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Mathematik: 6. Klasse | Rechnen mit rationalen Zahlen

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Rechnen mit rationalen Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen (Vertiefung)

Zu der Menge der rationalen Zahlen ℚ zählen all diejenigen Zahlen, die mithilfe eines Bruchs dargestellt werden können. Hierbei können der Zähler und der Nenner ganze Zahlen sein. Damit umfasst diese Menge auch alle ganzen und alle natürlichen Zahlen:

Menge der rationalen Zahlen

Vergleich rationaler Zahlen

Um zwei rationale Zahlen miteinander vergleichen zu können, bietet es sich an, sie auf einer Zahlengeraden einzuzeichnen oder sie sich auf einer Zahlengerade vorzustellen. Ist der Bildpunkt weiter rechts, so ist auch die Zahl größer.

Hat man zwei Brüche und möchte sie miteinander vergleichen, sollte man versuchen, sie zunächst so zu kürzen oder zu erweitern, dass der Zähler oder der Nenner gleich sind. Von hier aus kann man zwei Regeln anwenden, um schnell die größere (oder kleinere) Zahl zu ermitteln (im folgenden werden nur positive Brüche betrachtet):

Liegen die rationalen Zahlen als Dezimalzahlen vor, vergleicht man sie, indem man die Stelle sucht, an der sie sich unterscheiden. Die Zahl, deren jene Stelle größer ist, ist auch die größere Zahl.

Hat man zwei negative Brüche betrachtet man ihren Betrag. Je kleiner der Betrag ist (also je näher die Zahl an der Null ist), desto größer ist auch die rationale Zahl.

Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen

Addieren rationaler Zahlen

Die Addition rationaler Zahlen verläuft parallel zu der Addition ganzer Zahlen. Daraus folgen die nachfolgenden Regeln.

Haben beide Zahlen das gleiche Vorzeichen, addiert man die Beträge beider Zahlen und behält dabei das Vorzeichen bei. Bei verschiedenen Vorzeichen muss man den kleineren Betrag vom größeren Betrag subtrahieren; das Vorzeichen ist das der Zahl mit dem größeren Betrag.

Auch hier gelten das Kommutativ- und Assoziativgesetz. Es gilt also allgemein:

Das Assoziativ- und Kommutativgesetz bei der Addition rationaler Zahlen

Subtrahieren rationaler Zahlen

Ebenfalls bei der Subtraktion kann man die Regeln der Subtraktion ganzer Zahlen heranziehen. Möchte man also eine Zahl abziehen, kann man stattdessen auch ihre Gegenzahl addieren.

Multiplikation und Division rationaler Zahlen

Multipliziert man zwei rationale Zahlen miteinander, bildet man zunächst das Produkt beider Beträge und bestimmt dann das Vorzeichen. Sind sie verschieden, erhält das Ergebnis ein negatives Vorzeichen; sind sie gleich, ist das Ergebnis positiv.

Auch hier gilt das Kommutativ- und Assoziativgesetz:

Das Assoziativ- und Kommutativgesetz bei der Multiplikation rationaler Zahlen

Bei der Division zweier rationaler Zahlen geht man so vor wie bei der Division ganzer Zahlen: Zuerst dividert man die Beträge. Der Quotient erhält dann ein positives Vorzeichen, wenn der Dividend und der Divisor das gleiche Vorzeichen haben; ansonsten ist das Ergebnis negativ. Auch hier muss man sich an die Regel halten, nicht durch 0 zu teilen.

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