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Mathematik: 6. Klasse | Bruchteile und Bruchzahlen

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Bruchteile und Bruchzahlen

Brüche

Teilt man einen Gegenstand in gleich große Teile, bekommt man zwei Halbe, drei Drittel, vier Viertel, fünf Fünftel usw. Zur Angabe solcher Werte kann man Brüche bzw. die Bruchschreibweise verwenden:

Beispiele für Brüche

Hierbei steht unter dem Bruchstrich der sogenannte Nenner. Er gibt an, in wie viele Teile man ein Ganzes zerlegt hat. Der Zähler steht oberhalb des Bruchstrichs und zeigt, wie oft solche Teile gegeben sind.

Ein Bruch lässt sich auch als Division darstellen. Dabei ist der Zähler der Dividend und der Nenner der Divisor. Daraus folgt, dass im Nenner niemals eine 0 stehen darf! Im Zähler kann dagegen jede beliebige Zahl stehen.

Stammbrüche, echte Brüche, unechte Brüche, Scheinbrüche, gemischte Zahlen

Je nachdem, welche Zahlen im Zähler und Nenner stehen, kann man Brüche in verschiedene Gruppen einteilen. Ist der Nenner zum Beispiel eine natürliche Zahl und der Zähler eine „1“, spricht man von einem Stammbruch:

Beispiele für Stammbrüche

Als weitere „Gruppe“ von Brüchen gibt es die echten Brüche. Hier ist der Zähler kleiner als der Nenner:

Beispiele für echte Brüche

Ist der Zähler dagegen so groß wie der Nenner oder größer, spricht man von einem unechten Bruch:

Beispiele für unechte Brüche

Bei Scheinbrüchen hat der Bruch den Wert 0 oder den Wert einer natürlichen Zahl. Der Zähler hat also den Wert oder ist ein Vielfaches des Nenners:

Beispiele für Scheinbrüche

Liegt ein unechter Bruch vor, kann man ihn auch als gemischte Zahl angeben. Sie setzt sich aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch zusammen. Die natürliche Zahl gibt dabei an, wie oft ein Ganzes gegeben ist:

Beispiele für gemischte Zahlen

Teile von Größen

Berechnung des Teils einer Größe

Hat man als gegebene Werte das Ganze (z.B. 24 €) und einen bestimmten Anteil (z.B. zwei Drittel), kann man hieraus den Teil berechnen. Hierzu dividert man die Größe durch den Nenner und multipliziert anschließend diesen Wert mit dem Zähler:

Beispiel zur Berechnung des Teils einer Größe

Berechnung des Anteils

Möchte man stattdessen von einem Ganzen und einem Teil auf den Anteil schließen, dividiert man den Teil durch das Ganze. Mit den Werten des gerade verwendeten Beispiels ergibt sich damit:

Beispiel zur Berechnung des Anteils

Berechnung des Ganzen

Ist der Anteil und der Teil gegeben, teilt man zunächst den Teil durch den Zähler. Diesen Wert multipliziert man danach mit dem Nenner:

Beispiel zur Berechnung des Ganzen

Erweitern und Kürzen von Brüchen

Erweitern von Brüchen

Einen Bruch kann man erweitern, indem man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit einer natürlichen Zahl k multipliziert. Der Wert des Bruchs ändert sich hierdurch aber nicht. Allgemein ausgedrückt:

Allgemeine Formel für das Erweitern eines Bruchs

Kürzen von Brüchen

Ebenso kann man einen Bruch kürzen, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche natürliche Zahl k teilt. Diese Zahl muss aber ein gemeinsamer Teiler vom Zähler und Nenner sein. Der Wert des Bruchs bleibt auch hier unverändert:

Allgemeine Formel für das Kürzen eines Bruchs

Der Bruch kann nicht mehr gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind. Sie haben (bis auf die 1) dann keine gemeinsamen Teiler mehr. Diese Form nennt man auch Grundform.

Angabe von Anteilen in Prozent; Kreisdiagramm

Haben Anteile im Nenner eine 100 stehen oder kann man den Bruch so erweitern, dass dort eine 100 steht, ist es möglich, den Bruch als eine Prozentzahl anzugeben. Hierzu nimmt man den Zähler als natürliche Zahl:

Angabe eines Anteils in Prozent

Häufig gibt man Anteile auch in einem Kreisdiagramm an. Der Mittelpunktswinkel des entsprechenden Kreissektors ermittelt man so wie den Teil eines Ganzen. Das Ganze sind dabei 360°. Zum einfacheren Rechnen bietet es sich unter Umständen an, den Bruch zuvor zu kürzen.

Beispiel: In einer Klasse sind 30 Kinder. Davon spielen sechs Kinder Fußball. Wie groß ist der Winkel des Kreissektors der Fußball-spielenden Kinder?

Beispiel eines Anteils im Kreisdiagramm

Die Menge ℚ der rationalen Zahlen

Wie bei natürlichen und ganzen Zahlen kann man auch Brüche auf der Zahlengerade anordnen. Brüche in ihrer Grundform nennt man auch Bruchzahlen. In der Menge der Bruchzahlen kann man alle natürlichen Zahlen durch andere natürliche Zahlen dividieren.

Fasst man alle positiven und negativen Bruchzahlen sowie die 0 zu einer Menge zusammen, erhält man die Menge ℚ der rationalen Zahlen. Sie umfassen auch die ganzen Zahlen (und damit selbstverständlich auch die natürlichen Zahlen).

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