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Mathematik: 6. Klasse | Flächen- und Rauminhalt

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Flächen- und Rauminhalt

Flächeninhalt geradlinig begrenzter Figuren

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel eines Parallelogramms
Beispiel eines Parallelogramms

Das Parallelogramm wurde bereits in der 5. Klasse kurz angesprochen. Es soll hier aber nochmal ausführlicher behandelt werden.

Das Parallelogramm gehört zu den Vierecken. Es besitzt vier (gerade) Seiten, von denen jeweils zwei parallel und gleich lang sind (in dem hier gezeigten die Seiten a und c sowie b und d). Zum Rechteck unterscheidet sich ein Parallelogramm dadurch, dass die Winkel zwischen den Seiten nicht 90° betragen müssen.

Parallelogramm mit Grundlinie und den Höhen
Parallelogramm mit Grundlinie und Höhen

Zur Ermittlung des Flächeninhalts kann man jede beliebige Seite als Grundlinie g nehmen. Die entsprechende Höhe h ist dann der Abstand der Grundlinie zur parallel verlaufenden Seite. Gegebenenfalls muss man daher die Grundlinie (und die gegenüberliegende Seite) verlängern, um die Höhe ermitteln zu können.

Wie bereits bekannt ist, kann man durch Zerlegen das Parallelogramm zu einem Rechteck umformen. Damit kann auch den Flächenhinhalt leicht ermitteln: Er ist gleich dem Flächeninhalt eines Rechtsecks, das die gleiche Grundlinie und die gleiche Höhe hat. Damit ergibt sich folgende Formel:

Formel des Parallelogramm-Flächeninhalts

Flächeninhalt eines Dreiecks

Dreieck mit den Höhen
Dreieck mit den Höhen

Ein Dreieck hat drei Seiten. Auch hier kann man jede Seite als Grundlinie g nehmen. Die entsprechende Höhe h erhält man, indem man ein Lot von der Grundlinie auf die gegenüberliegende Seite fällt. Dadurch muss man unter Umständen einzelne Seiten „verlängern“.

Dreht man eine Kopie des Dreiecks und legt diese an dieses an, erhält man ein Parallelogramm. Die Grundlinie und Höhe sind dabei diejenigen, die auch bereits beim Dreieck gemessen wurden. Da wir zwei Dreiecke verwenden, muss ein einzelnes Dreieck also die Hälfte des Flächeninhaltts des gebildeten Parallelogramms haben. Damit erhält man folgende Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:

Formel des Dreieck-Flächeninhalts

Flächeninhalt eines Trapezes

Trapez mit der Höhe
Trapez mit der Höhe

Ein Trapez ist ein Viereck und hat vier Seiten. Hiervon sind mindestens zwei Seiten zueinander parallel. Diese Seiten werden als Grundlinien bezeichnet. Die Höhe des Trapezes ist der Abstand der Parallelseiten.

Den Flächeninhalt kann man auf folgende Art und Weise ermitteln: Man nimmt ein zweites gleiches Trapez und legt es so an das erste, dass ein Parallelogramm gebildet wird. Die Grundlinie ist also nun die Summe aus den Parallelseiten; die Höhe bleibt dabei unverändert. Auch hier ist aber der Flächeninhalt eines einzelnen Trapezes die Hälfte des Parallelogramms. Die Formel lautet also:

Formel des Trapez-Flächeninhalts

Körper und Volumen

Oberflächeninhalt eines Prismas

Beispiel eines Prismas
Beispiel eines Prismas

Unter Prisma versteht man einen Körper, dessen Grundfläche ein Vieleck ist. Hierzu parallel verschoben liegt ein deckungsgleiches Vieleck. Ist die Verschiebung senkrecht zur Grundfläche vorgenommen – sind die Seitenflächen also Rechtecke – spricht man von einem geraden Prisma.

Bei dem hier gezeigten Prisma ist die Grundfläche ein Trapez. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Möchte man nun den Oberflächeninhalt des Prismas ermitteln, muss man den Flächeninhalt aller Seiten addieren. Zur einfacheren Vorstellung kann man auch ein Netz verwenden; hierzu werden die Seiten „flach“ ausgebreitet. Hier würde das Netz also so ausschauen:

Der Oberflächeninhalt besteht hier also aus der Summe der Flächeninhalte der zweifachen Grundfläche und vier verschieden großen Rechtecken.

Schrägbilder und Körperansichten

Schrägbilder
Schrägbild eines Würfels
Schrägbild eines Würfels

Mit einem Schrägbild kann man die räumliche Ausdehnung eines Körpers darstellen. Die Fläche, die zu einem zeigt wird hierbei unverändert gezeigt. Parallele Linien hierzu werden auch nicht geändert. Linien, die senkrecht dazu stehen („nach hinten gehen“), sind schräg (diagonal) und verkürzt dargestellt. Nicht sichtbare Kanten macht man mithilfe von gestrichelten Linien kenntlich.

In dem nebenstehenden Würfel soll die Kantenlänge 8 cm betragen. Die vordere Seite wird also normal gezeichnet (8 cm auf 8 cm). Um die (hier) rechte und obere Seite korrekt zu zeigen, kürzt man die Seitenlängen auf die Hälfte; deren Kanten sind also nur noch 4 cm lang. Mithilfe der gestrichelten Linien sieht man auch das untere, linke und obere Quadrat.

Körperansichten

Anstelle eines Schrägbildes ist es auch möglich verschiedene Körperansichten zu verwenden. Hierbei wird angezeigt, wie ein Körper ausschaut, wenn man aus einer bestimmten Richtung auf diesen blickt.

Unterschieden wird zwischen Grund-, Auf- und Seitenriss. Der Grundriss zeigt, wie der Körper von oben aussieht. Durch den Aufriss weiß man, welche Form der Körper von vorne besitzt und beim Seitenriss blickt man von rechts oder links auf das Objekt.

Zu beachten ist aber, dass die verschiedenen Perspektiven nicht immer einen eindeutigen Schluss zu lassen, wie der Körper aussieht. So kann man keinen Unterschied feststellen, wenn man zum Beispiel von oben auf eine Kugel und einen Kegel blickt.

Volumen und Volumenangabe

Ein Körper nimmt durch seine Größe einen bestimmten Raum ein. Diesen Rauminhalt bezeichnet man als dessen Volumen. Die Maßeinheit für Volumen sind Kubikmeter (m3) und davon abgeleitet u.a. Kubikdezimeter (dm3), Kubikzentimeter (cm3), Kubikmillimeter (mm3).

Bei Flüssigkeiten werden auch Liter (l), Milliliter (ml), Hektoliter (hl, sind 100 l) verwendet. Bei beiden Volumenangaben ist die Umrechnungszahl jeweils 1000. Man benötigt also 1000 Kubikzentimeter um 1 Kubikdezimeter (1 Liter) zu erhalten

Volumen von Quadern

Ein Quader hat eine gewissen Länge l, Breite b und Höhe h. Um das Quadervolumen auszurechnen, rechnet man zunächst den Flächeninhalt einer Tiefe aus und multipliziert anschließend diesen Wert mit der Tiefe des Quaders. Das Quadervolumen ist also das Produkt aus Länge, Breite und Höhe:

Formel des Quadervolumens

Der Würfel als Spezialfall des Quaders hat zwar auch eine Länge, Breite und Höhe. Hier sind jedoch die Werte gleich; ein Würfel hat nur die Kantenlänge a. Damit lässt sich das Volumen über eine vereinfachte Formel ausrechnen. Das Volumen ist die Kubikzahl der Kantenlänge:

Formel des Würfelvolumens

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