Inhaltsverzeichnis
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- Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis
- Sinus- und Kosinussatz im Dreieck
- Der Sinussatz im allgemeinen Dreieck
- Der Kosinussatz
- Grundsatz
- Herleitung des Kosinussatzes
- Die Sinus- und Kosinusfunktion
- Einführung
- Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion: Form- und Lageveränderungen der Sinus- und Kosinuskurve
Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Spannt man auf einen Einheitskreis einen Winkel α an der x-Achse auf, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Hypotenuse entspricht dabei dem Radius r des Kreises und hat somit eine Länge von 1 LE. Die Ankathete hat dazu die Länge cos α und die Gegenkathete die Länge sin α:
$$ \begin{matrix} \text{Ankathete} & =\: \cos \alpha \\ \text{Gegenkathete} & =\: \sin \alpha \end{matrix} $$
Ein Punkt P, der durch den Winkel α bestimmt wird und auf dem Einheitskreis liegt, hat somit auch die x- und y-Koordinaten, die durch den Kosinus und Sinus des Winkels α entstehen:
$$ \begin{matrix} x & =\: \cos \alpha \\ y & =\: \sin \alpha \end{matrix} $$
Für jeden spitzen Winkel α gilt, dass bei α, (180 °–α), (180 °+α) und (360 °–α) der Sinus und Kosinus betragsmäßig den gleichen Wert haben. Damit ist man auch nicht mehr an die Definition des Sinus und Kosinus im rechtswinkligen Dreieck gebunden, die lediglich für spitze Winkel galt. Für den Winkel α gilt somit:
$$ \begin{matrix} \sin \left(\alpha + k \cdot 360^\circ \right ) \:=\: \sin\:\alpha;\:k \in \mathbb{N} \;&;\;\;\; \sin\left(-\alpha \right )\:=\:- \sin\:\alpha \\ \cos \left(\alpha + k \cdot 360^\circ \right ) \:=\: \cos\:\alpha;\:k \in \mathbb{N} \;&;\;\;\; \cos\left(-\alpha \right )\:=\:- \cos\:\alpha \end{matrix} $$
Für folgende Winkel ergeben sich die entsprechenden Sinus- bzw. Kosinsus-Werte:
| Sinus | Kosinus |
| $$ \sin 0^\circ = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0 $$ | $$ \cos 0^\circ = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1 $$ |
| $$ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2} $$ | $$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1 $$ |
| $$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ | $$ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ |
| $$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ | $$ \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2} $$ |
| $$ \sin 90^\circ = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1 $$ | $$ \cos 90^\circ = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0 $$ |
| $$ \sin 180^\circ = 0 $$ | $$ \cos 180^\circ = -1 $$ |
| $$ \sin 270^\circ = -1 $$ | $$ \cos 270^\circ = 0 $$ |
| $$ \sin 360^\circ = 0 $$ | $$ \cos 360^\circ = 1 $$ |
Da der Winkel α mit der x-Achse ein rechtwinkliges Dreieck bildet, gilt der Satz des Pythagoras. Die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus ergibt also 1:
$$ \left(\sin \alpha \right )^2 + \left(\cos \alpha \right )^2 \:=\: 1 $$
Sinus- und Kosinussatz im Dreieck
Der Sinussatz im allgemeinen Dreieck
Es wird folgendes (spitzes) Dreieck betrachtet:
Wie bereits aus der neunten Klasse bekannt, ist der Sinus der Quotient aus Hypotenuse (hier hc) und Gegenkathete (hier b). Im Dreieck ΔADC gilt also für den Winkel α:
$$ \Delta\text{ADC: } \sin\,\alpha = \frac{h_c}{b} \;\;\Rightarrow\;\; h_c = b \cdot \sin\,\alpha $$
Entsprechendes gilt für das Dreieck ΔDBC hinsichtlich des Winkels β:
$$ \Delta\text{DBC: } \sin\,\beta = \frac{h_c}{a} \;\;\Rightarrow\;\; h_c = a \cdot \sin\,\beta $$
Da beide Terme als Ergebnis hc haben, lassen sie sich gleichsetzen:
$$ \begin{align*} a \cdot \sin\,\beta &= b \cdot \sin\,\alpha \\ \frac{a}{b} &= \frac{\sin\,\alpha}{\sin\,\beta} \end{align*} $$
Diesen Zusammenhang nennt man Sinussatz: Die Längen zweier Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie die Sinuswerte des gegenüberliegenden Winkels. Der Sinussatz ist anwendbar, wenn von einem Dreieck die Länge einer Seite und zwei Innenwinkel bekannt sind.
Der Kosinussatz
Grundsatz
Ist der Sinussatz nicht anwendbar, kann der Kosinussatz helfen. Er lautet je nach den gegegebenen Angaben für ein Dreieck ΔABC:
$$ \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\,\alpha \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\,\beta \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\,\gamma \end{align*} $$
Der Kosinussatz mag zwar auf den ersten Blick kompliziert wirken. Betrachtet man aber den Sonderfall, dass ein Winkel im Dreieck 90° groß ist, fällt der Subtrahend weg, da dieser wegen des Kosinus 0 ist. Dadurch ergibt sich für diesen Fall wieder der Satz des Pythagoras.
Herleitung des Kosinussatzes
Der Kosinussatz lässt sich herleiten, indem wir das Dreieck ΔABC nehmen und die Höhe ha eintragen. Der Schnittpunkt zwischen dieser Höhe und der Seite a sei D:
In diesem Fall gilt wieder das aus der neunten Klasse Bekannte:
$$ \begin{align*} \cos\,\gamma = \frac{x}{b} & \;\;\Rightarrow & x = b \cdot \cos\,\gamma & \;\;(1) \\ \sin\,\gamma = \frac{h_a}{b} & \;\;\Rightarrow & h_a = b \cdot \sin\,\gamma & \;\;(2) \end{align*} $$
Da das Dreieck ΔABD ein rechtwinkliges Dreieck ist, gilt auch hier der Satz des Pythagoras. Davon ausgehend kann man durch Kombination der Gleichungen (1) und (2) den Kosinussatz ermitteln. Im Folgenden soll dies für die Seite c gezeigt werden:
$$ \begin{align*} c^2 &= (h_a)^2 + (a-x)^2 \\ &= (h_a)^2 + a^2 - 2ax + x^2 & \;\;\mid \text{Einsetzen von (1) und (2)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ \;\;\; \\ &= (b \cdot \sin\,\gamma)^2 + a^2 - 2a(b \cdot \gamma) + (b \cdot \cos\,\gamma)^2 \\ &= a^2 + b^2 \cdot (\sin\,\gamma)^2 - 2a \cdot b \cdot \cos\,\gamma + b^2 \cdot (\cos\,\gamma)^2 \\ &= a^2 + b^2[(\sin\,\gamma)^2 + (\cos\,\gamma)^2] - 2ab \cdot \cos\,\gamma & \;\; \mid \text{Erinnerung:} (\sin\,\gamma)^2 + (\cos\,\gamma)^2 = 1 \\ &= a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\,\gamma \end{align*} $$
Diese Herleitung lässt sich natürlich entsprechend auch auf die anderen Seiten bzw. Winkel anwenden.
Die Sinus- und Kosinusfunktion
Einführung
Die Sinusfunktion ist eine Funktion, deren y-Wert durch den Sinus von x bestimmt wird:
$$ f\colon f(x) = \sin\,x;\;D_f = \mathbb{R} $$
Der dazu gehörende Graph wird als Sinuskurve bezeichnet. Man erhält sie, indem man für die x-Koordinate den Winkel α im Bogenmaß und für die y-Koordinate den entsprechenden Sinuswert verwendet.
Entsprechend wird auch die Kosinusfunktion definiert. Deren Kosinuskurve erhält man also durch die Verwendung des Winkels α im Bogenmaß und des Kosinuswerts:
$$ f\colon f(x) = \cos\,x;\;D_f = \mathbb{R} $$
In einem Koordinatensystem sehen Sinus- und Kosinuskurve also so aus:
Die beiden Kurven wiederholen sich in einem bestimmten Abstand stetig. Mit einem Abstand von 2π nehmen sie den gleichen y-Wert ein. Solche Funktionen, deren Funktionswerte sich in einem festen Abstand wiederholen, nennt man periodische Funktionen und den kleinsten möglichen Abstand Periode.
Beide Funktionen haben die Wertemenge [–1;1]. Während die Sinuskurve zum Ursprung eines Koordinatensystems punktsymmetrisch ist, ist die Kosinuskurve achsensymmetrisch zur y-Achse.
Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion: Form- und Lageveränderungen der Sinus- und Kosinuskurve
Wird die Sinusfunktion wie folgt mit den Koeffizienten a, b, c und d ergänzt, spricht man von der allgemeinen Sinusfunktion:
$$ f\colon\,f(x) = a \cdot \sin\left [ b \cdot \left(x + c \right ) \right ] + d;\;\; D_f = \mathbb{R};\: a, b \in \mathbb{R}\backslash{0};\: c, d \in \mathbb{R} $$
Entsprechendes gilt für die allgemeine Kosinusfunktion:
$$ f\colon\,f(x) = a \cdot \cos\left [ b \cdot \left(x + c \right ) \right ] + d;\;\; D_f = \mathbb{R};\: a, b \in \mathbb{R}\backslash{0};\: c, d \in \mathbb{R} $$
Die einzelnen Parameter haben folgende Auswirkungen, die anhand der Sinuskurve dargestellt werden sollen (für eine größere Ansicht des Graphen einfach auf das Bild klicken):
| Funktion | Auswirkungen | Beispiel an der Sinuskurve |
| $$ f_a(x) = a \cdot \sin\,x $$ | Durch den Koeffizenten a hat die Sinuskurve die Amplitude |a|. Sie wird also bei |a| > 1 in y-Richtung gestreckt und bei |a| < 1 entsprechend gestaucht. Ist a < 0 wird die Sinuskurve gespiegelt (bei d = 0 an der x-Achse). |   |
| $$ f_b(x) = \sin\left(b \cdot x \right ) $$ | Bei |a| > 1 wird die Kurve in y-Richtung gestreckt, bei |a| < 1 gestaucht. Sie hat dann die Periode $\frac{2\pi}{\left| b \right|}$. Ist b < 0, wird die Sinuskurve an der y-Achse gespiegelt. |   |
| $$ f_c(x) = \sin\left(x + c \right ) $$ | Durch c wird die Sinuskurve in x-Richtung bei c > 0 nach links und bei c < nach rechts verschoben. |   |
| $$ f_d(x) = \sin\left(x\right ) + d $$ | Der Graph wird in y-Richtung bei d 0 > nach oben und bei d < 0 nach unten verschoben. |   |