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Mathematik: 7. Klasse

Achsen- und punktsymmetrische Figuren

Beispiel einer achsensymmetrischen Figur

Achsensymmetrische Figuren

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie sich in zwei gleich große Teile zerlegen lässt, die durch Falten an der Symmetrieachse zur Deckung kommen.

Eigenschaften

Konstruktion von Spiegelpunkt und Achse

Gegeben sind die Spiegelachse a und der Punkt P. Gesucht ist Q.

Ist ein Punkt und die Spiegelachse gegeben, so nimmt man zunächst einen beliebigen Punkt A auf der Achse und zeichnet einen Kreis mit dem Radius [AP] um ihn herum.

Danach nimmt man einen anderen Punkt B und zeichnet wiederum einen Kreis mit dem Radius [BP] um diesen. Der Schnittpunkt der zwei Kreise ergibt das Ergebnis für Q.

Schema
Schema bei gegebener Spiegelachse und einem Punkt und gesuchter Punkt

Gegeben sind die Punkte P und Q. Gesucht ist die Symmetrieachse

Sucht man die Symmetrieachse - auch Mittelsenkrechte genannt - zieht man um beide Punkte P und Q einen Kreis, dessen Radius größer sein muss als die Hälfte der Strecke [PQ]. Die Gerade zwischen den zwei Schnittpunkten bildet die Mittelsenkrechte.

Schema
Schema bei zwei gegebenen Punkten und gesuchter Mittelsenkrechte

Weitere Grundkonstruktionen

Halbierung einer Strecke

Um eine Strecke zu halbieren, muss man die Mittelsenkrechte konstruieren (s. erste Eigenschaft und zweites Schema).

Errichten eines Lotes

Möchte man von einem Punkt P, der auf der Geraden g liegt, aus ein Lot auf g errichten, zeichnet man die Schnittpunkte eines Kreises (um P). Mithilfe dieser weiteren Punkte wird die Mittelsenkrechte konstruiert.

Schema zum Errichten eines Lotes

Fällen eines Lotes

Liegt ein P nicht auf der Geraden g, so fällt man das Lot, indem man wie beim Errichten des Lotes vorgeht. Der Punkt, in dem sich die zwei Gerade schneiden, heißt Lotfußpunkt F.

Winkelhalbierende

Möchte man die Winkelhalbierende konstruieren, schneidet man zunächst den Schenkel und den Scheitel und konstruiert von diesen Punkten aus die Mittelsenkrechte.

Konstruieren einer Winkelhalbierenden

Mittelparallele

Gegeben ist ein Punkt P, der auf der Geraden g liegt und die zu g parallele Gerade h. Gesucht ist die Mittelsenkrechte m. Um sie zu erhalten, muss man zunächst das Lot von P auf F fällen. Danach konstruiert man die Mittelsenkrechte der Strecke [PF].

Konstruktion einer Mittelparallele

Punktsymmetrie

Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch Halbdrehung um das Zentrum Z mit sich zur Deckung kommt.

Beispiel einer punktsymmetrischen Figur

Eigenschaften

Symmetrische Vierecke

Symmetrieachsen beim Quadrat

Quadrat

Symmetrieachsen bei der Raute

Raute

Symmetrieachsen beim Rechteck

Rechteck

Symmetrieachsen beim Drachenviereck

Drachenviereck

Symmetrieachsen beim gleichschenkligen Trapez

Gleichschenkliges Trapez

Symmetrieachsen beim Parallelogramm

Parallelogramm

Winkelbetrachtungen an Figuren

Winkel an einer Geradenkreuzung

Winkel an einer Geradenkreuzung

Die Winkel α und γ sowie β und δ sind Scheitelwinkel zueinander. Sie besitzen die gleiche Größe. Die Winkel α und β, β und γ, γ und δ sowie δ und α sind Nebenwinkel, deren Summe 180° ergeben.

Winkel an Parallelen

Die parallelen Geraden g1 und g2 werden von der Geraden s geschnitten.

Stufenwinkel

Gleichliegende Winkel heißen Stufenwinkel oder F-Winkel. Diese sind jeweils gleich groß.

Stufenwinkel

Wechselwinkel

Winkel, die auf verschiedene Seiten bezüglich g1, g2 und s liegen, heßen Z-Winkel oder Wechselwinkel. Z-Winkel sind jeweils gleich groß.

Wechselwinkel

E-Winkel

Winkel, die auf gleicher Seite von s, aber auf verschiedenen Seiten bezüglich g1 und g2 liegen, heißen E-Winkel. Diese Winkel ergeben zusammen 180°

E-Winkel

Winkelsumme im Dreieck

Der Summe der Innenwinkel α, β und γ ist immer 180°. Die Außenwinkel α*, β* und γ* ergeben mit dem entsprechenden Innenwinkel ebenfalls 180°.

Winkelsummen im Dreieck

Winkelsumme im Viereck und Vieleck

In einem Viereck ergibt die Summe der Innenwinkel 360°. Allgemein lässt sich die Winkelsumme in einem Vieleck mit der Formel Winkelsumme im Vieleck beschreiben, wobei n für die Anzahl der Ecken im Vieleck steht.

Terme

Terme mit Variablen

Terme können außer Zahlen, Reichenzeichen und Klammern auch Variablen enthalten, z.B. Beispiel eines Termes. Den Termwert erhält man, wenn anstelle der Variable eine Zahl eingestetzt wird, z.B. Ergebnisse
            für den Term. Alle Zahlen, die man einsetzen darf, bilden die Grundmenge G.

Umformen von Termen

Addieren und Subtrahieren

Terme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Koeffizienten verrechnet. Dies geht nur, wenn die gleiche „Variablenkombination“ vorhanden ist, z.B: Addieren und Subtrahieren in Termen

Multiplizieren und Dividieren

Der Koeffizient wird mit der Zahl multipliziert bzw. dividiert, z.B. Multiplizieren und Dividieren in Termen

Haben beide Faktoren (bzw. der Dividend und Divisor) eine Variable, wird diese mit verrechnet: Multiplizieren und Dividieren in Termen

Auflösen von Klammern

Um Klammern aufzulösen, muss man beim Addieren die Klammern weglassen; beim Subrahieren werden die Vorzeichen (in der Klammer) vertauscht: Auflösen von Klammern

Multiplikation und Division von Summen

Multipliziert bzw. dividiert man eine Summe a + b mit einer Zahl c, so gilt: Multiplikation von Summen bzw. Division von Summen.

Multipliziert bzw. dividiert man eine Summe mit einer weiteren Summe, so wird jedes Glied mit den anderen verrechnet, wobei auf die Vorzeichen geachtet werden muss:Multiplikation mehrerer Summen.

Gleichungen

Eine Gleichung erhält man, wenn man zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet: Beispiel für eine Gleichung. Alle Zahlen die man einsetzen kann, bilden die Grundmenge G. Alle Lösungen bilden die Lösungsmenge L; gibt es keine Lösung wird L = {} geschrieben.

Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen ändern die Lösungsmenge L nicht. Dabei erlaubt sind

Beispiel einer Äquivalenzumformung

Das Dreieck als Grundfigur

Kongruente Figuren

Zwei kongruente (deckungsgleiche) Figuren A und B lassen sich durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung vollständig zur Deckung bringen. Man schreibt A ≅ B.

Kongruenzsätze für Dreiecke

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie

Besondere Dreiecke

Gleichschenkliges Dreieck mit Bezeichnungen

Gleichschenkliges Dreieck

Beim gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten (Schenkel) gleich lang; die dritte heißt Basis. Die Basiswinkel sind gleich groß.

Eine Sonderform des gleichschenkligen Dreiecks ist das gleichseitige. Es besitzt drei gleiche Seiten und alle Winkel haben eine Größe von 90°.

Rechtwinkliges Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck mit Thaleskreis

Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn der Punkt C auf dem Thaleskreis liegt. Um diesen zu erhalten, muss man von der Strecke [AB] den Mittelpunkt M nehmen und um ihn den Kreis mit dem Radius MA ziehen.

Die zwei Seiten, die am rechten Winkel liegen, nennt man Kathete, die gegenüberliegende Hypotenuse.

Kreis und Gerade

Gerade und Kreis: Tangente, Passante, Sekante
(Zum Vergrößern auf das Bild klicken)

Eine Gerade, die ein Kreis in einem Punkt berührt nennt man Tangente. Diese steht auf dem Berührungsradius senkrecht.

Geht die Gerade durch den Kreis durch und „schneidet ein Stück heraus“, nennt man diese eine Sekante. Der Teil, der innerhalb des Kreises ist, wird als Sehne bezeichnet.

Läuft eine Gerade an einem Kreis vorbei, ohne ihn zu berühren oder ihn zu schneiden, ist diese Gerade eine Passante.

Tangentenkonstruktionen

Tangente durch B auf dem Kreis

Ist der Punkt B gegeben, der auf dem Kreis liegt, so konstruiert man die Tangente t, indem man von der Geraden, die durch M und B verläuft, das Lot (s. Lot errichten):

Tangente bei gegebenem Punkt B auf dem Kreis
Tangente durch P an einen Kreis

Ist der Punkt P gegeben, der außerhalb des Kreises liegt, muss man zunächst den Mittelpunkt der Strecke [MP] finden. Um diesen wird dann ein Kreis mit dem Durchmesser MP gezeichnet. Dort, wo sich die beiden Kreise schneiden, liegen zwei Berührpunkte, die - verbunden mit dem Punkt P - zwei Tangenten bilden.

Tangente bei gegebenem Punkt P an einem Kreis

Konstruktionen an Drei- und Vierecken

Mittelsenkrechte und Umkreis eines Dreieckes

Die Mittelsenkrechten aller drei Seiten schneiden sich in einem Punkt. Dieser ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

Mittelsenkrechten und Umkreis eines Dreiecks

Höhen eines Dreiecks

Fällt man von einer Ecke das Lot auf die entsprechende Seite, so erhält man die Höhe, die nicht unbedingt im Dreieck liegen muss. Alle drei Höhen schneiden sich in einem Punkt.

Höhen in einem Dreieck

Winkelhalbierende eines Dreiecks

Die Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, der der Mittelpunkt des Inkreises ist. Dessen Radius heißt ϱ (Rho).

Winkelhalbierende und Inkreis im Dreieck

Seitenhalbierende eines Dreiecks

Die Seitenhalbierenden treffen sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S. Jene schneiden sich im Verhältnis 2:1.

Seitenhalbierende und Schwerpunkt im Dreieck

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