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Mathematik: 9. Klasse

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Das rechtwinklige Dreieck

Die Satzgruppe des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pytagoras bezeichnet eine besondere Beziehung zwischen den Kathetenlängen und der Hypotenusenlänge: Nach ihm ist in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten:

Satz des Pythagoras [a^2+b^2=c^2]

Bildlich kann man diesen Zusammenhang so darstellen:

Bildliche Darstellung des Satz des Pythagoras

Diesen zusammenhang nutzt man auch in umgekehrter Richtung: Nach dem Kehrsatz ist ein Dreieck rechtwinklig, wenn für dieses der Satz des Pythagoras gilt.

Der Katheten- und Höhensatz

Daneben gibt es auch den Kathetensatz (des Euklid) sowie den Höhensatz (des Euklid). Bei beiden wird das Dreieck in zwei Hypotenusenabschnitte durch die Höhe der Hypotenuse zerlegt:

Zerlegung eines rechtwinkligen Dreiecks für den Katheten- und Höhensatz

Die Dreiecke ABC, ADC und CDB sind aufgrund ihrer übereinstimmenden Winkel zueinander ähnlich. Von diesem Zusammenhang ausgehend lassen sich der Katheten- und Höhensatz ableiten.

Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat jeder Kathete gleich dem Produkt aus Hypotense und anliegendem Hypotenusenabschnitt:

Kathetensatz [a^2=cp, b^2=cq]
Höhensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenusenhöhe gleich dem Produkt aus den Hypotenusenabschnitten:

Höhensatz [h^2=pq]

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Seitenverhältnisse und Winkel im rechtwinkligen Dreieck

Seitenverhältnisse in einem
                    rechtwinkligen Dreieck
Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck

Der Wert der Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck kennzeichnet die Größen eines Winkels. Ebenso kann man umgekehrt von den Winkelgrößen auf die Seitenverhältnisse schließen. Dabei nutzt man die Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Sie sind wie folgt definiert:

Definition des
Definition des
Definition des

Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens

Zwischen den Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens bestehen eine Reihe von Beziehungen. So folgt aus α + β = 90° und damit aus β = 90° − α, dass

Beziehung zwischen Sinus und Kosinus.

Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich zudem ableiten, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus 1 ergibt:

Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus

Zuletzt gilt, dass der Tangens der Quotient von Sinus und Kosinus ist:

Der Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus

Zum einfacheren und schnelleren Anwenden von Sinus, Kosinus und Tangens ist es hilfreich, sich folgende Grenzwerte zu merken:

Grenzwerte von Sinus, Kosinus und Tanens

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