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Mathematik: 9. Klasse

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Die reellen Zahlen

Quadratwurzeln

Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl a (a ≥ 0) ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist. Man schreibt für die Quadratwurzel Quadratwurzel von a. Die Zahl oder der Term innerhalb der Wurzel bezeichnet man als Radikand. Dieser kann nicht negativ sein.

Die Umkehrfunktion für das Radizieren (Wurzelnehmen) ist das Quadrieren. Somit gilt:

Zusammenhang zwischen Radizieren und Quadrieren

Irrationale Zahlen

Wie bereits bekannt lassen sich rationale Zahlen mittels eines Bruchs darstellen:

Menge der rationalen Zahlen

Beim Radizieren können aber Zahlen auftreten, die nicht durch einen Bruch darstellbar sind. Sie werden als irrationale Zahlen bezeichnet. Im Gegensatz zu den rationalen Zahlen brechen sie weder ab noch sind sie periodisch; sie haben unendlich Dezimalstellen. So hat die Quadratwurzel aus 2 etwa folgenden Wert:

Quadratwurzel aus 2

Die Intervallschachtelung

Durch die Verwendung von Intervallen (Zahlenabschnitten) lassen sich irrationale Zahlen mithilfe von rationalen Zahlen beliebig genau festlegen. Hierzu verwendet man stetig kleiner werdende Intervalle, die jeweils im vorherigen Intervall liegen. Möchte man etwa die uns bereits bekannte Quadratwurzel aus 2 auf drei Dezimalstellen gerundet ermitteln, geht man folgendermaßen vor:

Da liegt a im Intervall der Länge
12 < 2 < 22 [1; 2] 1
1,42 < 2 < 1,52 [1,4; 1,5] 0,1
1,412 < 2 < 1,422 [1,41; 1,42] 0,01
1,4142 < 2 < 1,4152 [1,414; 1,415] 0,001
1,41422 < 2 < 1,41432 [1,4141; 1,4143] 0,0001

Damit wissen wir, dass die Wurzel aus 2 etwa 1,414 ist.

Die Menge ℝ der reellen Zahlen

Darstellung der Zahlenmengen bis zu den reellen Zahlen
Darstellung der Zahlenmengen bis zu den reellen Zahlen

Zusammen bilden die rationalen und irrationalen Zahlen die Menge ℝ der reellen Zahlen. Auf einer Zahlengeraden bilden sie eine lückenlose Linie, während beide Teilmengen allein für sich betrachtet, Lücken hinterlassen würden.

Rechnen mit reellen Zahlen

Beim Rechnen mit reellen Zahlen ergeben sich im Vergleich zu den rationalen Zahlen keine Unterschiede: Es gelten auch hier bei der Addition und Multiplikation das Assoziativ- und Kommutativgesetz.

Rechnen mit Quadratwurzeln

Besonderheiten ergeben sich indes beim Rechnen mit Quadratwurzeln.

Addieren und Subtrahieren

Beim Addieren und Subtrahieren ist darauf zu achten, ob der Radikand derselbe ist. Ist dies der Fall, kann man die Wurzeln wie gewohnt – also wie reelle Zahlen – miteinander verrechnen:

Addieren und Subtrahieren
                von Quadratwurzeln bei gleichem Radikand

Sind die Radikanden dagegen ungleich, kann man die Wurzeln nicht ohne Weiteres verrechnen. Man muss vielmehr zuvor auflösen, sofern dies möglich ist. Beispiele:

Beispiele für das Addieren und Subtrahieren
                von Quadratwurzeln bei gleichem Radikand

Multiplizieren und Dividieren

Beim Multiplizieren und Dividieren gestaltet sich die Aufgabe dagegen einfacher: Hier kann man die Radikale in einer Wurzel mit der entsprechenden Rechnung zusammenfassen. Allgemein gilt:

Multiplizieren und Dividieren von Quadratwurzeln

Beispiele:

Beispiele für das Multiplizieren
                und Dividieren von Quadratwurzeln

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