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Mathematik: 6. Klasse | Rechnen mit nichtnegativen rationalen Zahlen

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Rechnen mit nichtnegativen rationalen Zahlen

Addition und Subtraktion nichtnegativer rationaler Zahlen

Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche

Brüche, die den gleichen Nenner haben, werden gleichnamige Brüche genannt. Man addiert und subtrahiert sie, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner wird dabei nicht verändert. Beispiele:

Beispiele für die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche

Allgemein lässt sich damit sagen:

Allgemeine Regel für die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche

Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche

Liegen zwei ungleichnamige Brüche vor – haben die Brüche also zwei verschiedene Nenner – muss man vor dem Addieren und Subtrahieren die Brüche so erweitern oder kürzen, dass beide Brüche gleichnamig sind. Hierzu kann man von beiden Nennern ein Vielfaches nehmen. Zum einfachen Rechnen bietet sich aber besonders das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) an; dies ist auch der sogenannte Hauptnenner.

Beispiel für das Addieren:

Beispiel für die Addition ungleichnamiger Brüche

Beispiel für das Subtrahieren:

Beispiel für die Subtraktion ungleichnamiger Brüche

Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen

Dezimalzahlen lassen sich ebenso wie Größen addieren und subtrahieren. Man kann also die Zahlen nebeneinander oder untereinander schreiben und verrechnen.

Beim Schreiben nebeneinander sollten die Zahlen gleich viele Dezimalstellen haben; unter Umständen sollte man also eine Zahl mit Endnullen auffüllen. Beim Verwenden der schriftlichen Addition untereinander ist darauf zu achten, dass sich die Kommata an gleicher Stelle befinden:

Subtraktion
Z E z h
4
1 5 , 2 1
3 , 8 1
1 1 , 4 0

Multiplikation und Division nichtnegativer rationaler Zahlen

Multiplikationsrechnungen bei Brüchen

Einen Bruch kann man mit einer natürlichen Zahl multiplizieren, indem man den Zähler mit der natürlichen Zahl multipliziert. Der Nenner bleibt dabei unverändert. Anschließend sollte soweit wie möglich der Bruch gekürzt werden. Allgemein lässt sich damit sagen:

Multiplikation eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl

Möchte man dagegen zwei Brüche miteinander multiplizieren, multipliziert man jeweils die Zähler und die Nenner miteinander. Um das Rechnen einfacher zu gestalten, bietet es sich an, die Zahlen vor der Multiplikation zu kürzen. Allgemein ausgedrückt:

Multiplikation eines Bruchs mit einem anderen Bruch

Divisionsrechnungen bei Brüchen

Beim Dividieren eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl wird der Nenner multipliziert. Der Zähler bleibt also unverändert:

Regel Division eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl

Soll dagegen ein Bruch durch einen anderen Bruch dividiert werden, multipliziert man den Dividenden mit dem Kehrbruch des Divisors:

Regel Division zweier Brüche

Multiplikation mit Dezimalzahlen

Dezimalzahlen lassen sich mit einer natürlichen Zahl multiplizieren, indem man zunächst die Zahlen ohne Rücksicht auf das Komma mal nimmt. Das Produkt erhält dann so viele Dezimalstellen wie die Dezimalzahl:

Beispiel Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl

Sollen zwei Dezimalzahlen miteinander multipliziert werden, geht man auf ähnliche Weise vor: Zunächst werden die zwei Zahlen ohne Rücksicht auf ihre Kommata miteinander multipliziert (also so als ob sie natürliche Zahlen wären). Das Zwischenergebnis erhält dann so viele Dezimalstellen wie die Faktoren zusammen haben:

Beispiel für die Multiplikation zweier Dezimalzahlen

Division bei Dezimalzahlen

Beim Dividieren durch eine natürliche Zahl geht man zunächst vor, wie beim Dividieren zweier natürlicher Zahlen. Anschließend wird beim Zwischenergebnis an der Stelle ein Komma gesetzt, an der man das Komma des Dividenden überschritten hat.

Ist der Divisor auch eine Dezimalzahl, erweitert man zunächst beide Zahlen so, dass der Divisor eine natürliche Zahl ist. Von dort aus kann man wieder so wie gerade beschrieben vorgehen:

Beispiel für die Division zweier Dezimalzahlen

Abbrechende und periodische Dezimalzahlen

Bei der Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl können zwei Fälle auftreten: Die Dezimalzahl kann entweder abbrechend (endlich) oder periodisch sein.

Eine Zahl ist abbrechend (oder endlich), wenn der Nenner des gekürzten Bruchs nur durch 2 oder 5 teilbar ist. In diesem Fall hat die Dezimalzahl eine bestimmte Anzahl an Dezimalstellen.

Dagegen tritt eine periodische Zahl auf, wenn der Nenner andere Teiler als 2 oder 5 im gekürzten Bruch hat. In diesem Fall wiederholt sich eine bestimmte Zahl oder Zahlenfolge. Fängt die Periode gleich nach dem Komma an, spricht man von einer reinperiodischen, andernfalls von einer gemischtperiodischen Dezimalzahl. Die Periode wird mit einem waagrechten Strich verdeutlicht:

Beispiel für periodische Zahlen

Man spricht periodische Zahlen so aus: „Null Komma Periode Eins Vier Zwei Acht Fünf Sieben“.

Anwendbarkeit des Assoziativ-, Kommutativ-, Distributivgesetz

Beim Addieren der Brüche kann man auch das anwenden.

Auch bei der Addition von Dezimalzahlen lassen sich das Kommutativ- und Assoziativgesetz anwenden, um einzelne Rechenschritte einfacher zu gestalten.

So wie bei den ganzen Zahlen gilt auch bei der Addition sowie der Multiplikation aller nichtnegativer rationaler Zahlen das Assoziativ- und Kommutativgesetz. Man kann also die Reihenfolge der Rechenoperationen vertauschen. Ebenfalls kann man das Distributivgesetz anwenden.

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