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Mathematik: 9. Klasse

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Quadratische Funktionen und Gleichungen

Binomische Formeln

Ein Binom ist die Summe oder Differenz zweier Variablen oder Zahlen:

Binom
Graphische Veranschaulichung der Plus-Formel
Graphische Veranschaulichung der Plus-Formel

Davon leiten sich die sogenannten binomischen Formeln ab. Hier wird in der Regel zwischen folgenden Formeln unterschieden:

Die binomischen Formeln werden häufig zum einfacheren Ausmultiplizieren und Faktorisieren verwendet.

Die Normalparabel

Die Normalparabel
Die Normalparabel

Die Funktion Quadratische Funktion [f:f(x)=ax^2+bx+c] heißt quadratische Funktion. Der Term heißt Funktionsterm, die Gleichung Funktionsgleichung [y=ax^2+bx+c] Funktionsgleichung. Der Graph dieser Funktion wird als Parabel bezeichnet.

Sonderfall 1

Setzen wir a = 1 sowie b und c = 0, erhalten wir die quadratische Funktion Quadratische Funktion der Normalparabel [f:f(x)=x^2]. Der dazu gehörende Graph heißt Normalparabel. Sie ist zur y-Achse achsensymmetrisch und hat ihren Scheitelpunkt S im Ursprung O (0/0). Im zweiten Quadranten fällt sie, im ersten steigt sie. Die Wertemenge ist Menge der nichtnegativen reellen Zahlen.

Sonderfall 2

Normalparabel um c verschoben
Die Normalparabel bei c < 0 und c > 0 im Vergleich zur Normalparabel

Nehmen wir nun an: a = 1, b = 0 und c ≠ 0. Dann haben wir eine Parabel, die zwar wie eine Normalparabel aussieht, aber bei c > 0 nach oben und bei c < 0 nach unten verschoben ist. Der Scheitel befindet sich dabei im Punkt (0/c). Damit gilt Folgendes:

Verschieben der Normalparabel

Normalparabel um d verschoben
Verschieben der Parabel nach links (d = −2) bzw. nach rechts (d = 2)

Möchte man nun die Normalparabel nach links oder rechts verschieben, nutzt man die Formel Normalparabel verschieben [f:f(x)=(x-d)^2]. Für positive Werte von d verschiebt sich die Parabel nach rechts, für negative Werte entsprechend nach links. Der Scheitelpunkt liegt dann im Punkt (d/0).

Zusammen mit der Verschiebung parallel der y-Achse ergibt sich die Scheitelform:

Scheitelform [f:f(x)=(x-d)^2+e]

Deren Graphen hat den Scheitelpunkt S(d/e). Die Scheitelform kann in den Term der Form Term der Form [x^2+bx+c] umgewandelt werden. Hierfür eignet sich die quadratische Ergänzung. Dabei nutzt man auch die binomischen Formeln und geht wie folgt vor:

Umformung der Scheitelform mittels quadratischer Ergänzung

Auf den ersten Blick erscheint die Umformung ziemlich kompliziert. An einem Beispiel wird aber deutlicher, wie vorgegangen wird. Dafür soll der Term x2 + 6x + 10 in die Scheitelform überführt werden:

Beispiel fü die
                Umformung der Scheitelform mittels quadratischer Ergänzung

Daraus folgt, dass der Graph seinen Scheitel S bei (−3/1) hat.

Die Parabel P: y = ax2

Die Parabel ax^2
Die unterschiedlichen Parabeln für die unterschiedlichen Werte von a (± 0,5; ± 1; ± 2)

Die Graphen der Quadratfunktion Die Quadratfunktion [f:f(x)=ax^2] sind Parabeln. Je nachdem welcher Wert a annimmt, ändert sich die Normalparabel: Bei Werten a > 0 ist sie nach oben und bei a < 0 nach unten geöffnet. Ist 0 < |a| < 1, wird die Normalparabel weiter, während sie bei 1 < |a| enger wird. Ist a = 1, liegt natürlich eine kongruente Normalparabel vor.

Die allgemeine quadratische Funktion

Jede Funktion der Form Allgemeine quadratische Funktion [f:f(x)=ax^2+bx+c] heißt quadratische Funktion. Deren Graph ist eine Parabel, die zur y-Achse parallel ist und zwei, einen oder keine Nullstellen hat. Der Funktionsterm lässt sich mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelform bringen:

Umwandlung der allgemeinen quadratischen Funktion in die Scheitelform

Rechnerisches Lösen quadratischer Gleichungen

Faktorisieren

Sind x1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung Quadratische Gleichung [x^2+bx+c=0], dann lässt sich der entsprechende Term Term der Form [x^2+bx+c] durch das Produkt Faktorisieren der quadratischen Gleichung [(x-x_1)(x-x_2)] darstellen. Dies nennt man Faktorisieren. Die zwei Faktoren werden als Linearfaktoren bezeichnet. Multipliziert man den Term aus, erhält man folgendes Ergebnis:

Ausmultiplizieren der Linearfaktoren

Die Summe aus x1 und x2 ergibt also in der quadratischen Gleichung −b und deren Produkt c:

Satz von Vieta

Dieser Zusammenhang wird im Satz von Vieta erfasst. Diese Methode eignet sich insbesondere dann, wenn eine quadratische Gleichung ganzzahlige Lösungen hat.

Mitternachtsformel

Für quadratische Gleichungen der Form Allgemeine quadratische Gleichung  [ax^2+bx+c=0] bietet sich dagegen die Anwendung der Mitternachtsformel an:

Mitternachtsformel

Ist der Wert des Terms unter der Wurzel (Diskriminante D) positiv, hat die Gleichung zwei Lösungen. Ist die Diskriminante dagegen gleich Null, besitzt sie eine Lösungen, bei einem negativen wert gibt es keine (reelle) Lösung.

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