℕ0, b ∈ ℕ0, c ∈ ℕ0.

Subtraktion

Das Gegenteil der Addition ist die Subtraktion. Man kann also die Rechenarten zur Probe der anderen Rechenart benutzen. Hier zieht man von einer Zahl (dem Minuenden) eine andere Zahl (den Subtrahenden) ab. Das Ergebnis ist die Differenz:

258 - 147 = 111
Minuend minus Subtrahend ist gleich Differenz

Bei der Subtraktion muss man beachten, dass es hier kein Kommutativ- und Assoziativgesetz gibt; man darf also nicht die Reihenfolge der Zahlen ändern.

Schriftliches Addieren natürlicher Zahlen

Bei großen Zahlen, längeren Rechenaufgaben oder um sicher zu gehen benutzt man die schriftliche Addition. Hier schreibt man die Zahlen nebeneinander oder untereinander. Bei letzterem muss beachtet werden, dass die einzelnen Stellenwerte an gleicher Stelle stehen. Dann addiert man die einzelnen Spalten, wobei man von hinten beginnt. Ist in einer Spalte die Summe größer als 9, schreibt man den Übertrag auf und verrechnet in bei der nächsten Spalte. Beispiel:

H Z E
3 8 9
7 9 1
2 4 2
+ 7 5
1 2 1
1 4 9 7

Beim Addieren, bei dem die Zahlen nebeneinander stehen, geht man grundsätzlich genauso vor. Hier muss man nur beachten, dass man den Übertrag nicht hinschreibt. Stattdessen muss man sich ihn merken.

Schriftliches Subtrahieren natürlicher Zahlen

So wie man schriftlich addieren kann, kann man auch schriftlich subtrahieren. Schreibt man die Zahlen untereinander, fängt man wieder bei der Einerstelle an und zieht jeweils die unten stehende Zahl von der oben stehenden ab. Ist der Subtrahend größer als der Minuend „geht es nicht“; dann muss man von der nächsten Spalte sich eine 10 leihen. Beispiel:

H Z E
6 8
7 9 1
2 9 2
4 9 9

Rechnen mit Termen

Rechnen mit Klammern

Eine Rechenaufgabe, die aus Zahlen und Rechenzeichen besteht, wird als Term bezeichnet. Besteht ein Term aus mehreren Additionen und Subtraktionen, wird der Term in Schreibrichtung „abgearbeitet“:

15 + 97 + 163 – 69 = 112 + 163 – 69 = 275 – 69 = 206

Zum Ändern der Reihenfolge, in der man rechnet, nutzt man Klammern. Sie werden immer zuerst ausgerechnet. Stehen eine oder mehrere Klammern in einer anderen, werden diese von innen nach außen gelöst:

15 + {[97 + (163 – 69)] – 80} = 15 + {[97 + 94] – 80} = 15 + {191 – 80} = 15 + 111 = 126

Gliedern von Termen

Terme können unübersichtlich wirken, vor allem wenn sie länger sind. Zur Veranschaulichung und zum strukturierten Vorgehen kann man einen Rechenbaum verwenden, bei dem der Term in seine einzelnen Bestandteile aufgegliedert wird. Der Term 15 + {[97 + (163 – 69)] – 80} würde so aussehen:

Beispiel eines Rechenbaumes
Beispiel eines Rechenbaumes

Der Term ist in dem Beispiel eines Summe, weil die letzte Rechnung eine Summe ist. Man kann den Term auch in Worten wiedergeben. In diesem Fall würde man den Rechenbaum einfach vorlesen.

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